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2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷
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这是一份2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A． B．﹣3 C． D．3
2．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x4（x≠0） B．（m+n）2＝m2+n2
C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y6
4．（3分）如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC上一点，AD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ）
A．160 B．165 C．170 D．175
7．（3分）如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（3分）关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．（3分）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0），当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）分解因式：ax2﹣a＝ ．
13．（3分）方程组的解是 ．
14．（3分）如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出OA＝1，OB＝2，然后沿AB剪下一个△AOB，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为 ．
15．（3分）如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90°的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）
17．（4分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
18．（4分）如图，已知BD平分∠ABC，∠A＝∠C．
求证：△ABD≌△CBD．
19．（6分）已知M＝（x+3）（x﹣2）+（x+1）2+5．
（1）化简M；
（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．
20．（6分）某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？
21．（8分）为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：
①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 人，补全图（Ⅰ）；
（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
22．（10分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1）．
（1）求b的值；
（2）点（2a，y1），（a，y2），（3a，y3），a≠0，都在反比例函数图象上，根据图象比较y1，y2，y3的大小．
23．（10分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．
（1）求证：BE是⊙O的切线．
（2）若＝2，CE＝1，求点B到AD的距离．
24．（12分）抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣a+3（a为常数）的顶点为A．
（1）用a表示点A的坐标；
（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t（t＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；
①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；
②若y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线AC与x轴交点的横坐标的最小值．
25．（12分）不在射线DA上的点P是边长为2的正方形ABCD外一点，且满足∠APB＝45°，以AP，AD为邻边作▱APQD．
（1）如图，若点P在射线CB上，请用尺规补全图形；
（2）若点P不在射线CB上，求∠PAQ的度数；
（3）设AQ与PD交点为O，当△APO的面积最大时，求tan∠ADO的值．
2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A． B．﹣3 C． D．3
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据向左平移横坐标减，可得结论．
【解答】解：∵将点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，
∴点B的横坐标为0，纵坐标为﹣1﹣2＝﹣3，
∴B的坐标为（0，﹣3）．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x4（x≠0） B．（m+n）2＝m2+n2
C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y6
【分析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝x6，所以A选项不符合题意；
B、原式＝m2+2mn+n2，所以B选项不符合题意；
C、3a与2b不能合并，所以C选项不符合题意；
D、原式＝x6，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正三棱柱的上面看：可以得到一个正三角形，故其俯视图的内角和为180°．
故选：A．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC上一点，AD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得结论．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝4，
故选：C．
6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ）
A．160 B．165 C．170 D．175
【分析】根据中位数的定义直接解答即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数，
则这些运动员成绩的中位数为165cm．
故选：B．
7．（3分）如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由三角形内角和定理可知，∠DEF＝45°，∠ACB＝60°，再由平行线的性质可得，∠CEF＝60°，最后可得结论．
【解答】解：如图，
∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠CDE＝∠CEF﹣∠DEF＝15°．
故选：A．
8．（3分）关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】关于x的方程x2﹣2x+a＝0无实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝a，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a+1）在第一象限，
故选：A．
9．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明即可．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
故选：B．
10．（3分）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0），当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】首先根据k与x的取值分析函数y1，y2 增减性，根据增减性确定最值，进而求解．
【解答】解：∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1 随x的增大而减小，y2 随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1 取最大值，最大值为＝a①；
当x＝2时，y2 取最小值，最小值为﹣＝a﹣4②；
由①②得a＝2，k＝4，
∴ak＝8，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）＝ 2 ．
【分析】将12分解为4×3，进而开平方得出即可．
【解答】解：＝＝×＝2．
12．（3分）分解因式：ax2﹣a＝ a（x+1）（x﹣1） ．
【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：ax2﹣a，
＝a（x2﹣1），
＝a（x+1）（x﹣1）．
13．（3分）方程组的解是 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：2x＝4，即x＝2，
①﹣②得：2y＝2，即y＝1，
则方程组的解为．
故答案为：．
14．（3分）如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出OA＝1，OB＝2，然后沿AB剪下一个△AOB，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为 4 ．
【分析】直接利用折叠方法可得出展开的四边形是菱形，利用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：由题意，四边形是菱形，
∵∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，
∴AB＝＝＝，
∴四边形的周长为4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90°的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．
【分析】连接BC，根据圆周角定理得到BC为圆的直径，求出AC，根据弧长公式求出的长，根据圆锥的侧面展开图计算．
【解答】解：连接BC，
∵∠CAB＝90°，
∴BC为圆的直径，
∴AC＝AB＝3，
∴的长＝＝，
设圆锥的底面圆的半径为r，
由题意得，2πr＝π，
解得，r＝，
即圆锥的底面圆的半径为，
故答案为：．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为 3×22019 ．
【分析】根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OBn，根据题意找出规律，根据规律解答即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，
∴OB＝OA•cos∠AOB＝，
由题意得，OB1＝2OB＝×2，
OB2＝2OB1＝×22，
……
OBn＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，
∵2021÷12＝168……5，
∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos60°＝×22020×＝3×22019，
故答案为：3×22019．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）
17．（4分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
解不等式3x+2＞﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．（4分）如图，已知BD平分∠ABC，∠A＝∠C．
求证：△ABD≌△CBD．
【分析】根据AAS证明△ABD与△CBD全等．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
19．（6分）已知M＝（x+3）（x﹣2）+（x+1）2+5．
（1）化简M；
（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．
【分析】（1）先利用乘法公式展开，然后合并即可；
（2）根据正方形的面积公式得到x＝，然后把x的值代入（1）中化简的式子里计算即可．
【解答】解：（1）M＝x2+x﹣6+x2+2x+1+5
＝2x2+3x；
（2）∵x是面积为5的正方形边长，
∴x＝，
∴M＝2×（）2+3×
＝10+3．
20．（6分）某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？
【分析】设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x+9）元，根据“用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等”列出方程并解答．
【解答】解：设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x+9）元，
根据题意，得＝．
解得x＝26．
经检验x＝26是所列方程的解，且符合题意，
所以x+9＝35．
答：每张A票的票价是26元，则每张B票的票价为35元．
21．（8分）为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：
①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 60 人，补全图（Ⅰ）；
（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为 200 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 ，90 度；
（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数，再1由369°乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%＝60（人），
则喜爱⑤数独游戏的人数为：60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），
故答案为：60，
补全图（Ⅰ）如下：
（2）估计该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为：800×＝200（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：200，90；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为＝．
22．（10分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1）．
（1）求b的值；
（2）点（2a，y1），（a，y2），（3a，y3），a≠0，都在反比例函数图象上，根据图象比较y1，y2，y3的大小．
【分析】（1）将点（2，﹣1）代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由反比例函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1），
∴k＝2×（﹣1）＝﹣2，﹣1＝2k+b，
∴b＝3；
（2）∵k＝﹣2，
∴y＝的图象在第二、四象限，y随x的增大而增大，
当a＞0时，
∴3a＞2a＞a，
∴y3＞y1＞y2，
当a＜0时，
∴3a＜2a＜a，
∴y3＜y1＜y2．
23．（10分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．
（1）求证：BE是⊙O的切线．
（2）若＝2，CE＝1，求点B到AD的距离．
【分析】（1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
（2）证明△OBC是等边三角形，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，
∵CB平分∠ACE．
∴∠ACB＝∠ECB，
∵∠BCA＝∠BDA，
∴∠BCA＝∠BAD，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCE＝∠CBO，
∴OB∥ED．
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO．
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠OBE＝∠E＝90°，
∴点B到AD的距离即为DE的长，
∵＝2，
∴∠AOB＝2∠COB，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∵BE是切线，
∴OB⊥EB，
∴∠EBO＝90°，
∴∠EBC＝30°，∠BCE＝60°，
∴BC＝2EC＝2，AC＝2BC＝4，
∴∠ACD＝60°，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝2，
∴DE＝3．
答：点B到AD的距离为3．
24．（12分）抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣a+3（a为常数）的顶点为A．
（1）用a表示点A的坐标；
（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t（t＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；
①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；
②若y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线AC与x轴交点的横坐标的最小值．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）①根据抛物线的平移可得出平移后的抛物线，并求出抛物线的顶点B，由抛物线的对称性可得出a和t之间的函数关系；
②有题意可得抛物线G的对称轴x＝a≤﹣4，并求出抛物线H的顶点C，联立，求出直线解析式，表达出直线AC与x轴的交点的横坐标，再求出它的最小值．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2ax﹣a+3＝（x﹣a）2﹣a2﹣a+3，
∴顶点A（a，﹣a2﹣a+3）；
（2）由点A的坐标可知，抛物线H：y＝﹣x2﹣x+3，
抛物线G向右平移t个单位后，抛物线为：y＝（x﹣a﹣t）2﹣a2﹣a+3，
此时的定点B（a+t，﹣a2﹣a+3），
①∵抛物线顶点B仍在抛物线H上，
∴y＝﹣（a+t）2﹣（a+t）+3＝﹣a2﹣a+3，
整理得t＝﹣2a﹣1，
∵t＞0，
∴﹣2a﹣1＞0，即a＜﹣，
∴t是a的函数，t＝﹣2a﹣1（a＜﹣）；
②∵y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，
∴对称轴，x＝a≤﹣4，
∵抛物线H：y＝﹣（x+）2+，
∴C（﹣，），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A，点C的坐标得，
，解得，，
∴y＝（﹣a﹣）x﹣a+3，
当y＝0时，x＝＝﹣+•，
又a≤﹣4，
∴当a＝﹣4时，x有最小值﹣，
∴直线AC与x轴交点的横坐标的最小值﹣．
25．（12分）不在射线DA上的点P是边长为2的正方形ABCD外一点，且满足∠APB＝45°，以AP，AD为邻边作▱APQD．
（1）如图，若点P在射线CB上，请用尺规补全图形；
（2）若点P不在射线CB上，求∠PAQ的度数；
（3）设AQ与PD交点为O，当△APO的面积最大时，求tan∠ADO的值．
【分析】（1）以B为圆心，AB长为半径作弧，交射线CB于点P；
（2）如图2，连接QA，QC，QB，BD，由“SAS”可证△PAB≌△QDC，可得∠APB＝∠DQC＝45°，通过证明点B，点D，点A，点Q四点共圆，可得∠AQD＝∠ABD＝45°，即可求解；
（3）由平行四边形的面积公式可得当点P到AD的距离最大时，▱APQD的面积最大，此时，△APO的面积取最大值，利用圆的有关知识和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图1，以B为圆心，AB长为半径作弧，交射线CB于点P；
（2）如图2，连接QA，QC，QB，BD，
∵四边形APQD是平行四边形，
∴AP＝DQ，PQ∥AD，AP∥QD，
∴∠PAD+∠ADQ＝180°，
∴∠PAB＝90°﹣∠ADQ，
∴∠PAB＝90°﹣∠ADQ＝∠QDC，
又∵AP＝QD，AB＝CD，
∴△PAB≌△QDC（SAS），
∴∠APB＝∠DQC＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠CQD＝∠CBD＝45°，
∴点B，点C，点D，点Q四点共圆，
∴∠BCD＝∠BQD＝90°，
∴∠BQD＝∠BAD＝90°，
∴点B，点D，点A，点Q四点共圆，
∴∠AQD＝∠ABD＝45°，
∵AP∥QD，
∴∠PAQ＝∠AQD＝45°；
（3）∵四边形APQD是平行四边形，
∴S△APO＝S▱APQD，
∴当▱APQD的面积最大时，△APO的面积取最大值，
∵S▱APQD＝AD×点P到AD的距离，
∴当点P到AD的距离最大时，▱APQD的面积最大，
如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形ABE，以E为圆心，AE为半径作△ABP的外接圆，延长CB交⊙E于H，过点E作FE⊥BH，交⊙E于P，交DA的延长线于F，此时点P到AD的距离最大，
∵EA＝EB，∠AEB＝90°，AB＝2，
∴∠EAB＝45°，AE＝，
∴∠EAF＝45°，
∵EF⊥AF，
∴∠EAF＝∠FEA＝45°，
∴AF＝EF＝1，
∴PF＝1+，
∴S▱APQD最大＝AD•PF＝2×（1+），
∴S△APO最大＝S▱APQD＝，
∴tan∠ADO＝＝．
2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A． B．﹣3 C． D．3
2．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x4（x≠0） B．（m+n）2＝m2+n2
C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y6
4．（3分）如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC上一点，AD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ）
A．160 B．165 C．170 D．175
7．（3分）如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（3分）关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．（3分）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0），当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）分解因式：ax2﹣a＝ ．
13．（3分）方程组的解是 ．
14．（3分）如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出OA＝1，OB＝2，然后沿AB剪下一个△AOB，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为 ．
15．（3分）如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90°的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）
17．（4分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
18．（4分）如图，已知BD平分∠ABC，∠A＝∠C．
求证：△ABD≌△CBD．
19．（6分）已知M＝（x+3）（x﹣2）+（x+1）2+5．
（1）化简M；
（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．
20．（6分）某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？
21．（8分）为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：
①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 人，补全图（Ⅰ）；
（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
22．（10分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1）．
（1）求b的值；
（2）点（2a，y1），（a，y2），（3a，y3），a≠0，都在反比例函数图象上，根据图象比较y1，y2，y3的大小．
23．（10分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．
（1）求证：BE是⊙O的切线．
（2）若＝2，CE＝1，求点B到AD的距离．
24．（12分）抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣a+3（a为常数）的顶点为A．
（1）用a表示点A的坐标；
（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t（t＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；
①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；
②若y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线AC与x轴交点的横坐标的最小值．
25．（12分）不在射线DA上的点P是边长为2的正方形ABCD外一点，且满足∠APB＝45°，以AP，AD为邻边作▱APQD．
（1）如图，若点P在射线CB上，请用尺规补全图形；
（2）若点P不在射线CB上，求∠PAQ的度数；
（3）设AQ与PD交点为O，当△APO的面积最大时，求tan∠ADO的值．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A． B．﹣3 C． D．3
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据向左平移横坐标减，可得结论．
【解答】解：∵将点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，
∴点B的横坐标为0，纵坐标为﹣1﹣2＝﹣3，
∴B的坐标为（0，﹣3）．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x4（x≠0） B．（m+n）2＝m2+n2
C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y6
【分析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝x6，所以A选项不符合题意；
B、原式＝m2+2mn+n2，所以B选项不符合题意；
C、3a与2b不能合并，所以C选项不符合题意；
D、原式＝x6，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正三棱柱的上面看：可以得到一个正三角形，故其俯视图的内角和为180°．
故选：A．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC上一点，AD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得结论．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝4，
故选：C．
6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ）
A．160 B．165 C．170 D．175
【分析】根据中位数的定义直接解答即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数，
则这些运动员成绩的中位数为165cm．
故选：B．
7．（3分）如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由三角形内角和定理可知，∠DEF＝45°，∠ACB＝60°，再由平行线的性质可得，∠CEF＝60°，最后可得结论．
【解答】解：如图，
∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠CDE＝∠CEF﹣∠DEF＝15°．
故选：A．
8．（3分）关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】关于x的方程x2﹣2x+a＝0无实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝a，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a+1）在第一象限，
故选：A．
9．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明即可．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
故选：B．
10．（3分）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0），当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】首先根据k与x的取值分析函数y1，y2 增减性，根据增减性确定最值，进而求解．
【解答】解：∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1 随x的增大而减小，y2 随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1 取最大值，最大值为＝a①；
当x＝2时，y2 取最小值，最小值为﹣＝a﹣4②；
由①②得a＝2，k＝4，
∴ak＝8，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）＝ 2 ．
【分析】将12分解为4×3，进而开平方得出即可．
【解答】解：＝＝×＝2．
12．（3分）分解因式：ax2﹣a＝ a（x+1）（x﹣1） ．
【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：ax2﹣a，
＝a（x2﹣1），
＝a（x+1）（x﹣1）．
13．（3分）方程组的解是 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：2x＝4，即x＝2，
①﹣②得：2y＝2，即y＝1，
则方程组的解为．
故答案为：．
14．（3分）如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出OA＝1，OB＝2，然后沿AB剪下一个△AOB，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为 4 ．
【分析】直接利用折叠方法可得出展开的四边形是菱形，利用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：由题意，四边形是菱形，
∵∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，
∴AB＝＝＝，
∴四边形的周长为4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90°的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．
【分析】连接BC，根据圆周角定理得到BC为圆的直径，求出AC，根据弧长公式求出的长，根据圆锥的侧面展开图计算．
【解答】解：连接BC，
∵∠CAB＝90°，
∴BC为圆的直径，
∴AC＝AB＝3，
∴的长＝＝，
设圆锥的底面圆的半径为r，
由题意得，2πr＝π，
解得，r＝，
即圆锥的底面圆的半径为，
故答案为：．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为 3×22019 ．
【分析】根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OBn，根据题意找出规律，根据规律解答即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，
∴OB＝OA•cos∠AOB＝，
由题意得，OB1＝2OB＝×2，
OB2＝2OB1＝×22，
……
OBn＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，
∵2021÷12＝168……5，
∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos60°＝×22020×＝3×22019，
故答案为：3×22019．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）
17．（4分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
解不等式3x+2＞﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．（4分）如图，已知BD平分∠ABC，∠A＝∠C．
求证：△ABD≌△CBD．
【分析】根据AAS证明△ABD与△CBD全等．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
19．（6分）已知M＝（x+3）（x﹣2）+（x+1）2+5．
（1）化简M；
（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．
【分析】（1）先利用乘法公式展开，然后合并即可；
（2）根据正方形的面积公式得到x＝，然后把x的值代入（1）中化简的式子里计算即可．
【解答】解：（1）M＝x2+x﹣6+x2+2x+1+5
＝2x2+3x；
（2）∵x是面积为5的正方形边长，
∴x＝，
∴M＝2×（）2+3×
＝10+3．
20．（6分）某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？
【分析】设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x+9）元，根据“用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等”列出方程并解答．
【解答】解：设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x+9）元，
根据题意，得＝．
解得x＝26．
经检验x＝26是所列方程的解，且符合题意，
所以x+9＝35．
答：每张A票的票价是26元，则每张B票的票价为35元．
21．（8分）为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：
①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 60 人，补全图（Ⅰ）；
（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为 200 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 ，90 度；
（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数，再1由369°乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%＝60（人），
则喜爱⑤数独游戏的人数为：60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），
故答案为：60，
补全图（Ⅰ）如下：
（2）估计该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为：800×＝200（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：200，90；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为＝．
22．（10分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1）．
（1）求b的值；
（2）点（2a，y1），（a，y2），（3a，y3），a≠0，都在反比例函数图象上，根据图象比较y1，y2，y3的大小．
【分析】（1）将点（2，﹣1）代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由反比例函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1），
∴k＝2×（﹣1）＝﹣2，﹣1＝2k+b，
∴b＝3；
（2）∵k＝﹣2，
∴y＝的图象在第二、四象限，y随x的增大而增大，
当a＞0时，
∴3a＞2a＞a，
∴y3＞y1＞y2，
当a＜0时，
∴3a＜2a＜a，
∴y3＜y1＜y2．
23．（10分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．
（1）求证：BE是⊙O的切线．
（2）若＝2，CE＝1，求点B到AD的距离．
【分析】（1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
（2）证明△OBC是等边三角形，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，
∵CB平分∠ACE．
∴∠ACB＝∠ECB，
∵∠BCA＝∠BDA，
∴∠BCA＝∠BAD，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCE＝∠CBO，
∴OB∥ED．
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO．
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠OBE＝∠E＝90°，
∴点B到AD的距离即为DE的长，
∵＝2，
∴∠AOB＝2∠COB，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∵BE是切线，
∴OB⊥EB，
∴∠EBO＝90°，
∴∠EBC＝30°，∠BCE＝60°，
∴BC＝2EC＝2，AC＝2BC＝4，
∴∠ACD＝60°，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝2，
∴DE＝3．
答：点B到AD的距离为3．
24．（12分）抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣a+3（a为常数）的顶点为A．
（1）用a表示点A的坐标；
（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t（t＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；
①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；
②若y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线AC与x轴交点的横坐标的最小值．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）①根据抛物线的平移可得出平移后的抛物线，并求出抛物线的顶点B，由抛物线的对称性可得出a和t之间的函数关系；
②有题意可得抛物线G的对称轴x＝a≤﹣4，并求出抛物线H的顶点C，联立，求出直线解析式，表达出直线AC与x轴的交点的横坐标，再求出它的最小值．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2ax﹣a+3＝（x﹣a）2﹣a2﹣a+3，
∴顶点A（a，﹣a2﹣a+3）；
（2）由点A的坐标可知，抛物线H：y＝﹣x2﹣x+3，
抛物线G向右平移t个单位后，抛物线为：y＝（x﹣a﹣t）2﹣a2﹣a+3，
此时的定点B（a+t，﹣a2﹣a+3），
①∵抛物线顶点B仍在抛物线H上，
∴y＝﹣（a+t）2﹣（a+t）+3＝﹣a2﹣a+3，
整理得t＝﹣2a﹣1，
∵t＞0，
∴﹣2a﹣1＞0，即a＜﹣，
∴t是a的函数，t＝﹣2a﹣1（a＜﹣）；
②∵y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，
∴对称轴，x＝a≤﹣4，
∵抛物线H：y＝﹣（x+）2+，
∴C（﹣，），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A，点C的坐标得，
，解得，，
∴y＝（﹣a﹣）x﹣a+3，
当y＝0时，x＝＝﹣+•，
又a≤﹣4，
∴当a＝﹣4时，x有最小值﹣，
∴直线AC与x轴交点的横坐标的最小值﹣．
25．（12分）不在射线DA上的点P是边长为2的正方形ABCD外一点，且满足∠APB＝45°，以AP，AD为邻边作▱APQD．
（1）如图，若点P在射线CB上，请用尺规补全图形；
（2）若点P不在射线CB上，求∠PAQ的度数；
（3）设AQ与PD交点为O，当△APO的面积最大时，求tan∠ADO的值．
【分析】（1）以B为圆心，AB长为半径作弧，交射线CB于点P；
（2）如图2，连接QA，QC，QB，BD，由“SAS”可证△PAB≌△QDC，可得∠APB＝∠DQC＝45°，通过证明点B，点D，点A，点Q四点共圆，可得∠AQD＝∠ABD＝45°，即可求解；
（3）由平行四边形的面积公式可得当点P到AD的距离最大时，▱APQD的面积最大，此时，△APO的面积取最大值，利用圆的有关知识和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图1，以B为圆心，AB长为半径作弧，交射线CB于点P；
（2）如图2，连接QA，QC，QB，BD，
∵四边形APQD是平行四边形，
∴AP＝DQ，PQ∥AD，AP∥QD，
∴∠PAD+∠ADQ＝180°，
∴∠PAB＝90°﹣∠ADQ，
∴∠PAB＝90°﹣∠ADQ＝∠QDC，
又∵AP＝QD，AB＝CD，
∴△PAB≌△QDC（SAS），
∴∠APB＝∠DQC＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠CQD＝∠CBD＝45°，
∴点B，点C，点D，点Q四点共圆，
∴∠BCD＝∠BQD＝90°，
∴∠BQD＝∠BAD＝90°，
∴点B，点D，点A，点Q四点共圆，
∴∠AQD＝∠ABD＝45°，
∵AP∥QD，
∴∠PAQ＝∠AQD＝45°；
（3）∵四边形APQD是平行四边形，
∴S△APO＝S▱APQD，
∴当▱APQD的面积最大时，△APO的面积取最大值，
∵S▱APQD＝AD×点P到AD的距离，
∴当点P到AD的距离最大时，▱APQD的面积最大，
如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形ABE，以E为圆心，AE为半径作△ABP的外接圆，延长CB交⊙E于H，过点E作FE⊥BH，交⊙E于P，交DA的延长线于F，此时点P到AD的距离最大，
∵EA＝EB，∠AEB＝90°，AB＝2，
∴∠EAB＝45°，AE＝，
∴∠EAF＝45°，
∵EF⊥AF，
∴∠EAF＝∠FEA＝45°，
∴AF＝EF＝1，
∴PF＝1+，
∴S▱APQD最大＝AD•PF＝2×（1+），
∴S△APO最大＝S▱APQD＝，
∴tan∠ADO＝＝．
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