人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理课堂检测

17.1勾股定理

同步练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）

A．5个         B．4个     C．3个     D．2个

选C

2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（　　）

A．3        B．4       C．2         D．4

解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；

Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；

∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，

即可得AD==3．

故选A．

3．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　）

A．2个       B．3个      C．4个        D．6个

解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；

当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；

当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．

因而共有6个满足条件的顶点．

故选D．

4．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）

A．72        B．52       C．80       D．76

解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则

x2=122+52=169

所以x=13

所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．

故选：D．　

5．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（　　）

A．90       B．100       C．110         D．121

解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：

则四边形OALP是矩形．

∵∠CBF=90°，

∴∠ABC+∠OBF=90°，

又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠OBF=∠ACB，

在△OBF和△ACB中，

，

∴△OBF≌△ACB（AAS），

∴AC=OB，

同理：△ACB≌△PGC，

∴PC=AB，

∴OA=AP，

∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，

∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，

∴长方形KLMJ的面积为10×11=110．

故选：C．

6．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（　　）

A．1：1：      B．1：：2    C．1：：     D．1：4：1

解：∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，

∴c=2a，b=a，

∴三条边的比是1：：2．

故选：B．　

7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（　　）公式．

A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2           B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2

C．c2=a2+b2                         D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

解：∵大正方形的面积表示为：c2

又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，

∴c2=ab×4+（b﹣a）2，

c2=2ab+b2﹣2ab+a2，

∴c2=a2+b2．

故选：C．

8．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．3cm2     B．4cm2     C．6cm2    D．12cm2

解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．

∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．

∴BE=9﹣AE，

根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．

解得AE=4．

∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．

9．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）

A．5         B．25         C．7         D．15

解：依题意得：x2﹣4=0，y2﹣3=0，

∴x=2，y=，

斜边长==，

所以正方形的面积=（）2=7．

故选C．　

10．一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（　　）

A．4        B．         C．4或        D．2

解：①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4；

②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是=．

故选C．　

二．填空题（共5小题）

11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE=　2　（提示：可过点A作BD的垂线）

解：过A作AF⊥BD，交BD于点F，

∵AD=AB，∠DAB=90°，

∴AF为BD边上的中线，

∴AF=BD，

∵AB=AD=，

∴根据勾股定理得：BD==2，

∴AF=，

在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，

∴EF=AE，

设EF=x，则有AE=2x，

根据勾股定理得：x2+3=4x2，

解得：x=1，

则AE=2．

故答案为：2

12．如图，Rt△ABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则△ABC的面积是　5　  cm2．

解：如图，a2=c2+b2=25，则a=5．

又∵Rt△ABC的周长为，

∴a+b+c=5+3，

∴b+c=3（cm）．

∴△ABC的面积=bc=[（c+b）2﹣（c2+b2）]÷2=[（3）2﹣25]÷2=5（cm2）．

故答案是：5．

13．如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则第5个三角形的面积为　　，第n个三角形的面积为　　．

解：根据勾股定理：

第一个三角形中：OA12=1+1，S1=1×1÷2=；

第二个三角形中：OA22=OA12+1=1+1+1，S2=OA1×1÷2=×1÷2=；

第三个三角形中：OA32=OA22+1=1+1+1+1，S3=OA2×1÷2=×1÷2=；

…

∴第5个三角形的面积=

第n个三角形的面积Sn=．

故答案为：，．　

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是　1.5　．

解：连接DF，如图所示：

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB==5，

∵AD=AC=3，AF⊥CD，

∴CE=DE，BD=AB﹣AD=2，

∴CF=DF，

在△ADF和△ACF中，，

∴△ADF≌△ACF（SSS），

∴∠ADF=∠ACF=90°，

∴∠BDF=90°，

设CF=DF=x，则BF=4﹣x，

在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，

即x2+22=（4﹣x）2，

解得：x=1.5；

∴CF=1.5；

故答案为：1.5．

15．把两个全等的直角三角形拼成如图图形，那么图中三角形面积之和与梯形面积之间的关系用式子可表示为　（a+b）（a+b）=ab×2+c2　，整理后即为　a2+b2=c2　．

解：梯形面积：（a+b）（a+b）=ab×2+c2，

整理得：（a+b）2=2ab+c2，

a2+2ab+b2=2ab+c2，

a2+b2=c2，

故答案为：（a+b）（a+b）=ab×2+c2；a2+b2=c2．　

三．解答题（共5小题）

16．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，

设BD=x，则CD=14﹣x，

由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，

故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，

解之得：x=9．

∴AD=12．

∴S△ABC=BC•AD=×14×12=84．

17．学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图1放置，从正前方看图1得到的图形如图2所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！（提示：连接AC、CF、AF）

证明：连接AC、CF、AF．

由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=（a+c）（a+c）．

从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即ac+ac+b2．

两者列成等式化简即可得：a2+c2=b2．　

18．在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．

解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=60°．

则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=60°．

又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．

设BC=x，CD=16﹣x，由勾股定理得：x2=82+（16﹣x）2，解得x=10，16﹣x=6

所以BC=10，CD=6．

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB=45°，CD=10．

（1）求AB的长；

（2）求EC的长．

解：（1）在Rt△ACD中，∵∠D=60°，CD=10，

∴AC=，∠DAC=30°，

又∵AD∥BC，

∵∠ACB=∠DAC=30°，

∴在Rt△ACB中，

AB=AC==．

（2）在Rt△ABE中，∠AEB=45°，

∴BE=AB=，

由（1）可知，BC=AB==15，

∴EC=BC﹣BE=．

20．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．

（1）求证：DE⊥AB；

（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．

（2）解：由题意知：

S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE=a2+b2+cx，

∵，

∴．

∴a2+b2=c2．