第2章 2.7.1　抛物线的标准方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮，击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线．
1．抛物线的定义
思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
[提示] 不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2．抛物线的标准方程
思考2：确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？
提示：确定两个量，一个是p，另一个是一次项系数的正负．
思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
[提示] 一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．
( )
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)√ 抛物线的标准方程中p(p＞0)即为焦点到准线的距离．
(2)√ 一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上．
(3)× 当定点在直线上时，不表示抛物线．
2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为( )
A．eq \f(1,8) B．－eq \f(1,8) C．8 D．－8
B [由y＝ax2，得x2＝eq \f(1,a)y，eq \f(1,4a)＝－2，a＝－eq \f(1,8)．]
3．抛物线y2＝－16x的焦点坐标为( )
A．(－4,0) B．(4,0)
C．(0,4) D．(0，－4)
A [y2＝－16x，∴p＝－8，∴eq \f(p,2)＝－4，开口方向向左，
∴焦点坐标为(－4,0)．]
4．抛物线x2＝16y的准线方程为 ．
y＝－4 [抛物线的焦点在y轴上，开口方向向上，故准线方程为y＝－eq \f(p,2)，且2p＝16，∴eq \f(p,2)＝4，∴准线方程为y＝－4．]
【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[思路探究]
[解] (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3．
∴抛物线的方程为y2＝－6x．
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y．
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x．
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y．
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y．
求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：
1依据条件设出抛物线的标准方程的类型；
2求参数p的值；
3确定抛物线的标准方程.
提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝aya≠0的形式，以简化讨论过程.
eq \([跟进训练])
1．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5,2eq \r(5))到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程．
[解] 设焦点F(a,0)，|PF|＝eq \r(a＋52＋20)＝6，
即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1，或a＝－9．
当焦点为F(－1,0)时，p＝2，抛物线的开口向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口向左，其方程为y2＝－36x．
[探究问题]
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？
[提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1．定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．
2．如何看待抛物线中焦点和准线的位置？
[提示] 焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”．
3．抛物线方程中参数p的几何意义是什么？
[提示] 抛物线的标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误．
【例2】 若位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)．求点M的轨迹方程．
[思路探究] 把|MF|比M到y轴的距离大eq \f(1,2)，转化为|MF|与点M到x＝－eq \f(1,2)的距离相等，从而利用抛物线定义求解．
[解] 由于位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)，所以动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq \f(1,2)的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，
所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
1．(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
[解] 设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(1,2)))2＋yeq \\al(2,0)＝4 ①，又由例题的解析知点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，故yeq \\al(2,0)＝2x0 ②，
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(3,2)，,y0＝\r(3)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(3,2)，,y0＝－\r(3)，))
故点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\r(3)))．
2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．
[解] 如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，
最小值为3＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)．
这时点M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，
代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2)．
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
【例3】 (1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11．25 cm B．5．625 cm
C．20 cm D．10 cm
(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
(1)B [如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．∵A(40,30)在抛物线上，
∴302＝2p×40，∴p＝eq \f(45,4)，
∴光源到反光镜顶点的距离为
eq \f(p,2)＝eq \f(\f(45,4),2)＝eq \f(45,8)＝5．625(cm)．]
(2)解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25．
即抛物线方程为x2＝－25y．
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6．
由图知，AB是最长的支柱之一．
设点B的坐标为(2，yB)，解得yB＝－eq \f(4,25)，点A的坐标为(2，－4)，∴|AB|＝yB－(－4)＝－eq \f(4,25)＋4＝3．84，
∴最长支柱的长为3．84米．
求抛物线实际应用的五个步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
eq \([跟进训练])
2．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0．75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？
[解] 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝eq \f(8,5)，得x2＝－eq \f(16,5)y．
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4)．
又知船面露出水面上的部分高为0．75 m，
所以h＝|yA|＋0．75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航．
1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．
2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
1．抛物线y2＝4x上的点M(4，y0)到其焦点F的距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C [由抛物线y2＝4x，得F(1,0)，如图，|FM|＝4＋eq \f(p,2)＝4＋1＝5．
]
2．抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．y2＝16x D．y2＝8x
C [抛物线的准线为x＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y2＝2px(p＞0)，则eq \f(p,2)＝4，p＝8，抛物线方程为y2＝16x．]
3．若抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则实数p＝ ．
4 [因为椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1，所以a2＝6，b2＝2，
所以c2＝a2－b2＝4，故c＝2，
所以右焦点为(2,0)，所以eq \f(p,2)＝2，p＝4．]
4．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
[解] 设焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，
M点到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，
即9＋eq \f(p,2)＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x．
将M(－9，y)代入抛物线的方程，
得y＝±6．∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)
2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)
1．通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养．
2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养．
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p＞0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
求抛物线的标准方程
抛物线定义的应用
抛物线的实际应用