2020-2021学年2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系同步达标检测题

 www.ks5u.com学业分层测评(七)

(建议用时：45分钟)

[达标必做]

一、选择题

1．(2016·郑州高一检测)给出下列说法：

①梯形的四个顶点共面；

②三条平行直线共面；

③有三个公共点的两个平面重合；

④三条直线两两相交，可以确定3个平面．

其中正确的序号是(　　)

A．①   B．①④     C．②③   D．③④

【解析】　因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．

【答案】　A

2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

【解析】　选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．

【答案】　C

3．(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面(　　)

 【导学号：09960046】

A．只有一个 B．可作两个

C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个

【解析】　若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.

【答案】　D

4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中(　　)

A．必有三点共线

B．必有三点不共线

C．至少有三点共线

D．不可能有三点共线

【解析】　如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．

(1)　　　　　　　(2)

【答案】　B

5．如图2­1­7，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(　　)

图2­1­7

A．点A B．点B

C．点C，但不过点D D．点C和点D

【解析】　根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.

【答案】　D

二、填空题

6．如图2­1­8，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，试根据图形填空：

图2­1­8

(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；

(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；

(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；

(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．

【答案】　(1)A1B1　(2)AC　(3)OO1　(4)B1

7．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．

【解析】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．

②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，

直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．

③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．

【答案】　1或2或3

三、解答题

8．如图2­1­9所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.

 【导学号：09960047】

图2­1­9

【证明】　∵EF∩GH＝P，

∴P∈EF且P∈GH.

又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，

∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，

∴P∈平面ABD∩平面CBD，

∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.

∴点P在直线BD上．

9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．

【解】　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．

证明：法一　∵l1∩l2＝A，

∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2⊂α，∴B∈α.

同理可证C∈α.

又∵B∈l3，C∈l3，

∴l3⊂α.

∴直线l1、l2、l3在同一平面内．

法二　∵l1∩l2＝A，

∴l1、l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，

∴l2、l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．

∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．

[自我挑战]

10．下列说法中正确的是(　　)

A．空间不同的三点确定一个平面

B．空间两两相交的三条直线确定一个平面

C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形

D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内

【解析】　

经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.

【答案】　D

11．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图2­1­10.

(1)求证：D、B、E、F四点共面；

(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．

图2­1­10

 【导学号：09960048】

【解】　

(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．

(2)由于AA1∥CC1，

所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．

P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.

又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β.

同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.

又因为A1C⊂β，

所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．

连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.