人教新版数学八年级下册专题复习《平行四边形》（含答案）

这是一份人教新版数学八年级下册专题复习《平行四边形》（含答案），共62页。
人教新版数学九年级专题复习《平行四边形》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　）

A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
2．（2021•锡山区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP＝3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（　　）

A．8 B．6 C． D．
3．（2021春•安宁市校级期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021•慈溪市模拟）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　）

A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
5．（2020秋•沈北新区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（　　）

A．2﹣2 B．2 C．3﹣1 D．2
6．（2020秋•化州市期末）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2019秋•鼓楼区期末）如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB＝2∠B．若BC＝8，EF＝，则AF的长是（　　）

A． B． C．3 D．5
8．（2020•龙岗区校级模拟）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．4
9．（2019秋•温江区校级月考）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则OE的长度是（　　）

A． B．5 C．3 D．
10．（2021春•朝阳区校级期中）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（　　）

A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•兴化市月考）如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝；其中正确结论的有　 　．

12．（2021春•黄陂区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE＝3，AF＝4，则AB的长为　 　．

13．（2021•河南模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，DE平分∠ADC交BC于点E，AF平分∠BAD交BC于点F，交DE于点G，则＝　 　．

14．（2020•历城区三模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的序号是　 　．

15．（2020•香坊区三模）正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF于点G，过点F作AE的平行线，交AD于点M，交BC的延长线于点N，CN＝3DM，AM＝，则FG的长为　 　．

16．（2020•南岗区四模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，BF，BE与AF相交于点G，点H，P分别为AB，BF的中点，连接GH，GP，若GH＝4，GP＝5，则EG的长为　 　．

17．（2020秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为　 　．

18．（2020秋•碑林区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝2DF，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为　 　．

19．（2020秋•郫都区期中）如图是一个边长大于16cm的正方形，以距离正方形的四个顶点8cm处沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积　 　．

20．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，BF⊥AE，连接OF．已知∠DAG＝15°，下列说法正确的是　 　．（将正确答案的序号填写下来）
①AG＝BD；②BF＝；③；④S△POF＝；⑤若E点为线段CD上一动点，当AE＝EC+CQ时，AQ＝4．

三．解答题（共10小题）
21．（2021春•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC＝　 　时，矩形AEBD是正方形．

22．（2021•恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．

23．（2021•道里区三模）如图，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交AD于E，∠ABC的平分线交ED于点F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若∠A＝120°，BF＝8，EF＝3，求BC的长．

24．（2021•鼓楼区二模）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：
（1）△AHE≌△BEF；
（2）四边形EFGH是正方形．

25．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

26．（2021•南岗区校级模拟）已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F，连BE．
（1）如图1，求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图2，若AC＝3AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与∠ADB相等的角（∠ADB除外）．

27．（2021•岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 　 　；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．

28．（2021•南岗区校级一模）点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，作FG∥AE，交AC的延长线于点G，连接AF、EG．

（1）如图1，求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如图2，当AF平分∠CAD时，在不添加辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括腰长等于AB的等腰三角形）．
29．（2021春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是正方形，请说明理由．

30．（2021•西湖区校级三模）如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G．
（1）证明△AED≌△BFA；
（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）若OG的长为1，求BE的长度．


2021年新初三数学人教新版专题复习《平行四边形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　）

A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】动点型；三角形；数据分析观念．
【分析】把点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。
【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当AP⊥BC时，此时△ABP为等腰三角形；
当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；
当点P在CD上且位于AB的中垂线时，则△ABP为等腰三角形；
当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，题目有一定的综合性，难度适中。
2．（2021•锡山区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP＝3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（　　）

A．8 B．6 C． D．
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】如图，取AC，BC的中点M，N，连接PM，PN，MN，QP，QC．利用相似三角形的性质证明CP⊥AB，推出点Q的运动轨迹是线段MN，推出线段PQ扫过的面积为△PMN的面积＝△MNC的面积即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC，BC的中点M，N，连接PM，PN，MN，QP，QC．

∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴∠APC∽△ACB，
∴∠APC＝∠ACB＝90°，
∴CP⊥AB，
∵BM＝CM，CN＝NA，
∴MN∥AB，
∴MN垂直平分线段PC，
∵∠ECF＝∠EPF＝90°，EQ＝FQ，
∴CQ＝QP＝EF，
∴点Q在线段PC的垂直平分线上，
∴点Q的运动轨迹是线段MN，
∴线段PQ扫过的面积为△PMN的面积＝△MNC的面积＝×3×4＝6，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，属于中考常考题型．
3．（2021春•安宁市校级期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由△AEF是等边三角形，得到∠EAF＝60°，进而求出∠DAF＝15°，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC＝FC＝x，由勾股定理就可以得出EF，根据直角三角形斜边中线的性质即可证得CG＝CE．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
故①正确；
∵∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
故③正确；
∵∠ECF＝90°，EG＝FG，
∴CG＝EF，
设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，
∴CG＝EF＝x＝CE，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，根据全等三角形的的判定证得Rt△ABE和Rt△ADF是解题的关键．
4．（2021•慈溪市模拟）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　）

A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
【考点】平行四边形的性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，F为BC上一动点，x是变量，（a﹣2c）是x的系数，根据平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a﹣2c＝0，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数，
∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴a﹣2c＝0，
∴a＝2c，
∴E是AB的中点，
∴AB＝2AE，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
5．（2020秋•沈北新区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（　　）

A．2﹣2 B．2 C．3﹣1 D．2
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；创新意识．
【分析】先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，证出∠APB＝90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP＝OB＝2，即可求解．
【解答】解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：

连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
6．（2020秋•化州市期末）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形．
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，即＝，
解得：AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，
∴ME+MF＝MB．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．
7．（2019秋•鼓楼区期末）如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB＝2∠B．若BC＝8，EF＝，则AF的长是（　　）

A． B． C．3 D．5
【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥AF，
∴∠FAB＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠DAB＝∠B，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∵∠AEB＝2∠B，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵BC＝8，
∴AE＝AD＝4，
∵EF＝，EF⊥AF，
∴AF＝＝＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
8．（2020•龙岗区校级模拟）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．4
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．
【解答】解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF＝EF＝1，
∴△EFC的面积为＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和FQ的长度是解此题的关键．
9．（2019秋•温江区校级月考）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则OE的长度是（　　）

A． B．5 C．3 D．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据∠EDC：∠EDA＝1：3，可得∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，再由AC＝10，求得DE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，
∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝45°，
∴OE＝DE，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（2DE）2＝OD2＝25，
∴DE＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，求解∠COD＝45°是解题的关键．
10．（2021春•朝阳区校级期中）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（　　）

A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
【考点】平行四边形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】根据题意∠DFE+∠EPC＝∠DPC，作PH⊥BC交BC的延长线于H，证明CP是∠DCH的角平分线即可解决问题．
【解答】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，
∠DAF＝∠ABE＝∠DCB＝∠DCH＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ADF≌△BAE（ASA），
∴DF＝AE，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF＝PE，∠DFE＝∠DPE，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠PEH＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，
∵∠ABE＝∠H＝90°，AE＝EP．
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴PH＝BE，AB＝EH＝BC，
∴BE＝CH＝PH，
∴∠PCH＝45°，
∵∠DCH＝90°，
∴∠DCP＝∠PCH，
∴CP是∠DCH的角平分线，
∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线，
∵∠DFE+∠EPC＝∠DPE+∠EPC＝∠DPC，
观察图象可得，∠DPC一直减小，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•兴化市月考）如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝；其中正确结论的有　①②③④　．

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得DE＝DF,∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判断出△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性质可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形内角和为180°即可判断②正确；连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得BM＝EF＝MD．运用“SSS”证明△BCM≌△DCM，得∠BCM＝∠DCM；最后由正方形的性质推知MC垂直平分BD，故③成立；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，求得CM＝MH＝，故④正确．
【解答】解：正方形ABCD中，AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，
∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∴∠DFE＝45°,
∵正方形ABCD,BD为对角线，
∴∠NBE＝45°,
∵∠FDN+∠DFN+∠DNF＝∠NBE+∠BNE+∠NEB＝180°,∠NBE＝∠DFE＝45°,∠DNF＝∠BNE,
∴∠FDB＝∠FEB,故②正确；
连接BM、DM，

∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM＝DM＝EF，
又∵BC＝CD，
∴直线CM是BD的垂直平分线，
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH＝BF＝1，
∴CM＝MH＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
12．（2021春•黄陂区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE＝3，AF＝4，则AB的长为　　．

【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，先证明△ABE≌△MCE，得到AM＝2AE＝6，然后在Rt△AMN中，利用30°直角三角形的性质和勾股定理可求AN＝3，MN＝3，然后在Rt△MNF中利用勾股定理求出MF值，依据MF＝AB，则AB值可求．
【解答】解：延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，
∵E点为BC中点，
∴BE＝CE．
∵AB∥DM，
∴∠B＝∠ECM．
又∠AEB＝∠MEC，
∴△ABE≌△MCE（ASA）．
∴CM＝AB，AE＝ME＝3，
∴AM＝2AE＝6．
在Rt△AMN中，∠MAN＝60°，
所以∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝3，MN＝＝＝3，
∴NF＝AF﹣AN＝4﹣3＝1．
在Rt△MNF中，利用勾股定理可得
MF＝＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
又F为CD中点，
∴CF＝CD＝AB．
∴MF＝MC+CF＝AB．
所以AB＝2，
解得AB＝．

故答案为．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在几何图形中涉及线段中线问题，一般倍长中线，作出辅助线构造等腰三角形进行线段的转化．
13．（2021•河南模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，DE平分∠ADC交BC于点E，AF平分∠BAD交BC于点F，交DE于点G，则＝　　．

【考点】角平分线的性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】过点G作AD的垂线，分别交AD，BC于点N，M，可得四边形CDNM是矩形，根据矩形性质和角平分线定义可以证明△AGD和△GEF均为等腰直角三角形，再利用勾股定理可得CG和FG的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，过点G作AD的垂线，分别交AD，BC于点N，M，

则四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝AB＝3，CM＝DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝4，
∵DE平分∠ADC交BC于点E，AF平分∠BAD交BC于点F，
∴∠DAG＝∠ADG＝∠GEF＝∠GFE＝45°，
∴△AGD和△GEF均为等腰直角三角形，
∴GN＝DN＝AD＝2，
∴GM＝MN﹣GN＝AB﹣GN＝3﹣2＝1，
MC＝DN＝2，
∴MF＝GM＝1，
∴CG＝＝＝，
∴GF＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2020•历城区三模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的序号是　①②③④　．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；数形结合；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF＝∠CDE，由余角的性质可得CF⊥DE；由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断②；如图，过点A作AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得CH＝DM＝＝MH，由垂直平分线的性质可得AD＝AH；由平行线分线段成比例可求GH的长，即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，
∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，
又∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵CD＝6，CE＝3，
∴DE＝
＝
＝3，
∵S△DCE＝CD×CE＝DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE于点M，

∵DC＝6，CH＝，
∴DH＝
＝
＝，
∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠CDH＝∠DAM，
又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS），
∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，
∴MH＝DM＝，
又∵AM⊥DH，
∴AD＝AH，故③正确；
∵DE＝3，DH＝，
∴HE＝，
ME＝HE+MH＝，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴＝，
∴＝，
∴HG＝，故④正确．
综上，正确的有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15．（2020•香坊区三模）正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF于点G，过点F作AE的平行线，交AD于点M，交BC的延长线于点N，CN＝3DM，AM＝，则FG的长为　5.2　．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】根据正方形的性质证明△BAE≌△CBF，可得BE＝CF，再证明四边形AENM是平行四边形，设DM＝a，则BC＝AD＝CD＝+a，根据△MDF∽△NCF，可求a的值，根据勾股定理BF的长，再证明△BGE∽△BCF，可得BG的长，进而可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠ABG+∠FBE＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠AGF＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BAG＝∠FBE，
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（ASA），
∴BE＝CF，
∴BC﹣BE＝CD﹣CF，
∴CE＝DF，
∵AM∥EN，AE∥MN，
∴四边形AENM是平行四边形，
∴AM＝EN＝，
设DM＝a，则BC＝AD＝CD＝+a，
∵CN＝3DM，
∴CN＝3a，
∴EC＝EN﹣CN＝﹣3a，
∴DF＝﹣3a，
∴CF＝CD﹣DF＝+a﹣（﹣3a）＝4a，
∵AD∥BC，
∴△MDF∽△NCF，
∴＝＝，
∴＝，
解得a＝，
∴BC＝+a＝8，
CF＝BE＝4a＝6，
∴BF＝＝＝10，
∵AE⊥BF，
∴∠BGE＝∠BCF＝90°，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝4.8，
∴FG＝BF﹣BG＝10﹣4.8＝5.2．
故答案为：5.2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
16．（2020•南岗区四模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，BF，BE与AF相交于点G，点H，P分别为AB，BF的中点，连接GH，GP，若GH＝4，GP＝5，则EG的长为　　．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】根据正方形的性质证明△ABE≌△ADF，证明BG⊥AF，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AH＝BH＝GH＝4，BP＝FP＝GP＝5，得AB＝BC＝CD＝AD＝8，BF＝10，再根据勾股定理求出FC和AF的长，根据△GAE∽△DAF，即可得EG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴BG⊥AF，
∴∠AGB＝∠FGB＝90°，
∵点H，P分别为AB，BF的中点，
∴AH＝BH＝GH＝4，BP＝FP＝GP＝5，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，BF＝10，
∴FC＝＝＝6，
∴DF＝CD﹣FC＝8﹣6＝2，
∴AF＝＝＝2，
∵∠AGE＝∠D＝90°，∠GAE＝∠DAF，
∴△GAE∽△DAF，
∴＝，
∴EG＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
17．（2020秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为　6﹣2或2　．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；分类讨论；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】分两种情况进行：①当点P在CD边上时，作DQ⊥PF于点Q，设PF＝x，根据等腰三角形的性质表示DF，再根据线段垂直平分线的性质可得AF＝PF，进而可得PF的长；②第二种情况当点P在CD延长线上时，根据菱形的性质可得△DPF是等边三角形，进而可得PF的长．
【解答】解：①如图，作DQ⊥PF于点Q，设PF＝x，

∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵△DPF是等腰三角形，
∴DF＝DP，FQ＝PQ＝PF＝x，
∠FDQ＝∠PDQ＝ADC＝60°，
∴DF＝＝x，
∵MN垂直平分AP，
∴AF＝PF＝x，
∵AD＝AF+DF，
∴x+x＝4，
解得x＝6﹣2；
②第二种情况如图所示：

∵MN垂直平分AP，
∴AF＝PF，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，
∴∠ADP＝∠C＝60°，
∵△DPF是等腰三角形，
∴△DPF是等边三角形，
∴PF＝DF＝AF，
∵AD＝AF+DF＝2PF＝4，
∴PF＝2，
综上所述：PF的长为6﹣2或2．
故答案为：6﹣2或2．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
18．（2020秋•碑林区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝2DF，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为　5　．

【考点】垂线段最短；平行线之间的距离；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】作CH⊥AB于点H，根据已知条件可得CH的长，再根据平行四边形的性质可以证明△EOD∽△GOC，对应边成比例可得＝，当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，进而可得EG的最小值．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，
∴CH＝2，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴＝，
∵DE＝2DF，
∴DF＝DE，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝2，
∴GO＝3，
∴EG的最小值是5，
故答案为：5．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19．（2020秋•郫都区期中）如图是一个边长大于16cm的正方形，以距离正方形的四个顶点8cm处沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积　128cm2　．

【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】延长小正方形的一边交大正方形于一点，连接此点与距大正方形顶点8cm处的点，构造直角边长为8的等腰直角三角形，将小正方形的边长转化为等腰直角三角形的斜边长来求解即可．
【解答】解：如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点，
∴△ABC为直角边长为8cm的等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝8，
∴阴影正方形的边长＝AB＝8cm．
则中间阴影部分的面积为128cm2．
故答案为：128cm2．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理的应用，关键是正确做出辅助线，求出CD的长，进而得到正方形的边长，同时也渗透了转化思想．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，BF⊥AE，连接OF．已知∠DAG＝15°，下列说法正确的是　①③⑤　．（将正确答案的序号填写下来）
①AG＝BD；②BF＝；③；④S△POF＝；⑤若E点为线段CD上一动点，当AE＝EC+CQ时，AQ＝4．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据正方形的性质与解直角三角形的方法逐个解题求解．①根据∠DAG＝15°可得含60°角的直角三角形AOG，求出AG＝2AO．
②由∠DAE+∠BAF＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°得∠BAF＝∠DAE，tan∠BAF＝tan∠DAE＝＝＝，通过解直角三角形求出BF长度．
③将OP：OA转化为OP：OD，通过△ADP∽△QBP求解．
④先通过OP：OD＝1：3求出三角形OAP的面积，再通过PF与AP的比值求出三角形POF的面积．
⑤设ED＝x，EC＝2﹣x，通过相似三角形与勾股定理求出x的值从而求出AQ．
【解答】解：①∵∠DAG＝15°，
∴∠GAO＝∠DAG+∠DAO＝60°，
∴∠G＝30°，AG＝2AO，
∵BD＝2AO，
∴AG＝BD，
∴①正确，符合题意．
②∵E为CD中点，
∴DE＝CD，
∵∠DAE+∠BAF＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴tan∠BAF＝tan∠DAE＝＝＝，
∴BF＝2AF，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AB＝＝AF＝2，
∴AF＝，BF＝2AF＝，
∴②错误，不符合题意．
③∵E为CD中点，EC∥AB，
∴EC为△ABQ的中位线，C为BQ中点，
∴BQ＝2BC＝2AD，
∵AD∥BQ，
∴△ADP∽△QBP，
∴＝＝，
∴＝，
∴DP＝BD，OP＝OD﹣DP＝BD﹣BD＝BD，
∴＝＝＝，
∴③正确，符合题意．
④∵AB＝2，BQ＝2AB＝4，
∴AQ＝＝2，
∵＝＝，
∴AP＝AQ＝，
∴＝＝，
∴＝1﹣＝，
即S△POF＝S△AOP，
∵＝，
∴S△AOP＝S△AOD＝×S正方形ABCD＝，
∴S△POF＝S△AOP＝，
∴④错误，不符合题意．
⑤设ED＝x，EC＝2﹣x，
则＝，
即＝，
∴CQ＝，
∴AE＝EC+CQ＝2﹣x+＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE＝＝，
∴＝，
解得x＝或x＝﹣（舍）．
∴AE＝＝，
∵AD∥BQ，
∴∠DAE＝∠BQA，
∴sin∠DAE＝sin∠BQA＝＝，
∴AQ＝2AB＝4，
∴⑤正确，符合题意．
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查正方形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形的性质与解直角三角形的方法．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC＝　90°　时，矩形AEBD是正方形．

【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；矩形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB＝90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AE＝BD＝CD，进而利用正方形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；

（2）解：当∠BAC＝90°时，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AE＝BD＝CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
故答案是：90°．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握由一对邻边相等的矩形是正方形是解题关键．
22．（2021•恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．

【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】利用DE∥AC，AE∥BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO＝OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OD．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA＝OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
【点评】本题主要看出来了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定．利用菱形的对角线互相垂直是证明两条直线互相垂直的重要方法．
23．（2021•道里区三模）如图，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交AD于E，∠ABC的平分线交ED于点F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若∠A＝120°，BF＝8，EF＝3，求BC的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得∠ABF＝∠AFB，∠DEC＝∠DCE．即可得到AB＝AF，DE＝DC．即可求证结论．
（2）过点A作AH⊥BF，垂足为H，利用∠BAF＝120°，BF＝8可计算出AB的长度，结合（1）即可求出BC长度．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．AB＝DC．AD＝BC．
∴∠AFB＝∠FBC，∠DEC＝∠ECB．
∵CE是∠BCD的平分线，BF是∠ABC的平分线．
∴∠ABF＝∠FBC，∠DCE＝∠ECB．
∴∠ABF＝∠AFB，∠DEC＝∠DCE．
∴AB＝AF，DE＝DC．
∴AF＝DE．
∴AF﹣EF＝DE﹣EF．
∴AE＝DF．
（2）过点A作AH⊥BF，垂足为H，如图：

∵∠BAF＝120°，BF＝8．
∴∠BAH＝60°，BH＝．
∴＝＝8．
∴AF＝DE＝AB＝8．
∵EF＝3．
∴AE＝AF﹣EF＝5．
∴AD＝AE+ED＝13．
∴BC＝AD＝13．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质知识，关键在于得到∠ABF＝∠AFB，∠DEC＝∠DCE，从而利用等腰三角形形的性质求解．
24．（2021•鼓楼区二模）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：
（1）△AHE≌△BEF；
（2）四边形EFGH是正方形．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°．根据已知条件得到AH＝BE＝CF＝DG，由全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到EF＝FG＝GH＝HE，∠AEH＝∠BFE，推出四边形EFGH 为菱形，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
又∵AE＝BF＝DH＝CG，
∴AH＝BE＝CF＝DG，
∴△AHE≌△BEF（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝DG＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，
∴∠EHA+∠GHD＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定和性质、正方形的性质和判定，熟练掌握应用全等三角形的性质是解题的关键．
25．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，则DE＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
26．（2021•南岗区校级模拟）已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F，连BE．
（1）如图1，求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图2，若AC＝3AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与∠ADB相等的角（∠ADB除外）．

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）先证△AEM≌△DCM（AAS），得AE＝CD，再由AD是△ABC的中线，得到AE＝CD＝BD，即可得出结论；
（2）先证△AEF∽△BCF，得AB＝3AF，依据AC＝3AF，得AB＝AC，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，得四边形AEBD是矩形，即可求解．
【解答】（1）证明：∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
又∵AD是△ABC的中线，
∴AE＝CD＝BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）解：与∠ADB相等的角为：∠ADC、∠AEB、∠DBE、∠DAE，理由如下：
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴BF＝2AF，
∴AB＝3AF，
∵AC＝3AF，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝90°，
又∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝∠DBE＝∠DAE＝90°，
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
27．（2021•岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 　AE＝CF　；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．

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【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】（1）由题意添加条件即可；
（2）证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论．
【解答】解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
28．（2021•南岗区校级一模）点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，作FG∥AE，交AC的延长线于点G，连接AF、EG．

（1）如图1，求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如图2，当AF平分∠CAD时，在不添加辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括腰长等于AB的等腰三角形）．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】（1）先证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，根据FG∥AE，得到∠EAG＝∠FGA，从而得到FG＝AF＝AE，所以可得四边形AECF是平行四边形，进而得到其为菱形；
（2）由（1）及菱形的性质可得△AEG、△AFG是等腰三角形，再利用角之间的转换得到∠FGA＝∠CFG，从而得到△CFG、△CEG也是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）,
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠FAG，
∵FG∥AE，
∴∠EAG＝∠FGA，
∴∠FAG＝∠FGA，
∴FG＝AF＝AE，
∵FG∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．
理由如下：
由（1）及菱形的性质可得△AEG、△AFG是等腰三角形，
∴∠FAC＝∠FGA，
∵∠DAC＝2∠FAC，
∴∠DAC＝2∠FGA，
∵AD＝DC,
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA＝∠FGA+∠CFG，
∴2∠FGA＝∠FGA+∠CFG，
∴∠FGA＝∠CFG，
∴△CFG是等腰三角形，
同理可得△CEG是等腰三角形，
∴符合要求的等腰三角形为△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．
【点评】本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
29．（2021春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是正方形，请说明理由．

【考点】三角形中位线定理；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点推知四边形DAEF是平行四边形，再补充AB＝AC，从而得到菱形，再由一角为直角的菱形为正方形．
【解答】解：△ABC需满足AB＝AC，且∠A＝90°，四边形DAEF为正方形，理由如下：
∵AB＝AC，且AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又F为AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF＝AB，DF∥AB，
又∵E为AB的中点，
∴AE＝AB，
∴DF＝AE，且DF∥AE，
∴四边形AEDF为平行四边形，
同理DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，
又∵AB＝AC，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF为菱形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形DAEF为正方形．
【点评】此题考查了正方形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形、菱形的判定，属于条件探究型题，解答此类题应采用“逆向思维”，视结论为题设，寻求必要条件，往往缺少的就是那个条件．
30．（2021•西湖区校级三模）如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G．
（1）证明△AED≌△BFA；
（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）若OG的长为1，求BE的长度．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由正方形的性质及DE⊥AF可得∠ADE＝∠BAF，AD＝BA，从而证明△AED≌△BFA．
（2）由AF平分∠BAC可求∠DAM的度数，再由∠ADM＝45°及三角形内角和定理求解．
（3）作FK⊥AC于点K，通过求可得＝，设AG长为x，用含x代数式分别表示AB，AC，BF，FC长度求出x的长进而求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，
∵DE⊥AF，
∴∠DAH+∠ADE＝90°，
∵∠DAH+∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA（ASA）．
（2）△ADM是等腰三角形，理由如下：
∵∠BAC＝45°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝22.5°，
∴∠DAM＝∠DAC+∠CAF＝67.5°，
∴∠DMA＝180°﹣∠DAM﹣∠ADM＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠DAM＝∠DMA，
∴△ADM是等腰三角形．
（3）∵∠ADE＝∠BAF＝22.5°，
∴∠CDG＝∠ADC﹣∠ADE＝67.5°，
∴∠DGC＝180°﹣∠GCD﹣∠CDG＝67.5°，
∴CG＝CB，
∵AE∥CD，
∴∠AEG＝∠CDG＝67.5°，
∴AE＝AG，
如图，作FK⊥AC于点K，设AG＝AE＝x，

∵AO＝AG+OG＝x+1，
∴AB＝BC＝AO＝（x+1），AC＝2AO＝2（x+1），
∵△AED≌△BFA，
∴BF＝AE＝x，
∵AF平分∠BAC，
∴FK＝BF＝x，
∵S△ABF＝AB•BF，S△ACF＝AC•FK，
∴＝＝，
又∵＝，
∴＝＝，
即＝，
解得x＝，
∴BE＝AB﹣AE＝（x+1）﹣x＝2．
【点评】本题考查正方形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质及解直角三角形的方法．

考点卡片
1．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
2．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

5．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
8．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
9．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
10．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
12．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

13．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
14．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
15．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
16．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
17．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
18．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

20．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
21．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
22．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
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