初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例教案

这是一份初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例教案，共20页。

情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度．你能采用什么办法呢？
(1)回忆判定两个三角形相似的条件有哪些；
(2)每个小组准备好小镜子、标杆、皮尺等测量工具．分组活动，全班交流研讨，并运用所学知识验证结论的正确性． 图27－2－197
[说明与建议] 说明：思维，往往是从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现．在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．
建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．
悬念激趣 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约二百三十多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为很难爬到塔顶．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
[说明与建议] 说明：通过金字塔的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能对相似三角形的应用有初步的了解和认识．
建议：测量金字塔高度问题可以用两种方法：
图27－2－198
方法一：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
方法二：利用镜面反射(如图27－2－198，点A处放置一面小镜子，根据光的反射定律——入射角等于反射角构造相似三角形)．
素材二 考情考向分析
[命题角度1] 利用太阳光求物体的高度
根据太阳光是平行光线可以得到同一时刻同一地点下两个物体及其影长是成比例的，即物体、光线、影子所组成的两个三角形相似．可利用相似的性质来求物体的高度或在阳光下的影子的长度．
例1 柳州中考小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图27－2－199)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)
图27－2－199
A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
[命题角度2] 利用影子求物体的高度(影子落在墙上时)
当物体的影子有一部分落在墙上时，我们要考虑如何把墙上的影子高度进行转化．通过做辅助线可以把物体分成两部分，一部分物体的高度就是影子在墙上的高度，另一部分可以看做影子完全落在水平面上，即可利用相似三角形的相关知识来求解．
例 黑龙江中考在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图27－2－200所示，其中木杆AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__2.3__ m.
图27－2－200
[命题角度3] 利用标杆(或三角尺)解决实际问题
借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似三角形，进而利用对应边成比例解决问题．在这里如何操作，利用标杆或三角尺构造相似三角形是解此类题的关键．
例 北京中考如图27－2－201，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__5.5__ m.
图27－2－201
[命题角度4] 利用相似三角形测宽
把要测量的不能直接到达的宽与能够直接量出的宽构造成一对相似三角形的对应边，再测量这对三角形的另一对对应边，根据相似三角形的对应边成比例求出要测量的不能直接到达的宽度．
例 北京中考如图27－2－202，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
图27－2－202
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
[命题角度5] 多次利用相似三角形测高
利用视线和两根已知长的标杆，构造两对相似的直角三角形，利用相似三角形的性质求出建筑物的高．
例 潍坊中考如图27－2－203，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A、标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是__54__米．
图27－2－203
素材三 教材习题答案
P31 练习
1．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求eq \f(BC,CE)的值．
解：∵AG＝2，GD＝1，∴AD＝AG＋GD＝3.
∵AB∥CD∥EF，∴eq \f(BC,CE)＝eq \f(AD,DF)＝eq \f(3,5).
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比．
解：△ADE∽△ABC，相似比为3∶5.
P34 练习
1．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
(1)∠A＝40°，AB＝8 cm，AC＝15 cm，
∠A′＝40°，A′B′＝16 cm，A′C′＝30 cm；
(2)AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，
A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm.
解： (1)∵eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(1,2)，∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)∵eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(5,8)，
∴△ABC∽△A′B′C′.
2．图中的两个三角形是否相似？为什么？
解： (1)∵eq \f(15,27)＝eq \f(25,45)＝eq \f(20,36)，∴这两个三角形相似．
(2)∵eq \f(CD,BC)＝eq \f(CE,AC)＝eq \f(2,3)，∠DCE＝∠BCA，
∴△DCE∽△BCA.
3．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4 cm，5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？
解： 分三种情况，设另外两边长分别为x cm，y cm(x(1)若长为2 cm的边与长为4 cm的边是对应边，则eq \f(4,2)＝eq \f(5,x)＝eq \f(6,y)，解得x＝eq \f(5,2)，y＝3.
(2)若长为2 cm的边与长为5 cm的边是对应边，则eq \f(4,x)＝eq \f(5,2)＝eq \f(6,y)，解得x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(12,5).
(3)若长为2 cm的边与长为6 cm的边是对应边，则eq \f(4,x)＝eq \f(5,y)＝eq \f(6,2)，解得x＝eq \f(4,3)，y＝eq \f(5,3).
综上所述，另外两条边长应是eq \f(5,2) cm，3 cm或eq \f(8,5) cm，eq \f(12,5) cm或eq \f(4,3) cm，eq \f(5,3) cm.
P36 练习
1．底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．
解： 都相似，证明略．
2．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．
求证：(1)△ACD∽△ABC；
(2)△CBD∽△ABC.
证明： (1)∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
(2)∵∠CDB＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC.
3．如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k是正整数)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？
解：相似．因为两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
P39 练习
1．判断题(正确的画“√”，错误的画“×”)．
(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；( )
(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．( )
解： (1)√ 三角形的三边长同时扩大为原来的5倍后得到的三角形与原三角形的三边对应成比例，所以这两个三角形相似，再根据相似三角形的对应线段的比等于相似比即可知它的角平分线也扩大为原来的5倍．
(2)× 一个三角形的各边长扩大为原来的9倍后得eq \f(S原三角形,S扩大后的三角形)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,81).所以错误．
2．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(BE,B′E′).
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′.
又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(AB,A′B′).同理，eq \f(BE,B′E′)＝eq \f(AB,A′B′)，
∴eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(BE,B′E′).
3．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？
解： eq \f(6,2)＝eq \f(3,1)，即放大到原来的3倍，面积放大到原来的32＝9(倍)．
P41 练习
1．在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高度是多少？
解： 设这栋楼的高度为x m，根据同一时刻物高和影长成比例，得eq \f(1.8,x)＝eq \f(3,90)，解得x＝54.答：这栋楼的高度是54 m.
2．如图，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求河宽AB.
解： ∵∠ABC＝∠ECD＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，可得eq \f(AB,EC)＝eq \f(BD,CD)，即eq \f(AB,50)＝eq \f(120,60)，∴AB＝100 m.
答：河宽AB为100 m.
P42 习题27.2
1．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长为4 cm，求其他两边的实际长度．
解： 设其他两边的实际长度都为x m，则eq \f(5,25)＝eq \f(4,x)，解得x＝20，即其他两边的实际长度为20 m.
2．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
(1)AB＝10 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm，
A′B′＝150 cm，B′C′＝180 cm，A′C′＝225 cm；
(2)∠A＝70°，∠B＝48°，∠A′＝70°，∠C′＝62°.
解： (1)∵eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(10,150)＝eq \f(1,15)；eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(12,180)＝eq \f(1,15)；eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(15,225)＝eq \f(1,15)，∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)，
∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)∠C＝180°－(70°＋48°)＝62°，
∵∠A＝∠A′＝70°，∠C＝∠C′＝62°，
∴△ABC∽△A′B′C′.
3．如图，(1)判断两个三角形是否相似；(2)求x和y的值．
解：(1)设网格中小正方形的边长为1，
则AB＝2，BC＝2eq \r(2)，AC＝2eq \r(5)，
DE＝eq \r(2)，EF＝2，DF＝eq \r(10).
∵eq \f(AB,DE)＝eq \f(BC,EF)＝eq \f(AC,DF)＝eq \r(2)，
∴△ABC∽△DEF.
(2)∵eq \f(AC,CE)＝eq \f(60,40)＝eq \f(3,2)，eq \f(BC,DC)＝eq \f(39,26)＝eq \f(3,2)，
又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC.
∴eq \f(AB,DE)＝eq \f(AC,CE)，∠B＝∠D，
∴x＝eq \f(81,2)，y＝98.
4．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证△ADE∽△EFC.
解： ∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.
又∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF.
∴△ADE∽△EFC.
5．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
同理，△AFG∽△ABC.
∴△ADE∽△AFG∽△ABC.
6．如果把两条直角边分别为30 cm，40 cm的直角三角形按相似比eq \f(3,5)进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？
解：缩小后的直角三角形与原直角三角形相似，且相似比为eq \f(3,5)，所以缩小后的直角三角形的两条直角边的长分别为30×eq \f(3,5)＝18(cm)，40×eq \f(3,5)＝24(cm)，面积为eq \f(1,2)×18×24＝216(cm2)．
7．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB＝4 cm，BC＝10 cm，求BD的长．
解：∵AD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ADB＝∠CAB＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CAB.
∴eq \f(AB,CB)＝eq \f(DB,AB)，即eq \f(4,10)＝eq \f(DB,4)，∴BD＝1.6.
8．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA＝3OD，OB＝3OC)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？
解： CD＝eq \f(1,3)AB.
理由：∵eq \f(OD,OA)＝eq \f(1,3)，eq \f(OC,OB)＝eq \f(1,3)，
∴eq \f(OD,OA)＝eq \f(OC,OB).
又∠COD＝∠BOA，∴△COD∽△BOA.
∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(1,3).
∴CD＝eq \f(1,3)AB.
9．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，楼高CD是多少？
解： ∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，eq \f(EB,DC)＝eq \f(AB,AC).
∴CD＝eq \f(EB·AC,AB)＝eq \f(1.2×（1.6＋12.4）,1.6)＝10.5(m)．
答：楼高CD是10.5 m.
10．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时∠LMM等于∠SMT吗？如果王青身高1.55 m，她估计自己眼睛距地面1.50 m，同时量得LM＝30 cm，MS＝2 m，这栋楼有多高？
解： ∠LMM＝∠SMT.
在△LMM和△SMT中，
∠LMM＝∠SMT，∠MLM＝∠TSM＝90°，
∴△MLM∽△TSM.
∴eq \f(KL,TS)＝eq \f(LM,MS)，TS＝eq \f(KL·MS,LM)＝eq \f(1.50×2,0.3)＝10(m)．
答：这栋楼高10 m.
11．如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，EF∥BC，FG∥CD，四边形AEFG和四边形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论．
解： 相似．证明如下：
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∴∠AEF＝∠B，
∠AFE＝∠ACB，
eq \f(EF,BC)＝eq \f(AF,AC)＝eq \f(AE,AB).
同理可证，∠AFG＝∠ACD，
∠AGF＝∠ADC，
eq \f(FG,CD)＝eq \f(AF,AC)＝eq \f(AG,AD).
∴∠AFE＋∠AFG＝∠ACB＋∠ACD，
即∠EFG＝∠BCD.
eq \f(AE,AB)＝eq \f(EF,BC)＝eq \f(FG,CD)＝eq \f(AG,AD).
又∵∠EAG＝∠BAD，
∴四边形AEFG和四边形ABCD一直保持相似．
12．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D(或E)的位置．
解： ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴eq \f(S△ADE,S△ABC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AD,AB)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2).
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,\r(2))，AD＝eq \f(\r(2),2)AB.
即点D在距点A的eq \f(\r(2),2)AB处．
13．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，求∠ACB的大小．
解： ∵eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，
又∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB.
∴∠A＝∠DCB，∠ACD＝∠B，
∴∠A＋∠ACB＋∠B＝∠DCB＋∠ACB＋∠ACD＝2∠ACB＝180°.
∴∠ACB＝90°.
14．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝9.如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E.记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式，并画出它的图像．
解： 运动x秒时，BD＝2x，AD＝8－2x.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AD,AB)，即eq \f(y,9)＝eq \f(8－2x,8).
∴y＝eq \f(9,8)(8－2x)＝－eq \f(9,4)x＋9.
∵0≤2x≤8，
∴0≤x≤4.
∴y＝－eq \f(9,4)x＋9(0≤x≤4)．
画出它的图像如下：
素材四 图书增值练习
[当堂检测]
1. （2013重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3:4，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．4:3 B．3:4 C．16:9 D．9:16
2. 若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4:1，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）
A．2:1 B．1:2 C．4:1 D．1:4
3. 已知△ABC的三条边长分别为2 cm，5 cm，6 cm，现要利用长度为30 cm和60 cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ）
A．10 cm，25 cm，30 cm
B．10 cm，30 cm，36 cm或10 cm，12 cm，30 cm
C．10 cm，30 cm，36 cm
D．10 cm，25 cm，30 cm或12 cm，30 cm，36 cm
4. 已知AB//CD，AC与BD交于点O，AO:AD=2:5，若△AOB的周长为12 cm，则△COD的周长是______ .
5. 三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示，其中三角尺所在平面与墙面平行）．现测得OA＝20 cm，OA′＝50 cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．
参考答案
1．D
2．A
3．D
4．18 cm
5．2:5
[能力培优]
专题一 相似形中的开放题
1．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.
(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；
(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.
专题二 相似形中的实际应用题
3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
专题三 相似形中的探究规律题
4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )
A．24 B．25 C．26 D．27
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；
（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；
（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；
（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．
专题四 相似形中的阅读理解题
6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：
(1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；
(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为 ；
(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.

图1 图2
专题五 相似形中的操作题
7．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．
现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．
8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点 F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合）， 且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．
探究：FD+DG= DB，请给予证明．
专题六 相似形中的综合题
9．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．
10．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是eq \( ⌒,AE)的中点；
（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD；
（3）若，且AC=4，求CF的长.
【知识要点】
1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.
2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.
8．相似三角形对应高的比等于相似比.
9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
【温馨提示】
1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.
2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.
3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.
【方法技巧】
1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.
2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.
参考答案
1．或
【解析】根据题意得AD=1，AB=3，AC==，
∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC时，，即，解得AE=.
若△ADE∽△ACB时，，即，解得AE=.
∴当AE=或时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
2．解：（1）△ADE∽△ACB，△CEF∽△DBF，△EFB∽△CFD (不唯一).
（2）由∠BDE+∠BCE=180°，可得∠ADE=∠BCE. ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB;
∴=.∵ ∠A=∠A，
∴△AEB∽△ADC;∵∠BDE+∠BCE=180°，∠BCE+∠ECF=180°，
∴∠ECF=∠BDF，
又∠F=∠F，
∴△CEF∽△DBF;∴=，而∠F=∠F，∴△EFB∽△CFD.
3．解：∵ OA:OC＝OB:OD＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD.

∵ OA:OC＝AB:CD＝n ,
又∵CD＝b,
∴AB=CD·n ＝nb，
∴x＝ EQ \F(a－AB,2) ＝ EQ \F(a－nb,2) .
4．C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n，且每条纸条的长度都不小于5cm，．设矩形纸条的长边分别与AC、AB交于点M、N，因为
△AMN∽△ACB，所以．又因为AM=AC-1·n=30-n，MN≥5 cm，所以，得n≤26.25，所以n最多取整数26．
5．解：（1）在题图①中过点C作CN⊥AB于点N，交GF于点M．
因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5． 因为×5CN=×3×4，所以CN=．
因为GF∥AB，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B，所以△CGF∽△CAB，所以．
设正方形的边长为x，则，解得．所以正方形的边长为．
（2）同（1），有，解得．
（3）同（1），有，解得．
（4）同（1），有，解得．
6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”
(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x，则=,∴x=2m.
(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.
设新做扇形的半径为，则=，=15，即新做扇形的半径为15㎝.
7．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴.
在Rt△DNC中，
∵NE=ND，∴.
∴，故矩形DCEF为黄金矩形.
8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D.
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方
左右旋转，∴BF=DF.
∵∠HFG=∠B，∴∠GFD=∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴ ，
∴BH•GD=BF2.
（2）证明：∵AG∥CE，∴∠FAG∥∠C.∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG.
∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，△ABF≌△ADG，∴FB=DG，∴FD+DG=DB，
9．2
10．解：（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴AE⊥BC. ∵OD∥BC，∴AE⊥OD，∴D是eq \( ⌒,AE)的中点.
（2）方法一：证明：如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC .

∴∠AGD=∠B.
∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO. ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD.
方法二：证明：如图，延长AD交BC于H ，则∠ADO=∠AHC.
∵∠AHC=∠B +∠BAD，∴∠ADO =∠B +∠BAD. ∵OA=OD，∴∠DAO=∠B +∠BAD.
（3） ∵AO=OC，∴.∵，∴.
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，∴△ACD∽△FCE.
∴，即，∴CF=2.
素材五 数学素养提升
《记一次“测旗杆的高度”的活动》
活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯灯杆）的高度．
活动方式：分组活动、全班交流研讨．
活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具．
师：外边阳光明媚,天公做美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度．首先我们应该清楚测量原理．请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理．
甲组:利用阳光下的影子．
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图）,即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度．
有理有据．你们讨论得很成功．请乙组出代表说明方法2．
乙组:利用标杆．
如图，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC．
因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE，DG=AB
由得GC=
∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD．
还可以这样做．
过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC，
∴由可求得MC的长．于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF．

乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A的做法．这可以减少运算量．
请丙组同学出代表讲解．
丙组：利用镜子的反射．
这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC=．
同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员．活动内容是：测量学校操场上地旗杆高度．
［同学们紧张有序的进行测量］。
通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：
1．你还有哪些测量旗杆高度的方法？
2．今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？
通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性．
对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论．
1．测量中允许有正常的误差．我校旗杆高度为20 m，同学们本次测量获得成功．
2．方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确．
3．大家都认为方法简单易行，是个好办法．
4．方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力．
5．同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”．在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢．