北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试巩固练习

这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试巩固练习，共15页。
1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．5，12，13B．20，30，40C．5，9，12D．3，4，6
2．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，a，b，c是3×3正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于a，b，c大小关系的正确判断是（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a
4．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5mB．6mC．3mD．7m
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是∠ABC平分线，过点D作DE⊥BC于点E，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．2
7．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（ ）
A．13海里B．16海里C．20海里D．26海里
8．如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，则OA的长为（ ）
A．B．2C．D．4
二．填空题
9．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
10．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c为三边长，若a＝6，c＝10，则Rt△ABC的面积为 ．
12．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行．
13．如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有 米．
14．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是 ．
15．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺．
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则点P的运动时间为 秒．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，求AE的长．
18．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
19．如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2m，求钢索的长度．
20．国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．
21．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路L旁选取一点P，在公路L上确定点O、B，使得PO⊥L，OP＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路L上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．求AB的距离和此车的速度．（参考数据＝1.41，＝1.73）
22．如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状．
23．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2秒时，求AD的长；
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵202+302≠402，
∴以20，30，40为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵52+92≠122，
∴以5，9，12为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵32+42≠62，
∴以3，4，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：设网格中每个小正方形的边长是1．
图A中三角形各边长为、、，故该三角形为钝角三角形；
图B中各边长为2、4、2，故该三角形为直角三角形；
图C中各边长、2、，故该三角形为直角三角形；
图D中各边长为、2、5，故该三角形为直角三角形．
即B，C，D是直角三角形，A不是直角三角形．
故选：A．
3．解：由题意得a＝，
b＝，
c＝，
∴a＜b＜c，
故选：B．
4．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
5．解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB＝＝＝5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
6．解：作DF⊥AB于点F，作AG⊥BC于点G，
∵BD是∠ABC平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AG⊥BC，
∴BG＝3，∠AGB＝90°，
∴AG＝＝＝4，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴，
即，
解得DE＝，
故选：B．
7．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2＝24（海里），5×2＝10（海里），
根据勾股定理得：＝26（海里）．
答：离开港口2小时后两船相距26海里，
故选：D．
8．解：过O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，
∴∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴∠A+∠AOE＝90°，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴BF＝CF＝BC＝×4＝2，AE＝DE＝AD＝×6＝3，∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，
∵∠BOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
∴∠A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF＝2，
在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝2，AE＝3，
∴OA＝＝＝，
故选：C．
二．填空题
9．解：设直角三角形斜边上的高为h，
当4是直角边时，斜边长＝＝5，
则×3×4＝×5×h，
解得：h＝，
当4是斜边时，另一条直角边长＝＝，
则×3×＝×4×h，
解得：h＝，
综上所述：直角三角形斜边上的高为或，
故答案为：或．
10．解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，c＝10，
由勾股定理得：b＝＝＝8，
∴Rt△ABC的面积＝×a×b＝×6×8＝24，
故答案为：24．
12．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB＝90°，
由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行，
故答案为：北偏东50°．
13．解：设此时树的顶端离树的底部有x米，由勾股定理得：
x2＝（8﹣3）2﹣32＝42，
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），
答：此时树的顶端离树的底部有4米．
故答案为：4．
14．解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，
∴股BE＝＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4．
故答案是：4．
15．解：依题意画出图形，
设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝（x﹣1）尺，
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺，
在Rt△AC′B中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
16．解：设运动时间为ts，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4．
当BA＝BP时，BP＝5，
∴t＝5；
当AB＝AP时，BC＝PC，
∴BP＝2BC＝8，
∴t＝8．
故答案为：5或8．
三．解答题
17．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝＝＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝AB＝10．
18．解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．
在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．
由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．
所以AB＝73（cm）．
因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．
19．解：设钢索的顶部为点C，
根据勾股定理得：BC2+AB2＝AC2，
∴AC＝＝＝（米），
答：钢索的长度为米．
20．解：如图，AB＝21，BC＝75，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝m，
72÷4＝18米/秒＝64.8千米/时＞60千米/时，
∴超速了．
21．解：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝100米，
∵∠APO＝60°，
∴OA＝OP＝100≈173（米），
∴AB＝OA＝OB＝73米，
∴24（米/秒），
答：AB的距离为73米，此车的速度约为24米/秒．
22．解：5s时，动点P运动的路程为2×5＝10（cm），即点P运动到D点（点P与点D重合），
动点Q运动的路程为2.8×5＝14（cm），
因为DC＝BC＝BA＝5cm，
所以点Q在BA上，且BQ＝14﹣10＝4（cm）．
在△BPQ中，因为BP＝5cm，BQ＝4cm，PQ＝3cm，
所以BQ2+PQ2＝42+32＝25＝BP2，
所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°，
所以∠AQP＝180°﹣90°＝90°，
所以两点运动5s时，△APQ是直角三角形．
23．解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．
24．解：（1）由勾股定理得：AC＝＝＝25，
当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，
所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；
（2）△CBD能为直角三角形，
理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，
∵S△ABC＝，
∴BD＝＝＝12，
由勾股定理得：CD＝＝＝9，
所以t＝＝4.5，
②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，
t＝＝12.5，
∴t的值是4.5或12.5