高考数学一轮复习试题　椭圆的轨迹方程与标准方程

椭圆的轨迹方程与标准方程

1．曲线方程的化简结果为（    ）

A． B． C． D．

2．已知点，，直线相交于点，且它们的斜率之积为.则动点的轨迹方程为（   ）

A． B． C． D．

3．已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（      ）

A． B．（）

C． D．（）

4．已知AB=3，A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，=+，则动点P的轨迹方程是（　　）

A．x2+=1 B．x2+=1 C．+y2=1 D．+y2=1

5．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

6．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是（    ）

A． B． C． D．

7．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

8．已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于，两点，则直线，的斜率之积（    ）

A． B． C． D．不确定

9．已知，动圆与定圆：相外切，与：相内切，则的最大值为（    ）

A．4 B． C． D．8

10．若椭圆的一个焦点是(0，2)，则实数k=（    ）

A． B．1 C． D．25

11．已知椭圆的左焦点为，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

12．已知F1，F2分别是椭圆的左､右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（    ）

A． B． C． D．

13．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点，若，，则C的方程为（   ）

A． B． C． D．

14．已知椭圆的焦距为2，右顶点为，过原点与轴不重合的直线交于，两点，线段的中点为，若直线经过的右焦点，则的方程为（    ）

A． B．

C． D．

15．已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于点、，点是椭圆上异于点、的动点，直线、的斜率分别为、，且，则椭圆的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

16．如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

17．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（    ）

A． B． C． D．

参考答案

1．D

【分析】

根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的得到结果.

【详解】

曲线方程，

所以其几何意义是动点到点和点的距离之和等于，符合椭圆的定义. 点和点是椭圆的两个焦点.

因此可得椭圆标准方程，其中，所以

，所以

所以曲线方程的化简结果为.

故选D项.

【点睛】

本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.

2．A

【解析】

【分析】

设P点坐标,根据斜率公式列方程，化简得轨迹方程，最后根据范围去杂.

【详解】

设,则，选A.

【点睛】

本题考查直接法求轨迹方程，考查基本化简求解能力. 属于基础题.

3．B

【分析】

设动点,由两点间斜率公式及倾斜角的关系,可得的方程,化简即可得动点C的轨迹方程,排除不符合要求的点即可.

【详解】

设

由两点间斜率公式可得

由斜率与倾斜角关系,结合可得

变形可得

当时,C与A或B重合,不合题意

所以点C的轨迹方程为（）

故选:B

【点睛】

本题考查了轨迹方程的求法,两点间斜率公式,注意斜率与倾斜角关系,排除掉不符合要求的点,属于基础题.

4．D

【解析】

【分析】

设A（a，0），B（O，b），P（x，y）．由|AB|=3，可得a2+b2=9．由于=+，可得．消去a，b即可得出．

【详解】

设A（a，0），B（O，b），P（x，y）．

∵|AB|=3，∴=3，化为a2+b2=9．

∵=+，

∴（x，y）==．

∴．

∴，

化为=1．

∴动点P的轨迹方程是=1．

故选：D．

【点睛】

本题考查了向量的线性运算、向量相等、两点之间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

5．A

【分析】

利用相关点法即可求解.

【详解】

设线段的中点，，

所以，解得，

又点在圆上，

则，即.

故选：A

6．B

【分析】

由已知，得，所以，又,根据椭圆的定义，点P的轨迹是为焦点，以6为实轴长的椭圆，即可得出结论.

【详解】

由已知，得，所以又,根据椭圆的定义，点P的轨迹是为焦点，以6为实轴长的椭圆，

所以，，所以，所以点P的轨迹方程为：.

故选：B.

【点睛】

本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题.

7．A

【分析】

根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.

【详解】

设动圆半径为，圆心为，根据题意可知，和，

，，

，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上椭圆，

且焦点坐标为和，其中, ，

所以，

故椭圆轨迹方程为: ，

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆的轨迹方程，确定轨迹方程的类型是解题的关键.

8．A

【分析】

根据余弦定理化简得到，得到轨迹方程，设，， 联立方程得到，代入计算得到答案.

【详解】

，

故，

化简整理得到，故轨迹方程为椭圆，，，

故椭圆方程为：.

设，，则，化简得到，

故，

.

故选：.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，斜率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

9．B

【分析】

利用两圆外切和内切的性质，可求出的轨迹为椭圆，结合椭圆的定义得,再用三角形两边之差小于第三边，求出即可得结果.

【详解】

已知动圆与定圆：相外切，与：相内切，

可设动圆的半径为，有：，.

则，

所以的轨迹是以为焦点长轴长的椭圆.

得点的轨迹方程为.

又因为，则，

而是椭圆上一点，

则=

所以：

 故选：B.

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义和标准方程，以及两个圆的外切和内切的性质和三角形边长性质.

10．B

【分析】

先将椭圆化成标准式，再结合焦点列关系，即解得结果.

【详解】

由得，因为一个焦点是(0，2)，在y轴上，故，解得.

故选：B.

11．C

【分析】

先根据题意得到，再根据椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为，得到，再结合，即可求得，，即得椭圆方程.

【详解】

解：椭圆C的右焦点为，

，

又椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为，

即①

又，

即②

由①②解得：，，

故椭圆C的方程为．

故选：C.

12．A

【分析】

根据向量的共线定理，求得B点坐标，代入椭圆方程，求得b的值，求得椭圆方程.

【详解】

由题意可得，轴，

，

点坐标为，

设，由，

，

，

代入椭圆方程得，

，

，

故选：A

13．C

【分析】

根据椭圆的定义以及余弦定理，结合列方程可解得，，即可得到椭圆的方程．

【详解】

，，

又，，

又，，

，，

，，

，在轴上．

在中，，

在中，由余弦定理可得．

，可得，解得．

．

椭圆的方程为：．

故选：C．

【点睛】

方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

14．C

【分析】

由题知：，设点，则，再根据计算，即可求得椭圆方程.

【详解】

由题知：，

设点，则，

又右焦点，且有直线经过点，所以，

，所以，

解得：，所以：，所以椭圆方程为：.

故选：C

【点睛】

关键点睛：解此题的关键是能够将直线经过点，转化为向量来求解值.当然也可以先由两点求解直线，再将点坐标代入求解.

15．C

【分析】

设，，得，由，以及点差法，求出，再由焦距，以及椭圆的性质，求出和，即可得出椭圆方程.

【详解】

因为椭圆的焦距为，则①；

设，因为直线与椭圆相交于点、，

所以设，则，

又点是椭圆上异于点、的动点，直线、的斜率分别为、，且，

所以，

又，两式作差可得，则，

所以②，由①②解得，，

所以椭圆的标准方程是.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于，先由椭圆的对称性，设出、两点坐标，再根据直线、斜率的乘积，由点差法求出和的关系式，即可根据椭圆性质求解.

16．D

【分析】

根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程

【详解】

设，有，

由可知，

又由椭圆的定义有，

可得，解得，

可得，

，，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

17．D

【分析】

设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.

【详解】

设，的中点，所以，

又，所以，即，

而，，所以，又，

∴，即椭圆方程为：.

故选：D.

【点睛】

本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.