新高考数学一轮复习导学案第64讲 椭圆的标准方程及其性质（2份打包，原卷版+解析版）

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1、 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2)))的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝2a}，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、 椭圆的标准方程和几何性质
1、已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2、已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3、已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
4、椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5、设B是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，点P在C上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
6、设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，若 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点 SKIPIF 1 < 0 都满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7、已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
8、已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为________．
1、设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
2、若方程 eq \f(x2,5－m)＋ eq \f(y2,m＋3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. (－3，5) B. (－5，3)
C. (－3，1) D. (－5，1)
3、椭圆C： eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
4、 已知椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4＋k)＝1的离心率为 eq \f(4,5)，则实数k的值为________．
5、过点(－3，2)且与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考向一 椭圆的定义及其应用
例1、（1）一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
（2）求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
变式1、(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
（2）△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，通过整体代入可求其面积等
考向二 椭圆的标准方程
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 经过P(－2 eq \r(3)，0)，Q(0，2)两点；
(2) 与椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点且经过点(2，－ eq \r(3)).
变式1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为eq \f(2\r(2),3)；
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
变式2、 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)；
(3)经过点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)两点；
(4)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq \r(3)).
方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：
①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上、在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
②设方程：根据上述判断设方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；
③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；
④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
考向三 椭圆的性质
例3、（1）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为6，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．13B．40C．5D． SKIPIF 1 < 0
（2）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率为_________．
（3）椭圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
变式1、（1）设F1，F2分别是椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上．若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．
（2）焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq \f(b,3)，则椭圆的离心率为 .
变式3、 (1)已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
（2）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得∠APB＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
方法总结：求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。
考向四 与椭圆有关的范围(最值)
例4、已知F1，F2是椭圆 eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上的一个动点，求| eq \(PF1,\s\up6(→))＋ eq \(PF2,\s\up6(→))|的最小值．
变式1、椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1内有一点P(1，－1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，当MP＋2MF的值最小时，求点M的坐标．
方法总结：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；
(2)利用函数，尤其是二次函数；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
1、曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．圆B．椭圆C．线段D．直线
2、已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为e，下列说法正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
3、已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4、已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的内部，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C．存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5、若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．
6、椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)， e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2