2022高考数学一轮复习 第五章 强化训练5　平面向量中的综合问题

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1．(2021·甘肃诊断)已知平面向量a，b满足a＝(1，－2)，b＝(－3，t)，且a⊥(a＋b)，则|b|等于( )
A．3 B.eq \r(10) C．2eq \r(3) D．5
答案 B
解析 a＋b＝(1，－2)＋(－3，t)＝(－2，t－2)，由于a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即1×(－2)＋(－2)×(t－2)＝0，解得t＝1，所以b＝(－3,1)，|b|＝eq \r(10).
2．(2021·常德模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 C
解析 设F为AB的中点，连接DF，如图，
∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴BF∥CD，且BF＝CD，
∴四边形BFDC为平行四边形，
∴eq \(FD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(FD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为( )
A．－eq \f(1,2) B．－1 C.eq \f(1,2) D．1
答案 B
解析 因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，所以b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－2,2)＝－1.
4．(2020·河北“五个一”名校联考)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 将|a＋b|＝|a－b|＝2|a|平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2＝4a2，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝0，,b2＝3a2，))cs〈a＋b，a－b〉＝eq \f(a2－b2,4a2)＝－eq \f(1,2)，所以向量a＋b与a－b的夹角是eq \f(2π,3).
5．(多选)已知在边长为2的等边△ABC中，向量a，b满足eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋b，则下列式子正确的是( )
A．|2a＋b|＝2 B．|b|＝2eq \r(3)
C．a·(a＋b)＝2 D．a·b＝－6
答案 ABD
解析 eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋b，则|2a＋b|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，A正确；a·(a＋b)＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－2，C错误；a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝－2，则a·b＝－6，D正确；又|a＋b|＝2，两边平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝4，则|b|＝2eq \r(3)，B正确．
6．(多选)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为( )
A.eq \r(2)－1 B．1
C.eq \r(2) D．2
答案 AB
解析 因为a，b，c均为单位向量，
且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，
所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，
所以c·(a＋b)≥1，
而|a＋b－c|＝eq \r(a＋b－c2)＝eq \r(a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c)
＝eq \r(3－2c·a＋b)≤eq \r(3－2)＝1，
所以选项C，D不正确，故选AB.
7．(2020·泰安模拟)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(2m，m＋1)．若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(OC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
答案 －3
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，
所以3×(m＋1)＝2m，所以m＝－3.
8．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________．
答案 λ<－eq \f(3,2)且λ≠－3
解析 由题意得，a·b<0且a与b不共线，
即3(2＋λ)＋λ<0且(2＋λ)λ≠3，
解得λ<－eq \f(3,2)且λ≠－3.
9．已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq \f(m,n)的值为________．
答案 3
解析 如图所示，建立直角坐标系．
由已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
则eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3))，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))＝(m，eq \r(3)n)，
∴tan 30°＝eq \f(\r(3)n,m)＝eq \f(\r(3),3)，
∴eq \f(m,n)＝3.
10．已知△ABC的重心为G，eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ>0，μ≤1，且D，G，E共线，则eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝________.
答案 3
解析 ∵△ABC的重心为G，
∴AG＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∵D，G，E共线，则存在实数m，使得eq \(AG,\s\up6(→))＝meq \(AD,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(AE,\s\up6(→))，
∴eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AD,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(AE,\s\up6(→))
＝λmeq \(AB,\s\up6(→))＋μ(1－m)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λm＝\f(1,3)，,μ1－m＝\f(1,3)，))解得m＝eq \f(1,3λ)＝1－eq \f(1,3μ)，
∴eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝3.
11．已知向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)．
(1)若|b|＝2，求b的坐标；
(2)若(a＋b)⊥(a－b)，求|a－2b|的值．
解 (1)设b＝(x，y)，
因为向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)，|b|＝2.
所以cs 〈a，b〉＝cs 60°＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x,2)＝eq \f(1,2)，解得x＝1，
所以|b|＝2＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(1＋y2)，解得y＝±eq \r(3)，
所以b＝(1，±eq \r(3))．
(2)因为(a＋b)⊥(a－b)，
所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，
由于a＝(1,0)，
所以|a|＝|b|＝1，
所以|a－2b|＝eq \r(|a－2b|2)＝eq \r(a2＋4b2－4a·b)＝eq \r(1＋4－4×1×1×\f(1,2))＝eq \r(3).
12.如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2).
(1)求实数λ的值；
(2)若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，求eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值．
解 (1)∵eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，∴AD∥BC，
∵∠B＝60°，∴∠DAB＝120°，
∴eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝6λ×3×cs 120°＝－eq \f(3,2)，
∴λ＝eq \f(1,6).
(2)如图，过点A作AO⊥BC，垂足为O，
则OB＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(3,2)，OC＝eq \f(9,2)，AO＝eq \f(3\r(3),2)，
以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(3),2)))，设M(x,0)，N(x＋1,0)，－eq \f(3,2)≤x≤eq \f(7,2)，
∴eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1，－\f(3\r(3),2)))，eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，－\f(3\r(3),2)))，
∴eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))＝x2－x＋eq \f(27,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(13,2)，
∴当x＝eq \f(1,2)时，eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))取得最小值eq \f(13,2).
13．已知非零向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝－eq \f(1,2)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等腰非等边三角形 D．直角三角形
答案 C
解析 注意到eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)表示与eq \(AB,\s\up6(→))同向的单位向量，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)表示与eq \(AC,\s\up6(→))同向的单位向量，所以eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)表示以与eq \(AB,\s\up6(→))同向的单位向量和与eq \(AC,\s\up6(→))同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，由eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝－eq \f(1,2)可以得出eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，所以△ABC为等腰非等边三角形．
14．已知O是正三角形ABC内部的一点，eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C．2 D．1
答案 B
解析 如图所示，D，E分别是BC，AC的中点，
由eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0得
eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－2(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
即eq \(OE,\s\up6(→))＝－2eq \(OD,\s\up6(→))，所以OE＝2OD，
设正三角形的边长为2eq \r(3)a，
则△OAC底边AC上的高为hAC＝eq \f(1,3)BE＝a，
△OAB底边AB上的高为hAB＝eq \f(1,2)BE＝eq \f(3,2)a，
所以eq \f(S△OAC,S△OAB)＝eq \f(\f(1,2)AC·hAC,\f(1,2)AB·hAB)＝eq \f(2\r(3)a×a,2\r(3)a×\f(3,2)a)＝eq \f(2,3).
15．已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是( )
A．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1] B．[1，eq \r(2)]
C．[eq \r(2)，eq \r(3)] D．[eq \r(2)－1,1]
答案 A
解析 因为a·b＝0，
所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，
所以|a＋b|＝eq \r(2)，
所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2(a＋b)·c＝3－2(a＋b)·c，
则当c与(a＋b)同向时，(a＋b)·c最大，
|a＋b－c|2最小，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cs 0°＝eq \r(2)，|a＋b－c|2＝3－2eq \r(2)，
所以|a＋b－c|min＝eq \r(2)－1；
当c与(a＋b)反向时，(a＋b)·c最小，|a＋b－c|2最大，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cs π＝－eq \r(2)，|a＋b－c|2＝3＋2eq \r(2)，
所以|a＋b－c|max＝eq \r(2)＋1，
所以|a＋b－c|的取值范围为[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1]．
16．在△ABC中，设eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝2且B∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，求eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的取值范围．
(1)证明 因为eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，
因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，所以eq \(CA,\s\up6(→))＝－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，
所以－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，
所以eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(BC,\s\up6(→))2＝0，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，
故△ABC为等腰三角形．
(2)解 因为B∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以cs B∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，
设|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝a，
因为|eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，所以|eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|2＝4，
所以a2＋a2＋2a2cs B＝4，所以a2＝eq \f(2,1＋cs B)，
所以eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cs B＝a2cs B
＝eq \f(2cs B,1＋cs B)＝2－eq \f(2,1＋cs B)，
又－eq \f(1,2)≤cs B≤eq \f(1,2)，
所以－2≤2－eq \f(2,1＋cs B)≤eq \f(2,3)，
即eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(2,3))).