(新高考)高考数学一轮复习讲义第5章§5.4平面向量中的综合问题培优课(含详解)

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题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，则BC的长为( )
A．3eq \r(7) B．3eq \r(6)
C．3eq \r(3) D．6
答案 A
解析 因为eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
设AB＝x，则eq \(AD2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2，
得37＝eq \f(4,9)x2＋eq \f(4,9)×x×9cs 60°＋eq \f(1,9)×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以BC＝eq \r(AB2＋AC2－2AB·ACcs 60°)
＝eq \r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq \r(7).
(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证明 取{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}为基底，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b，
∴eq \(AC,\s\up6(→))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
eq \(DB,\s\up6(→))2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面两式相加，得eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．
跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1，则点C的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．直线
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，
设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆．
(2)(多选)在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，则下列结论成立的是( )
A．四边形ABCD为菱形
B．∠BAD＝120°
C．|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)
D．|eq \(BD,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)
答案 ABD
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，
则四边形ABCD为平行四边形，
设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，
则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，
1＋2m·n＋1＝1，
则m·n＝－eq \f(1,2)＝cs〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，
因此由eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，而|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10.
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 (2022·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则eq \f(2－3x,4y2＋1)的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C．1 D．2
答案 A
解析 设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，所以eq \f(AO,OE)＝eq \f(AB,DE)＝2，
所以AO＝2OE，则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AO,\s\up6(→))，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)xeq \(AO,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，
因为O，F，B三点共线，
所以eq \f(3,2)x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2y,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))，
因为x>0，y>0，
所以4y＋eq \f(1,y)≥2eq \r(4y·\f(1,y))＝4，
当且仅当4y＝eq \f(1,y)，即y＝eq \f(1,2)时等号成立，
此时x＝eq \f(1,3)，
所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))≤eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，
F(－1，eq \r(3))．
设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，
且－1