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    北师大版高考数学一轮复习第五章 强化训练4 平面向量中的综合问题
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    北师大版高考数学一轮复习第五章 强化训练4 平面向量中的综合问题

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    这是一份北师大版高考数学一轮复习第五章 强化训练4 平面向量中的综合问题,共8页。

    强化训练4 平面向量中的综合问题

    1(2020·甘肃诊断)已知平面向量ab满足a(1,-2)b(3t)a(ab)|b|等于(  )

    A3  B.  C2  D5

    答案 B

    解析 ab(1,-2)(3t)(2t2),由于a(ab),所以a·(ab)0,即1×

    (2)(2)×(t2)0,解得t1,所以b(3,1)|b|.

    2(2020·常德模拟)如图在梯形ABCDABCDAB2CDEBC的中点等于(  )

    A.   B.

    C.   D.

    答案 C

    解析 FAB的中点,连接DF,如图,

    ABCDAB2CD

    BFCD,且BFCD

    四边形BFDC为平行四边形,

    ()

    .

     

    3已知向量ab满足|a|2|b|a(a2b)ba方向上的影为(  )

    A.-  B.-1  C.  D1

    答案 B

    解析 因为a(a2b),所以a·(a2b)a22a·b42a·b0a·b=-2,所以ba方向上的投影为=-1.

    4(2020·河北五个一名校联考)若两个非零向量ab满足|ab||ab|2|a|则向量abab的夹角是(  )

    A.  B.  C.  D.

    答案 C

    解析 |ab||ab|2|a|平方得a22a·bb2a22a·bb24a2,解得cosabab〉==-,所以向量abab的夹角是.

    5.如图所示ABCD是边BC上任意一点M是线段AD的中点若存在实数λμ使得λμλμ等于(  )

    A.-1  B.-  C.-2  D.-

    答案 B

    解析 因为点D在线段BC上,

    所以存在tR,使得tt()

    因为M是线段AD的中点,

    所以()(tt)

    =-(t1)t

    λμ,所以λ=-(t1)μt

    所以λμ=-.

    6(2020·阳泉模拟)ABCtan AAB2AC4D是线段BC上一点DB4DC·等于(  )

    A.-8   B8 

    C.-   D.

    答案 D

    解析 因为tan A

    由同角三角函数关系解得cos A

    ABC中,由题意可知

    ··()

    =-||2||2·

    =-

    .

    7(2020·泰安模拟)已知向量(3,-4)(6,-3)(2mm1)则实数m的值为________

    答案 -3

    解析 因为(3,1)

    所以3×(m1)2m,所以m=-3.

    8已知a(2λ1)b(3λ)ab的夹角为钝角则实数λ的取值范围是________

    答案 λ<λ3

    解析 由题意得,a·b<0ab不共线,

    3(2λ)λ<0(2λ)λ3

    解得λ<λ3.

    9已知||1||·0CAOB的夹角为30°mn(mnR)的值为________

    答案 3

    解析 如图所示,建立直角坐标系

    由已知||1||

    (1,0)(0)

    mn(mn)

    tan 30°

    3.

    10已知ABC的重心为Gλμ其中λ>0μ1DGE共线________.

    答案 3

    解析 ∵△ABC的重心为G

    AG()

    DGE共线,则存在实数m,使得m(1m)

    m(1m)

    λmμ(1m)

    解得m1

    3.

    11已知向量ab的夹角为60°a(1,0)

    (1)|b|2b的坐标

    (2)(ab)(ab)|a2b|的值

     (1)b(xy)

    因为向量ab的夹角为60°,且a(1,0)|b|2.

    所以cos ab〉=cos 60°,解得x1

    所以|b|2,解得y±

    所以b(1±)

    (2)因为(ab)(ab)

    所以(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|20

    由于a(1,0)

    所以|a||b|1

    所以|a2b|.

    12.如图在四边形ABCDB60°AB3BC6λ·=-.

    (1)求实数λ的值

    (2)MN是线段BC上的动点||1·的最小值

     (1)λADBC

    ∵∠B60°∴∠DAB120°

    ·6λ×3×cos 120°=-

    λ.

    (2)如图,过点AAOBC,垂足为O

    OBABOCAO

    O为原点,以BCOA所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,

    D,设M(x,0)N(x1,0),-x

    ·x2x2

    x时,·取得最小值.

     

     

    13已知非零向量满足·0·=-ABC的形状为(  )

    A等边三角形   B三边均不相等的三角形

    C等腰非等边三角形   D直角三角形

    答案 C

    解析 注意到表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,所以表示以与同向的单位向量和与同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线,因为·0,所以||||,由·=-可以得出的夹角为120°,所以ABC为等腰非等边三角形

    14已知O是正三角形ABC内部的一点230OAC的面积与OAB的面积之比是(  )

    A.  B.  C2  D1

    答案 B

    解析 如图所示,DE分别是BCAC的中点,

    230

    =-2()

    =-2,所以OE2OD

    设正三角形的边长为2a

    OAC底边AC上的高为hACBEa

    OAB底边AB上的高为hABBEa

    所以.

    15已知三个向量abc共面且均为单位向量a·b0|abc|的取值范围是(  )

    A[11]   B[1]

    C[]   D[1,1]

    答案 A

    解析 因为a·b0

    所以|ab|2a22a·bb22

    所以|ab|

    所以|abc|2a2b2c22a·b2(ab)·c32(ab)·c

    则当c(ab)同向时,(ab)·c最大,

    |abc|2最小,此时(ab)·c|ab||c|cos |abc|232

    所以|abc|min1

    c(ab)反向时,(ab)·c最小,|abc|2最大,此时(ab)·c|ab||c|cos π=-

    |abc|232

    所以|abc|max1

    所以|abc|的取值范围为[11]

    16ABC··.

    (1)求证ABC为等腰三角形

    (2)||2B·的取值范围

    (1)证明 因为··

    所以·()0

    因为0,所以=-()

    所以-()·()0

    所以220

    所以||||

    ABC为等腰三角形

    (2) 因为B,所以cos B

    ||||a

    因为||2,所以||24

    所以a2a22a2cos B4,所以a2

    所以·||||cos Ba2cos B

    2

    又-cos B

    所以-22

    ·.

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