数学八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试综合训练题

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人教版数学八年级下册第18章 平行四边形 专项训练
1．(2020·黄石)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为(　　)

A．3 B．4
C．5 D．6
2．(2020·毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　)

A．2.2 cm B．2.3 cm
C．2.4 cm D．2.5 cm
3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
(2)∠DHF＝∠DEF.












4．(中考·菏泽)如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．





5．(2020·重庆B)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
(2)求证BE＝DF.





6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°.求∠CEF的度数．






7．(2020·自贡)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证AE＝BF.





8．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H，G.求证：
(1)四边形AECF是平行四边形；
(2)EF与GH互相平分．



9．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.
(1)求证：BD＝PE＋PF.
(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．







10．(2020·青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证△ADE≌△CBF.
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．









11．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40 cm.
(1)求证：四边形BFEG是矩形；
(2)求四边形BFEG的周长；
(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？











12．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处．求阴影部分的周长．


13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．

14．在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．

(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．







15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，
∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．




16．如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B落在点D处，点C落在点C′处，折痕EF与BD交于点O.已知AB＝16，AD＝12，求折痕EF的长．



17．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证PA＝EF.






18．阅读下面的内容：
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为.
根据上面的内容解决下列问题：
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为__________；

(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．










19．(中考·鄂州)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
(2)已知DE=4，FN=3，求BN的长；








20．(中考·哈尔滨)如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．




参考答案
1．(2020·黄石)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为(　B　)

A．3 B．4
C．5 D．6
2．(2020·毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　D　)

A．2.2 cm B．2.3 cm
C．2.4 cm D．2.5 cm
3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；

证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.
同理可得EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)∠DHF＝∠DEF.
证明：由(1)知四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF.
在Rt△AHB中，∵D是斜边AB的中点，
∴DH＝AB＝AD. ∴∠DAH＝∠DHA.
同理可得HF＝AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.
∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA，即∠DAF＝∠DHF.
∴∠DHF＝∠DEF.
4．(中考·菏泽)如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DGBC.
∵E，F分别是OB，OC的中点，∴EFBC.
∴DGEF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
解：∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.
∴∠BOC＝90°.
∵M为EF的中点，OM＝3，∴EF＝2OM＝6.
∴DG＝EF＝6.
5．(2020·重庆B)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF.
∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°.
∴∠ABC＝180°－120°＝60°.
(2)求证BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB. ∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD.
∴∠BAE＝∠DCF. ∴△ABE≌△CDF(ASA)．
∴BE＝DF.
6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°.求∠CEF的度数．

解：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD.
∴△ABC与△CDA都是等边三角形．
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°.
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC＝∠CAF.
∴△ABE≌△ACF. ∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，∴△EAF是等边三角形．∴∠AEF＝60°.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AEF＋∠CEF，
∴60°＋18°＝60°＋∠CEF. ∴∠CEF＝18°.
7．(2020·自贡)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证AE＝BF.

证明：在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD.
∵CE＝DF，∴BC＋CE＝CD＋DF，即BE＝CF.
在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF(SAS)．∴AE＝BF.
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H，G.求证：
(1)四边形AECF是平行四边形；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
(2)EF与GH互相平分．
证明：由(1)得四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE.
∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，∴BE∥DF，BE＝DF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴BF∥DE.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∴EF与GH互相平分．
9．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.
(1)求证：BD＝PE＋PF.

证明：如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.
∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，
∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.

∴∠EPB＝∠FPC.
又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.
∵PE⊥AB，PH⊥BH，
∴∠PEB＝∠PHB＝90°.
又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB. ∴PE＝PH.
∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE，即BD＝PE＋PF.
(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．

解：不成立，PE＝BD＋PF.
理由如下：作BM⊥PF交PF的延长线于点M.
与(1)同理可得PE＝PM，BD＝MF.
∴PE＝PM＝FM＋PF＝BD＋PF.
∴BD，PE，PF之间的上述关系不成立．
10．(2020·青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证△ADE≌△CBF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC.
∴∠ADB＝∠DBC. ∴∠ADE＝∠CBF.
在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
解：如图，当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形．
理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD.即AC⊥EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵DE＝BF，∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
11．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40 cm.
(1)求证：四边形BFEG是矩形；

证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴四边形BFEG是矩形．
(2)求四边形BFEG的周长；
解：∵正方形ABCD的周长是40 cm，
∴AB＝40÷4＝10(cm)．
易知△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF.
∵四边形BFEG为矩形，∴BF＝EG，EF＝BG.
∴四边形BFEG的周长为2(EF＋BF)＝2(AF＋BF)＝2×10＝20(cm)．
(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
解：若要使四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF.
∵AF＝EF，AB＝10 cm，
∴当AF＝AB＝5 cm时，四边形BFEG是正方形．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处．求阴影部分的周长．

【点拨】要求阴影部分的周长，我们可以把
两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和
与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．
解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
根据轴对称的性质可得：A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．

解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.
∵四边形A′B′C′O是正方形，
∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC.
∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，即∠BOE＝∠COF.
∴△BOE≌△COF(ASA)．
∴S△BOE＝S△COF.
∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC.
∵S正方形ABCD＝1×1＝1，∴S△BOC＝S正方形ABCD＝.
∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.
14．在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．

解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8.
由勾股定理得AG＝＝＝6，
∴AC＝2AG＝2×6＝12.
∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×12×16＝96.
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
解：OE＋OF的值不发生变化．
理由：如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，
∴BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，
即×16×6＝×10·OE＋×10·OF，
解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．

(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．

解：OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，
∴BD·AG＝AB·OE－AD·OF，
即×16×6＝×10·OE－×10·OF，
解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．
∴OE＋OF的值发生变化，
OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，
∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；

证明：如图，连接AO并延长，交BC于H.
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC于H，BH＝HC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，

∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.
∵DE∥AH，∴DE⊥EF.
∴四边形DEFG是矩形．
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
解：∵D，E，F分别是AB，OB，OC的中点，△BOC是直角三角形，
∴BC＝2EF＝2OH＝2×3＝6，
AH＝OA＋OH＝2DE＋EF＝2×2＋3＝7.
∴S△ABC＝BC·AH＝×6×7＝21.
16．如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B落在点D处，点C落在点C′处，折痕EF与BD交于点O.已知AB＝16，AD＝12，求折痕EF的长．

解：根据已知条件，得∠C′DF＝∠CDA＝90°，
∴∠C′DE＝∠ADF.
∵∠A＝∠C＝∠C′＝90°，AD＝BC＝DC′，
∴△DAF≌△DC′E(ASA)．∴DF＝DE＝BF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB DC.
连接BE，则四边形DFBE是菱形．
∴OE＝OF，BD⊥EF.
设AF＝x，则DF＝BF＝16－x.
在Rt△DAF中，AD2＋AF2＝DF2，∴122＋x2＝(16－x)2.
解得x＝. ∴DF＝.
∵在Rt△ABD中，DB2＝AD2＋AB2＝122＋162＝400，
∴DB＝20. ∴DO＝DB＝10.
∴在Rt△DOF中，OF2＝DF2－DO2＝－102＝，
∴OF＝. ∴EF＝2OF＝2×＝15.
17．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证PA＝EF.

证明：如图，连接PC.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.
∴四边形PECF是矩形．∴PC＝EF.
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC. ∴PA＝EF.

18．阅读下面的内容：
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为.
根据上面的内容解决下列问题：
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为__(2，1.5) ________；

(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
解：设点D的坐标为(x，y)．
以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝.
∴x＝1，y＝－1.
∴点D的坐标为(1，－1)．
②当BC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝. ∴x＝5，y＝3.
∴点D的坐标为(5，3)．
③当AC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝.
∴x＝－3，y＝5. ∴点D的坐标为(－3，5)．
综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．
19．(中考·鄂州)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.
∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN.
∴四边形CMAN是平行四边形．
(2)已知DE=4，FN=3，求BN的长；
解：∵四边形CMAN是平行四边形，∴CM＝AN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB.
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF.
在△MDE和△NBF中，

∴△MDE≌△NBF(AAS)．
∴BF＝DE＝4.
在Rt△NBF中，∵∠BFN＝90°，BF＝4，FN＝3，
∴BN＝＝＝5.
20．(中考·哈尔滨)如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

证明：∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO
在△OAE与△OCF中，

∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理得OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．

解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.