初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形课后练习题

八年级下册第9章：中心对称图形—平行四边形

专项培优训练（三）

1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．

2．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA到E，延长DC到F，使BE＝DF，AF交BC于H，CE交AD于G．

求证：△AGE≌△CHF．

3．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E．求证：AB＝DE．

4．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，且BE＝DF．

（1）请你写出图中所有的全等三角形；

（2）试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明．

5．如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．

（1）求证：△OC1M≌△OA1E；

（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；

（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．

6．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且满足BE＝DF，连接AE，CE，CF，AF．

（1）求证：AE∥CF；

（2）若AE⊥AF，∠EFC＝58°，∠FAD＝12°，求∠ADF的度数．

7．以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点，连接AM和DE．

（1）如图1，△ABC中∠BAC＝90°时，AM与ED大小的关系是　   　．AM与ED的位置关系是　   　；

（2）如图2，△ABC为一般三角形时线段AM与ED的关系是　   　．试证明你的结论；

（3）如图3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段AM与DE之间的关系，不要求证明你的结论．

8．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点F在AD的延长线上，BE＝DF，在此图中是否存在两个全等的三角形？其中一个三角形能够通过旋转另外一个三角形而得到吗？

9．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O．求证：四边形AECF为菱形．

10．如图，平行四边形ABCD中，∠D＝108°，AB＝7厘米，AD＝6厘米，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE

（1）若∠DAF＝32°．求∠FAE的度数；

（2）求证：AF＝CD+CF．

参考答案

1．证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，

∴DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵AD⊥BC，BD＝CD，

∴AB＝AC，

∴AE＝AF，

∴平行四边形AEDF是菱形．

2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵BE＝DF，

∴AE＝CF，

∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴∠E＝∠F，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴∠EAG＝∠FCH，

∵在△AGE和△CHF中，

，

∴△AGE≌△CHF（ASA）．

3．证明：∵BC绕点B顺时针旋转90°得线段BD，

∴BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，

∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，

∴∠ACB＝∠DBE，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

在△ABC与△EDB中，

，

∴△ABC≌△EDB（AAS），

∴AB＝DE．

4．解：（1）△ABD≌△CDB；

△ABE≌△CDF；

△ADE≌△CBF．

（2）（以证明△ABD≌△CDB为例，证明其它结论参照给分）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC．

∴∠ABD＝∠CDB，

又∵BD＝BD，

∴△ABD≌△CDB（SAS）．

5．（1）证明：∵正方形OABC，

∴∠A1OE+∠A1OM＝∠C1OM+∠A1OM＝90°，

∴∠A1OE＝∠C1OM，

在△OC1M和△OA1E中，，

∴△OC1M≌△OA1E（ASA）；

（2）解：∵△OC1M≌△OA1E（已证），

∴OE＝OM，

在△EON和△MON中，，

∴△EON≌△MON（SAS），

∴EN＝MN，

∴△OMN的边MN上的高等于△OEN边EN上的高，即OA1的长a，为定值；

（3）p不会发生变化，是定值2a．

理由如下：根据（1）（2），△OC1M≌△OA1E，△EON≌△MON，

∴MN＝EN，A1E＝C1M，

∴△MNB1的周长p＝MN+NB1+MB1，

＝EN+NB1+MB1，

＝EB1+MB1，

＝A1E+A1B1+MB1，

＝C1M+A1B1+MB1，

＝A1B1+B1C1，

∵正方形OABC的边长为a，

∴A1B1＝B1C1＝a，

∴p＝2a，是定值．

6．解：（1）如图所示，连接AC交BD于O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，BO＝DO，

又∵BE＝DF，

∴EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CF；

（2）∵AE⊥AF，

∴∠EAF＝90°，

又∵四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AECF是矩形，

∴∠AFC＝90°，

又∵∠EFC＝58°，

∴∠AFE＝90°﹣58°＝32°，

∵∠AFE是△ADF的外角，∠FAD＝12°，

∴∠ADF＝∠AFE﹣∠FAD＝32°﹣12°＝20°．

7．解：（1）如图，延长AM到N，使AM＝MN，连接BN，延长MA交DE于H，

易证△BMN≌△CMA，

则BN＝AC＝AD，∠ABN＝∠ABC+∠CBN＝∠ABC+∠ACB＝90°，

∴△ADE≌△ACB，

∴ED＝AN＝2AM，

∵∠BAN+∠DAH＝90°，

∴∠HDA+∠DAH＝90°．

∴AM⊥ED．

故答案为：ED＝2AM，AM⊥ED；

（2）ED＝2AM，AM⊥ED；

证明：延长AM到N，使MN＝AM，连BN，则ABNC是平行四边形．

∴AC＝BN，∠ABN+∠BAC＝180°

又∵∠DAE+∠BAC＝180°，

∴∠ABN＝∠DAE．

再证：△DAE≌△ABN

∴DE＝2AM，∠BAN＝∠EAD．

延长MN交DE于K，

∵∠BAN+∠DAK＝90°，

∴∠KDA+∠DAK＝90°．

∴AM⊥ED．

（3）ED＝2AM，AM⊥ED．

8．解：在此图中存在两个全等的三角形，即△CDF≌△CBE．理由如下：

∵点F在正方形ABCD的边AD的延长线上，

∴∠CDF＝∠CDA＝90°，

在△CDF和△CBE中，

，

∴△CDF≌△CBE（SAS），

∴∠FCD＝∠ECB（全等三角形的对应角相等），CF＝CE（全等三角形的对应边相等），

∴∠FCE＝∠FCD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE＝∠DCB＝90°，

∴△CDF是由△CBE绕点C沿顺时针方向旋转90°得到的．

9．解：∵EF垂直平分AC，

∴AO＝OC，AE＝CE，AF＝CF，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠1＝∠4＝∠3，

∴AF＝AE，

∴AE＝EC＝CF＝FA，

∴四边形AECF是菱形．

10．（1）解：∵∠D＝108°，∠DAF＝32°，

∴∠DFA＝180°﹣∠D﹣∠DAF＝40°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∴∠DFA＝∠FAB＝40°，

∵∠DFA＝2∠BAE，

∴∠FAB＝2∠BAE．

即∠FAE+∠BAE＝2∠BAE．

∴∠FAE＝∠BAE；

∴2∠FAE＝40°，

∴∠FAE＝20°；

（2）证明：在AF上截取AG＝AB，连接EG，CG．

∵∠FAE＝∠BAE，AE＝AE，

∴△AEG≌△AEB．

∴EG＝BE，∠B＝∠AGE；

又∵E为BC中点，

∴CE＝BE．

∴EG＝EC，

∴∠EGC＝∠ECG；

∵AB∥CD，

∴∠B+∠BCD＝180°．

又∵∠AGE+∠EGF＝180°，∠AGE＝∠B，

∴∠BCF＝∠EGF；

又∵∠EGC＝∠ECG，

∴∠FGC＝∠FCG，

∴FG＝FC；

又∵AG＝AB，AB＝CD，

∴AF＝AG+GF＝AB+FC＝CD+FC．