2021年河南省郑州市中考数学模拟试卷（word版 含答案）

这是一份2021年河南省郑州市中考数学模拟试卷（word版 含答案），共33页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省郑州市中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B． C．2021 D．
2．如下摆放的几何体中，主视图与左视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
3．小颖、小明和小亮三名同学准备调查郑州市市区老年人的健康状况，他们各自设计了如下的调查方案：
小颖：我准备在公园里调查100名老年人的健康状况．
小明：我准备在医院里调查100名老年人的健康状况
小亮：我准备利用派出所的户籍网随机抽出100名老年人，调查他们的健康状况．
小颖、小明和小亮三人中，能较好地获得市区老年人健康状况的方案是（　　）
A．小颖 B．小明 C．小亮 D．小明和小亮
4．一个等腰直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置．若∠2＝60°，则∠1的度数为（　　）

A．60° B．75° C．45° D．105°
5．2020年10月份，社会消费品零售总额38576亿元，同比增长4.3%，增速比上月加快1.0个百分点．将数据“38576亿”用科学记数法表示为（　　）
A．3.8576×1012 B．38.576×1011
C．0.38576×1013 D．3.8576×1013
6．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数＝x2+2x+2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系
是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
8．绿水青山就是金山银山．某工程队承接了100万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变……设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为＝20，根据方程可知省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了10%，结果提前20天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了10%，结果延误20天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了10%，结果延误20天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了10%，结果提前20天完成了这一任务
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，边AC在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），矩形CDEF的顶点F与点O重合，顶点D在边BC上，且点D的坐标为（2，1），将矩形CDEF沿x轴向左平移，当点D落在AB边上时，点E的坐标为（　　）

A．（） B．（） C．（） D．（﹣5，1）
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O与x轴交于A，B两点，C为⊙O上一点，且点C的坐标为（1，）．现按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交OC，OA于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠COA内交于点F，作射线OF，交⊙O于点G；③以点C为圆心，C的长为半径作弧，交弧BC于点H，连接OH，HG，则△HOG的面积为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．3
二、填空题（每小题共3分，共15分）
11．请写出一个大于且小于3的无理数　 　．
12．已知不等式组的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个m的值　 　．

13．乐乐和聪聪在玩一个正六边形的转盘游戏，如图是一个正六边形转盘，转盘被分成六个面积相等的等边三角形区域，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转）．若两次指针所指数字之和小于8，则乐乐获胜；若两次指针所指数字之和大于或等于8，则聪聪获胜．那么在这次游戏中，聪聪获胜的概率为　 　．

14．如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为　 　．

15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接PD，过点B作BM⊥PD交DP的延长线于点M，连接AM，过点A作AN⊥AM交PD于点N，连接BN，CN，则△BNC面积的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．先化简，再求值：，其中x＝．
17．2021年伊始，伴随着气温的降低和新型冠状病毒的变异，疫情防控的压力越来越大．某中学针对此情况，决定加强学生们对新型冠状病毒的认识，组织八、九年级全体学生参加了一次防疫知识测试．现从八年级和九年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：
【收集数据】
八年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
九年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
【整理数据】整理以上数据，得到测试成绩的频数分布表．
成绩年级
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
八年级
0
1
0
a
7
1
九年级
1
0
0
7
10
2
【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．

平均数
众数
中位数
八年级
78
b
78
九年级
78
81
c
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）结合如表中的统计量，你认为哪个年级的学生防疫知识掌握得较好？请说明理由．
（3）该校八、九年级共有1200名学生，请你估计八、九年级防疫知识测试成绩不低于80分的学生人数．
18．黄河中下游分界碑，矗立在河南省荥阳市广武镇桃花峪的三皇山上（东经113°27′，北纬34°58′）．界碑四面玲珑旋梯联接，外部呈H体形（意示“黄河”汉语拼音首个字母），基座高2m，四面台阶玉栏护侍，碑身南北闻隙弋矢一线．界碑伟岸雄姿，高耸入云，堪称全国之最．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量界碑的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得界碑最高点A的仰角为30°，然后前进15.7m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.5m．求界碑AD的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）

19．每年农历秋分是中国农民丰收节，小明准备和爸爸妈妈一起去郊区葡萄园采摘葡萄，享受丰收的快乐．出发之前，小明在网络上查找了相关资讯，发现甲葡萄园给出的公开信息是：每个家庭40元的门票，采摘价格每千克30元；乙葡萄园给出的公开信息是：不要门票，不超过3千克的，采摘按一定的价格收费，超过3千克的，超过部分在原价的基础上打折优惠．小明为了弄明白情况，询问了去过乙葡萄园的小颖和小亮．小颖说，我们摘了2千克，付费100元；小亮说，我们摘了6千克，付费225元．
（1）设小明一家准备采摘葡萄x千克，去甲葡萄园需要付费y1元，去乙葡萄园需要付费y2元，请分别求出y1与y2关于x的函数关系式；
（2）小明家离甲葡萄园较近，想去甲葡萄园采摘葡萄，请你分析计算当小明家采摘葡萄的质量x满足什么范围时，去甲葡萄园采摘更合算．
20．复习巩固
切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线．
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
阅读材料
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是⊙O外一点，　 　．
求证：　 　．
证明：

21．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．
（1）求二次函数及直线CD的解析式；
（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．
（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB时，请直接写出点F的坐标．

22．小明在学习中遇到这样一个问题．
如图，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm，点P是线段AB上由点A向点B移动的一动点（不与点A，B重合），连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D．当BD＜2AP时，求AP长度的取值范围．
小明尝试结合学习函数的经验解决此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）设AP＝xcm，BD＝ycm，用含x的代数式表示y：　 　，其中自变量x的取值范围为　 　．
（2）x，y的几组对应值如表所示．
x/cm
1
2
3
4
5
6
y/cm
10
4
2
1
0.4
0
请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线，画出y与x的函数图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＜2AP时，AP的取值范围为　 　．

23．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．

（1）如图1，当α＝0°时，＝　 　，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为　 　．
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转至A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．


参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B． C．2021 D．
【分析】根据绝对值的意义即可进行求解．
解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴﹣2021的绝对值为2021．
故选：C．
2．如下摆放的几何体中，主视图与左视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．
解：A、主视图和左视图都是等腰三角形，故选项不符合题意；
B、主视图和左视图是长方形，故本选项不合题意；
C、主视图是一行两个矩形，左视图是一个矩形，故本选项符合题意；
D、主视图和左视图是正方形，故本选项不合题意；
故选：C．
3．小颖、小明和小亮三名同学准备调查郑州市市区老年人的健康状况，他们各自设计了如下的调查方案：
小颖：我准备在公园里调查100名老年人的健康状况．
小明：我准备在医院里调查100名老年人的健康状况
小亮：我准备利用派出所的户籍网随机抽出100名老年人，调查他们的健康状况．
小颖、小明和小亮三人中，能较好地获得市区老年人健康状况的方案是（　　）
A．小颖 B．小明 C．小亮 D．小明和小亮
【分析】根据抽样调查的意义以及抽样的可靠性进行判断即可．
解：为确保抽取的样本的广泛性、代表性和可靠性可知，
小亮的做法较好，
故选：C．
4．一个等腰直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置．若∠2＝60°，则∠1的度数为（　　）

A．60° B．75° C．45° D．105°
【分析】利用两直线平行，同位角相等得到，∠2＝∠3＝60°，再由等腰直角三角形的性质得到∠4＝45°，最后由三角形内角和求解即可．
解：如图所示，

∵AB∥CD，∠2＝60°，
∴∠3＝∠2＝60°，
∵∠4＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°，
故选：B．
5．2020年10月份，社会消费品零售总额38576亿元，同比增长4.3%，增速比上月加快1.0个百分点．将数据“38576亿”用科学记数法表示为（　　）
A．3.8576×1012 B．38.576×1011
C．0.38576×1013 D．3.8576×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：38576亿＝3.8576×1012，
故选：A．
6．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数＝x2+2x+2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系
是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】由对称轴为直线x＝﹣1，a＝1＞0可知，距离对称轴越近函数值越小即可．
解：∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
且a＝1＞0，
∴A到对称轴直线x＝﹣1的距离为1，
B到对称轴直线x＝﹣1的距离为0，
C到对称轴直线x＝﹣1的距离为3，
∵0＜1＜3，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
7．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，
∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，
整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，
∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．绿水青山就是金山银山．某工程队承接了100万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变……设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为＝20，根据方程可知省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了10%，结果提前20天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了10%，结果延误20天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了10%，结果延误20天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了10%，结果提前20天完成了这一任务
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则（1+10%）x为提高工作效率后的工作效率，为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间，结合所列方程，即可得出省略部分的内容．
解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则（1+10%）x为提高工作效率后的工作效率，为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间，
∵所列方程为﹣＝20，
∴提高工作效率后比原计划提前20天完成这一任务．
∴省略的部分是：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了10%，结果提前20天完成了这一任务．
故选：A．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，边AC在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），矩形CDEF的顶点F与点O重合，顶点D在边BC上，且点D的坐标为（2，1），将矩形CDEF沿x轴向左平移，当点D落在AB边上时，点E的坐标为（　　）

A．（） B．（） C．（） D．（﹣5，1）
【分析】利用待定系数法可求直线AB的解析式，即可求解．
解：∵点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（2，1），
∴AO＝2，CD＝1，OC＝2，
∴AC＝4，
∵tan∠BAC＝＝，
∴BC＝5，
∴点B（2，5），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB解析式为y＝x+，
当y＝1时，x＝﹣，
∴平移后点E坐标为（﹣，1），
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O与x轴交于A，B两点，C为⊙O上一点，且点C的坐标为（1，）．现按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交OC，OA于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠COA内交于点F，作射线OF，交⊙O于点G；③以点C为圆心，C的长为半径作弧，交弧BC于点H，连接OH，HG，则△HOG的面积为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．3
【分析】作CM⊥OA于M，连接CH，如图，利用解直角三角形得到OC＝2，∠COM＝60°，根据基本作图得到OF平分∠COA，则∠COG＝∠AOG＝30°，根据基本作图得到CH＝CO，则△OCH为等边三角形，则∠COH＝60°，从而得到∠HOG＝90°，然后根据三角形面积公式求解．
解：作CM⊥OA于M，连接CH，如图，
∵点C的坐标为（1，），
∴OM＝1，CM＝，
∴OC＝＝2，
∵sin∠COM＝＝，
∴∠COM＝60°，
由作法得OF平分∠COA，
∴∠COG＝∠AOG＝30°，
由作法得CH＝CO，
∴△OCH为等边三角形，
∴∠COH＝60°，
∴∠HOG＝60°+30°＝90°，
∴S△HOG＝×2×2＝2．
故选：C．

二、填空题（每小题共3分，共15分）
11．请写出一个大于且小于3的无理数　（答案不唯一）　．
【分析】只要大于且小于3的无理数都可以．
解：只要大于且小于3的无理数都可以，如：，，．
故答案为：（答案不唯一）．
12．已知不等式组的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个m的值　﹣1（答案不唯一）　．

【分析】先把m当作已知条件求出各不等式的解集，再根据已知数轴上表示的不等式的解集列出关于m的不等式，求出m的取值范围，写出符合条件的一个m的值即可．
解：，
由①得，x＜2m+1，
由②得，x＜﹣2，
∵由数轴上不等式的解集可知x＜﹣2，
∴2m+1≥﹣2，即m≥﹣，
∴m可以等于﹣1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
13．乐乐和聪聪在玩一个正六边形的转盘游戏，如图是一个正六边形转盘，转盘被分成六个面积相等的等边三角形区域，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转）．若两次指针所指数字之和小于8，则乐乐获胜；若两次指针所指数字之和大于或等于8，则聪聪获胜．那么在这次游戏中，聪聪获胜的概率为　　．

【分析】利用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出聪聪获胜的概率．
解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有36种等可能出现的结果情况，其中“两次指针所指数字之和大于或等于8”有15种，
所有两次指针所指数字之和大于或等于8的概率为＝，
即聪聪获胜的概率为，
故答案为：．
14．如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为　2π+2+2　．

【分析】根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，设AC＝BC＝m，则AB＝m，CD＝AD＝BD＝m，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差，据此求得直角三角形的边长，进而求得和的长，进一步求得阴影部分的周长．
解：设BC的中点为O，连接OD，连接CD，
∵以BC为直径作半圆，交AB于点D．
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD，CD＝AB，
∴CD＝BD，
∴＝，
∵AD＝BD，CO＝BO，
∴OD∥AC，
∴∠BOD＝90°，
设AC＝BC＝m，则AB＝m，CD＝AD＝BD＝m，
∵阴影部分的面积为（π﹣1），
∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π•m2﹣×（m）2＝π﹣1．
∴πm2﹣m2＝π﹣1，
∴m2＝1，
∴m＝2，
∴AC＝BC＝2，AB＝2，OC＝OB＝1，
∴的长为：＝π，的长为：＝π，
∴阴影部分的周长为：π+2×π+2+2＝2π+2+2
故答案为：2π+2+2．

15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接PD，过点B作BM⊥PD交DP的延长线于点M，连接AM，过点A作AN⊥AM交PD于点N，连接BN，CN，则△BNC面积的最小值为　12﹣4　．

【分析】点N在正方形内部，所以S△AND+S△BNC＝正方形ABCD＝4×4＝8，由BM⊥PD可得点M在以BD中点为圆心，BD长为半径的圆上，先证明三角形AMB与三角形ADN全等，然后求三角形ABM最大面积即可求出三角形BNC的最小面积．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠BAN+∠NAD＝90°，
∵∠MAB+∠BAN＝90°，
∴∠MAB＝∠NAD，
∵∠BMP+∠BPM+∠MBP＝∠PAD+∠PDA+∠APD＝180°，
∠MPB＝∠APD，∠BMP＝∠DAP＝90°，
∴∠MBP＝∠ADP，
在△AMB和△AND中，
，
∴△AMB≌△AND（ASA）．
∴S△AMB＝S△AND，
∵S△AND+S△BNC＝正方形ABCD＝4×4＝8，
∴当S△AMB面积最大时，S△BNC面积最小，
∵∠BMD＝90°，
∴点M在以BD中点为圆心，BD长为半径的圆上，
当△ABM面积最大时，OM⊥AB，如图，

∵点O为BD中点，OM∥AD，
∴OK＝AD＝2，
∵BD＝BC＝4，
∴OM＝BD＝2，
∴MK＝OM﹣OK＝2﹣2，
∴S△AMB＝AB•MK＝4﹣4，
∴S△BNC＝8﹣S△AMB＝8﹣（4﹣4）＝12﹣4．
故答案为：12﹣4．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
17．2021年伊始，伴随着气温的降低和新型冠状病毒的变异，疫情防控的压力越来越大．某中学针对此情况，决定加强学生们对新型冠状病毒的认识，组织八、九年级全体学生参加了一次防疫知识测试．现从八年级和九年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：
【收集数据】
八年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
九年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
【整理数据】整理以上数据，得到测试成绩的频数分布表．
成绩年级
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
八年级
0
1
0
a
7
1
九年级
1
0
0
7
10
2
【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．

平均数
众数
中位数
八年级
78
b
78
九年级
78
81
c
（1）填空：a＝　11　，b＝　75　，c＝　80.5　．
（2）结合如表中的统计量，你认为哪个年级的学生防疫知识掌握得较好？请说明理由．
（3）该校八、九年级共有1200名学生，请你估计八、九年级防疫知识测试成绩不低于80分的学生人数．
【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据统计表中的数据，可以得到该校八、九年级中哪个年级学生掌握疫情防疫知识较好，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可；
（3）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出八、九年级防疫知识测试成绩不低于80分的学生人数．
解：（1）∵八年级20名学生的测试成绩为：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77，
∴a＝11，b＝75，
∵九年级20名学生的测试成绩为：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41，
∴c＝（80+81）÷2＝80.5．
故答案为：11，75，80.5；
（2）九年级学生掌握防疫知识较好，理由：
九年级的80.5分以上人数所占百分比大于大年级，故九年级学生掌握疫情防疫知识较好；
（3）1200×＝600（名）．
故八、九年级防疫知识测试成绩不低于80分的学生人数大约有600名．
18．黄河中下游分界碑，矗立在河南省荥阳市广武镇桃花峪的三皇山上（东经113°27′，北纬34°58′）．界碑四面玲珑旋梯联接，外部呈H体形（意示“黄河”汉语拼音首个字母），基座高2m，四面台阶玉栏护侍，碑身南北闻隙弋矢一线．界碑伟岸雄姿，高耸入云，堪称全国之最．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量界碑的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得界碑最高点A的仰角为30°，然后前进15.7m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.5m．求界碑AD的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）

【分析】根据题意画出图形，然后利用锐角三角函数进行计算即可求出界碑AD的高度．
解：根据题意画出图形：

根据题意可知：GD＝NC＝MB＝1.5m，GN＝DC＝15.7m，
∵∠ANG＝45°，
∴MN＝BC＝15.7m，
∴GM＝GN+MN＝AG+15.7，
∵∠AMG＝30°，
∴GM＝AG，
∴AG+15.7＝AG，
解得AG≈21.43（m），
∴AD＝AG+GD＝21.43+1.5≈22.9（m），
答：界碑AD的高度为22.9m．
19．每年农历秋分是中国农民丰收节，小明准备和爸爸妈妈一起去郊区葡萄园采摘葡萄，享受丰收的快乐．出发之前，小明在网络上查找了相关资讯，发现甲葡萄园给出的公开信息是：每个家庭40元的门票，采摘价格每千克30元；乙葡萄园给出的公开信息是：不要门票，不超过3千克的，采摘按一定的价格收费，超过3千克的，超过部分在原价的基础上打折优惠．小明为了弄明白情况，询问了去过乙葡萄园的小颖和小亮．小颖说，我们摘了2千克，付费100元；小亮说，我们摘了6千克，付费225元．
（1）设小明一家准备采摘葡萄x千克，去甲葡萄园需要付费y1元，去乙葡萄园需要付费y2元，请分别求出y1与y2关于x的函数关系式；
（2）小明家离甲葡萄园较近，想去甲葡萄园采摘葡萄，请你分析计算当小明家采摘葡萄的质量x满足什么范围时，去甲葡萄园采摘更合算．
【分析】（1）y1函数表达式＝40+单价×数量，y2与x的函数表达式是分段函数，分段求出每千克的价格即可解决问题；
（2）分段求出y1＜y2的解即可解决问题．
解：（1）由题意y1＝30x+40，
当0＜x≤3时，100÷2＝50（元），
∴y2＝50x（0＜x≤3）；
当x＞3时，（225﹣50×3）÷（6﹣3）＝25（元），
∴y2＝50×3+25（x﹣3）＝25x+75（x＞3），
∴y2＝；
（2）①当0＜x≤3时，30x+40＜50x，
解得：x＞2，
∴当2＜x≤3时，去甲葡萄园采摘更合算；
②当x＞3时，30x+40＜25x+75，
解得：x＜7，
∴当3＜x＜7时，去甲葡萄园采摘更合算．
综上，当2＜x＜7时，去甲葡萄园采摘更合算．
20．复习巩固
切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线．
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
阅读材料
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是⊙O外一点，　AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线　．
求证：　AB2＝AC•AD　．
证明：

【分析】按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABC∽△ADB，即可求解．
解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线．
求证：AB2＝AC•AD．
故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AB2＝AC•AD，
证明：连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，

∵AB是⊙O的切线，则∠ABC+∠CBE＝90°，
∵BE是圆的直径，故∠BCE＝90°＝∠E+∠CBE，
∴∠ABC＝∠E，
而∠E＝∠CDB，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∴AB2＝AC•AD．
21．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．
（1）求二次函数及直线CD的解析式；
（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．
（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB时，请直接写出点F的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△BCP的面积＝PH（xB﹣xC）＝×2m（3﹣0）＝，即可求解；
（3）分类讨论，画出图形，求出相关线段之间的关系，设出未知数，利用三角形相似求出点的坐标．
解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝3，
故点B、C的坐标分别为（0，3）、（3，0），
由题意把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）由抛物线的表达式知，点D的坐标为（1，4），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为y＝x+3，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，

设点P的坐标为（m，m+3），则点H（m，﹣m+3），则PH＝2m，
则△BCP的面积＝PH（xB﹣xC）＝×2m（3﹣0）＝，
解得m＝（负值已舍去），
故点P的坐标为（，）；

（3）当点F在对称轴右侧时，
①G在线段CD上，如图2，

延长FG交y轴于点S，过点F作FR⊥y轴于点R，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∵B（3，0），对称轴与x轴交于点E，
∴DE＝4，BE＝2，
∵∠CFG＝∠BDE，∠CGF＝∠BED＝90°，
∴△FCG∽△DBE，
∴，
∴FG＝2CG，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
过点D作DH⊥y轴于点H，
又∵D（1，4），
∴DH＝1，CH＝1，
∴∠SCD＝45°，∠CSG＝90°﹣∠SCD＝45°，
∴△CGS和△FRS均为等腰直角三角形，
设CG＝a，则FG＝2a，
∴GS＝CG＝a，CS＝a，FS＝3a，
∴FR＝RM＝a，OR＝OC+CS﹣RS＝3+a﹣a＝3﹣a，
∴F（a，3﹣a），
将点F的坐标代入y＝﹣x2+2x+3，
得：a1＝0（舍去），a2＝，
∴F（，）．

②G在射线CD上，如图3，

设FG交y轴于点S，过点F作FS⊥y轴于点S，
∵∠CFG＝∠BDE，∠CGF＝∠BED＝90°，
∴△FCG∽△DBE，
∴，
∴FG＝2CG，
由①知∠HCD＝45°
∴∠GCS＝45°，∠FSR＝90°﹣∠GCS＝45°，
∴△CGS和△FRS均为等腰直角三角形，
设CG＝a，则SG＝a，FG＝2a，CS＝a，
∴FS＝FG﹣SG＝a，
∴FR＝RS＝a，OR＝RS+CS﹣CO＝a﹣3，
∴F（a，3﹣a），
将点F的坐标代入y＝﹣x2+2x+3，
得：a1＝0（舍去），a2＝5，
∴F（5，﹣12）．
当点F在对称轴左侧时，如图4，

∵∠CFG＝∠BDE＜45°，
∴∠FCG＞45°．而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCG＜45°，
∴点F不存在．
综上：F（，）或（5，﹣12）．
22．小明在学习中遇到这样一个问题．
如图，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm，点P是线段AB上由点A向点B移动的一动点（不与点A，B重合），连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D．当BD＜2AP时，求AP长度的取值范围．
小明尝试结合学习函数的经验解决此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）设AP＝xcm，BD＝ycm，用含x的代数式表示y：　y＝﹣2　，其中自变量x的取值范围为　0＜x＜6　．
（2）x，y的几组对应值如表所示．
x/cm
1
2
3
4
5
6
y/cm
10
4
2
1
0.4
0
请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线，画出y与x的函数图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＜2AP时，AP的取值范围为　2＜x＜6　．

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理可得，即，即可得出y＝﹣2，由AB＝6cm可得自变量x的取值范围；
（2）根据已知数据描点连线画图即可；
（4）当BD＜2AP时，即y＜2x时，画出y＝2x的函数图象，结合画出的函数图象，根据两个函数图象交点即可得AP的取值范围．
解：（1）∵BD∥AC，
∴，
∵AC＝2cm，AB＝6cm，AP＝xcm，BD＝ycm，
∴，
∴y＝﹣2，
∵x＞0，AB＝6cm，P是线段AB上由点A向点B移动的一动点（不与点A，B重合），
∴0＜x＜6，
故答案为：y＝﹣2，0＜x＜6；
（2）根据已知数据画出图象如图：

（3）当BD＜2AP时，即y＜2x时，画出y＝2x的函数图象，

由图象得：当BD＜2AP时，AP的取值范围为2＜x＜6．
故答案为：2＜x＜6．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．

（1）如图1，当α＝0°时，＝　2　，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为　60°　．
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转至A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
【分析】（1）先求出BC，AA1＝A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论；
（2）先判断出△ACA1∽△BCB1，得出＝＝2，∠CAA1＝∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD＝120°，即可得出结论；
（3）分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论．
解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4，
∵点A1为边AC的中点，
∴AA1＝A1C＝AC＝1，
∵点A1，B1为边AC，BC的中点，
∴A1B1是△ABC的中位线，
∴A1B1∥AB，
∴∠B1A1C＝∠BAC＝90°，∠A1B1C＝∠ABC＝30°，
在Rt△A1B1C中，B1C＝2A1C＝2，
∴BB1＝BC﹣B1C＝4﹣2＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝60°，
∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB＝60°，
故答案为2，60°；

（2）（1）中结论仍然成立，证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1＝∠BCB1，
A1C＝1，B1C＝2，
∵AC＝2，BC＝4，
∴，＝2，
∴，
∴△ACA1∽△BCB1，
∴＝＝2，∠CAA1＝∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ABC+∠CBB1+∠BAC﹣∠CAA1＝∠ABC+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∴∠D＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝60°；

（3）在图1中，在Rt△A1B1＝A1C＝，
①当点B1在BA1的延长线上时，如图3，

∵A1，B1，B三点共线，
∴∠BA1C＝∠BA1C＝90°，
在Rt△A1BC中，A1B＝＝＝，
∴BB1＝A1B+A1B1＝+；
②当点B1在线段A1B上时，如图4，

同①的方法得，A1B＝，
∴BB1＝A1B﹣A1B1＝﹣，
即线段BB1的长为+或﹣．