河南省郑州市2021年中考数学模拟试卷（三）解析版

这是一份河南省郑州市2021年中考数学模拟试卷（三）解析版，共33页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若a的相反数是2，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣D．±2
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103
3．如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式中正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1
C．＝2a+1D．a（a﹣3）＝a2﹣3a
5．学校为了培养学生的践行精神和吃苦品质，每学期以班级为单位申报校内志愿者活动．2020年秋季学期某班40名学生参与志愿者活动情况如下表，则他们参与次数的众数和中位数分别是（ ）
A．2，2B．17，2C．17，1D．2，3
6．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（ ）
A．B．
C．D．
7．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
8．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A．B．C．D．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算（2﹣3）2的结果等于 ．
12．如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝55°，则∠1的度数等于 ．
13．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 ．
14．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）先化简再求值：÷（a﹣），其中a＝2cs30°+1，b＝tan45°．
17．（9分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第 段；
（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求△OAM的面积S．
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小并求出此时点P的坐标．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上任意一点，连接BC并延长到点D，使得CD＝CB，连接AD，点E是弧的中点．
（1）证明：△ABC≌△ADC．
（2）①当∠E＝ °时，△ABD是直角三角形；
②当∠D＝ °时，四边形OAEC是菱形．
20．（9分）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 cm．
（参考数据：sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，tan37°＝0.75）
21．（10分）某公司开发出一款新的节能产品该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）直接写出y与之间的函数解析式，并写出x的取值范围．
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，日销售利润不超过1950元的共有多少天？
（3）若5≤x≤17，求第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元？
22．（10分）如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
23．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年河南省郑州市中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中.
1．若a的相反数是2，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣D．±2
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：由a的相反数是2，得
a＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：36000＝3.6×104，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的用虚线表示．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．下列各式中正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1
C．＝2a+1D．a（a﹣3）＝a2﹣3a
【分析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，所以A错误；
B、3ab﹣2ab＝ab，所以B错误；
C、，所以C错误；
D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正确；
故选：D．
【点评】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．
5．学校为了培养学生的践行精神和吃苦品质，每学期以班级为单位申报校内志愿者活动．2020年秋季学期某班40名学生参与志愿者活动情况如下表，则他们参与次数的众数和中位数分别是（ ）
A．2，2B．17，2C．17，1D．2，3
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：∵2出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2；
把这些数从小大排列为，中位数是第20、21个数的平均数，
则中位数是＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝48文钱，乙的钱+甲所有钱的＝48文钱，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
根据题意，得：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
7．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据b2﹣4ac＝1+8+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣2﹣p2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
8．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出树状图，共有16种可能性结果，其中他们恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：设“物理、化学、政治、历史”分别用A、B、C、D表示，
画树状图如图所示：
共有16种可能性结果，其中李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，
∴李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的概率为＝，
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
9．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】方法一：根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
方法二：连接AA'．根据折叠的性质，易得△ABA'为等边三角形，进而得出∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，进而求解．
【解答】解一：∵EN＝1，
∴由中位线定理得AM＝2，
由折叠的性质可得A′M＝2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB＝∠A′NM，
∵∠AMB＝∠A′MB，
∴∠A′NM＝∠A′MB，
∴A′N＝2，
∴A′E＝3，A′F＝2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG＝EN＝1，
∴A′G＝1，
由勾股定理得MG＝＝，
∴BE＝DF＝MG＝，
∴OF：BE＝2：3，
解得OF＝，
∴OD＝﹣＝．
故选：B．
解二：连接AA'．
∵EN＝1，
∴由中位线定理得AM＝2，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴A'A＝A'B，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，
∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°，
又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，
∴BM＝2AM＝4，AB＝AM＝2＝CD．
在直角△OBC中，∵∠C＝90°，∠OBC＝30°，
∴OC＝BC•tan∠OBC＝5×＝，
∴OD＝CD﹣OC＝2﹣＝．
故选：B．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是得到矩形的宽和A′E的长．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算（2﹣3）2的结果等于 17﹣12 ．
【分析】根据完全平方公式展开，再依据二次根式的性质计算可得．
【解答】解：原式＝（2）2﹣2×2×3+32
＝8﹣12+9
＝17﹣12，
故答案为：17﹣12．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
12．如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝55°，则∠1的度数等于 35° ．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠1与∠3互余即可得出结论．
【解答】解：∵EF∥HG，∠2＝55°，
∴∠3＝∠2＝55°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
13．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 15 ．
【分析】先解不等式组得到6＜x≤8，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的和即可．
【解答】解：由题意可得，
解不等式①，得：x＞6，
解不等式②，得：x≤8，
则不等式组的解集为6＜x≤8，
所以不等式组的所有整数解的和为7+8＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
14．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形的外角的性质求出∠BDE，根据扇形面积公式计算．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，
∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝2，
∵DE＝DB，
∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，
∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 y＝﹣2x+8 ．
【分析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣x+4，由于直线OB的解析式为y＝x，解方程组得到P（，），由待定系数法即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，
∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，
连接PA，PD，
则此时，PD+AP的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，
∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴，
解得：x＝y＝，
∴P（，），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，
解法二：如图，作点D关于OB的对称点E，
∵D点的坐标为：（4，2），
∴E（2，4），
设直线AP的解析式为：y＝ax+b，
∴，
∴，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，
故答案为：y＝﹣2x+8．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的找出点P的位置是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）先化简再求值：÷（a﹣），其中a＝2cs30°+1，b＝tan45°．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值得出a和b的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝2cs30°+1＝2×+1＝+1，b＝tan45°＝1时，
原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，也考查了特殊锐角的三角函数值．
17．（9分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 18 ，b＝ 0.18 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第 4 段；
（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？
【分析】（1）由x＜60的频数及其频率求出被调查的学生总数，再根据频数＝频率×总数求解可得；
（2）根据（1）中所求结果补全图形可得；
（3）根据中位数的定义求解可得；
（4）总人数乘以样本中90≤x≤100的频率即可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为2÷0.04＝50，
则a＝50×0.36＝18、b＝9÷50＝0.18，
故答案为：18、0.18；
（2）补全直方图如下：
（3）∵共有50个数据，
∴其中位数是第25，26个数据的平均数，而第25，26个数据均落在第4组，
∴中位数落在第4组，
故答案为：4．
（4）400×0.30＝120，
答：估计该年级成绩为优的有120人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求△OAM的面积S．
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小并求出此时点P的坐标．
【分析】（1）根据A（1，n）和B（4，1）两点，即可得到一次函数和反比例函数的表达式．
（2）根据反比例函数求得A（1，4），即可得到△OAM的面积S．
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4）．连接BN交y轴于点P，点P即为所求．根据待定系数法求得直线NB的解析式，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）将B（4，1）代入y＝得：．
∴k＝4．
∴y＝．
将B（4，1）代入y＝mx+5得：1＝4m+5，
∴m＝﹣1．
∴y＝﹣x+5．
（2）在y＝中，令x＝1，解得y＝4．
∴A（1，4）．
∴S＝×1×4＝2．
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4）．
连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
设直线BN的关系式为y＝kx+b，
由，得，
∴y＝﹣x+．
∴点P的坐标为（0，）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上任意一点，连接BC并延长到点D，使得CD＝CB，连接AD，点E是弧的中点．
（1）证明：△ABC≌△ADC．
（2）①当∠E＝ 135 °时，△ABD是直角三角形；
②当∠D＝ 60 °时，四边形OAEC是菱形．
【分析】（1）如图1中，根据SAS证明三角形全等即可．
（2）如图2中，证明∠B＝45°即可解决问题．
（3）如图3中，连接OE．证明△COE，△AOE都是等边三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝∠DCA＝90°，
又∵CD＝CB，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
（2）解：①如图2中，
∵△ABD是直角三角形，AB＝AD
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠B+∠E＝180°
∴∠E＝135°．
故答案为135．
②如图3中，连接OE．
∵四边形OAEC是菱形，
又∵OC＝OE＝OA，
∴OC＝EC＝OE＝AE＝OA，
∴△COE，△EOA均为等边三角形，
∴∠COE＝∠EOA＝60°，
∴∠COA＝120°，
∴∠B＝AOC＝60°，
∵∠D＝∠B，
∴∠D＝60°，
故答案为60．
【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（9分）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 4 cm．
（参考数据：sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，tan37°＝0.75）
【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．
【解答】解：（1）作BF⊥DE于点F，则∠BFE＝∠BFD＝90°，
∵DE⊥l，AB⊥l，
∴∠BEA＝∠BAE＝90°＝∠BFE．
∴四边形ABFE为矩形．
∴EF＝AB＝5cm，EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∵∠ABD＝143°，
∴∠D＝37°，
在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°，
∴＝csD＝cs37°＝0.8，
∵DB＝DC+BC＝20+20＝40，
∴DF＝40×0.8＝32，
∴DE＝DF+EF＝32+5＝37cm，
答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm；
（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝53°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝37°，
∵∠BCD＝180°﹣16°＝164°，∠DCP＝37°，
∴CH＝BCsin53°＝20×0.8＝16（cm），DP＝CDsin37°＝20×0.6＝12（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝12+16+5＝33（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝37﹣33＝4（cm）．
故答案为：4．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（10分）某公司开发出一款新的节能产品该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）直接写出y与之间的函数解析式，并写出x的取值范围．
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，日销售利润不超过1950元的共有多少天？
（3）若5≤x≤17，求第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式可以写出w与x的函数关系式，求得日销售利润不超过1950元的天数；
（3）根据题意和（2）中的关系式可以求得第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元．
【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
即当1≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝﹣30x+480，
当10＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
，得，
即当10＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝21x﹣30，
由上可得，y＝；
（2）由题意可得，
当1≤x≤10时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（﹣30x+480）＝﹣150x+2400，
当10＜x≤30时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（21x﹣30）＝105x﹣150，
即w＝，
当﹣150x+2400＝1950时，得x＝3，
当105x﹣150＝1950时，得x＝20，
∵20﹣3+1＝18，
∴日销售利润不超过1950元的共有18天；
（3）∵当5≤x≤10时，w＝﹣150x+2400，
∴当x＝5时，w取得最大值，此时w＝1650，
∵当10＜x≤17时，w＝105x﹣150，
∴当x＝17时，w取得最大值，此时w＝1635，
综上所述：当x＝5时，w取得最大值，w＝1650，
答：第5日的销售利润最大，最大销售利润为1650元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
22．（10分）如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 AE＝BD ，位置关系是 AE⊥BD ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
【分析】（1）如图1中，延长AE交BD于H．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（2）结论不变．如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．
23．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用抛物线的对称性可得到点D的总表，然后将A、C、D的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值，从而可得到二次函数的解析式；
（2）设M（m，x2﹣x﹣3），|yM|＝﹣m2+m+3，由S＝S△OCM+S△OAM可得到S与m的函数关系式，然后利用配方法可求得S的最大值；
（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，则点P的纵坐标为﹣3，将y＝﹣3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标；当AB为对角线时，AB与CP互相平分，则点P的纵坐标为3，把y＝3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标．
【解答】解：（1）∵A（4，0），对称轴是直线x＝l，
∴D（﹣2，0）．
又∵C（0，﹣3）
∴
解得．a＝，b＝﹣，c＝﹣3，
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．
（2）如图1所示：
设M（m，m2﹣m﹣3），|yM|＝﹣m2+m+3，
∵S＝S△OCM+S△OAM
∴S＝×OC×m+×OA×|yM|＝×3×m+×4×（﹣m2+m+3）＝﹣m2+3m+6＝﹣（m﹣2）2+9，
当m＝2时，s最大是9．
（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，
∴PC∥x轴．
∴点P的纵坐标为﹣3．
将y＝﹣3代入得：x2﹣x﹣3＝﹣3，解得：x＝0或x＝2．
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
当AB为对角线时．
∵ABCP为平行四边形，
∴AB与CP互相平分，
∴点P的纵坐标为3．
把y＝3代入得：x2﹣x﹣3＝3，整理得：x2﹣2x﹣16＝0，解得：x＝1+或x＝1﹣．
综上所述，存在点P（2，﹣3）或P（1+，3）或P（1﹣，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值、平行四边形的性质，依据平行四边形的性质得到点P的纵坐标是解题的关键．参与次数
1
2
3
4
5
人数
6
17
14
2
1
成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
参与次数
1
2
3
4
5
人数
6
17
14
2
1
成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30