2021年浙江省宁波市南三县中考数学一模试卷（word版，含解析）

这是一份2021年浙江省宁波市南三县中考数学一模试卷（word版，含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省宁波市南三县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（4分）2020年，面对极其复杂严峻的国内外形势特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，宁波市2020全年实现地区生产总值GDP12408.7亿元，按可比价格计算，比上年增长3.3%．12408.7亿用科学记数法可表示为（　　）
A．1.24087×1012 B．124087×108
C．1.24087×1013 D．124087×1011
3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（x3）4＝x7 D．2x2•x3＝2x5
5．（4分）为了防控疫情，学校决定从三位老师中（含甲老师）随机抽调2人去值周查体温，则甲老师被抽调去值周的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞0且x≠3 C．x≤3 D．x≤3且x≠0
7．（4分）如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（　　）

A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣ D．4a+2b+c＞0
10．（4分）如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，若知道图中阴影部分面积，一定能求出（　　）

A．S1+2S3 B．S3﹣S1 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2S2
二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）﹣64的立方根是　 　．
12．（5分）分解因式：a3﹣9a＝　 　．
13．（5分）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是　 　．

14．（5分）李同学毕业后收到了甲、乙、丙三家公司的入职通知书，李同学统计了一下三家公司这一年的月工资平均数及方差，如下表所示：

甲
乙
丙
平均数
6000
6000
5000
方差
5.2
3.8
5.2
李同学是个爱挑战自己的人，希望短时间内有可能拿到更高工资，那么他该选择　 　公司．
15．（5分）如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点．过D向AC作垂线DE垂足为点E．若DE＝2CE＝4，则直径AB＝　 　．

16．（5分）如图，△AOB两个顶点A（﹣2，﹣1），B（1，2）在反比例函数图象上，若点P是第一象限内双曲线上一点，且S△APB＝2S△AOB，则P点的坐标为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）化简：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）．
（2）解不等式组：．
18．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．

19．（8分）2021年是“五年奉献一个新奉化”的攻坚之年，大量基础建设在有序推进中．如图，工程队拟沿AC方向挖掘隧道，为加快施工进度，需在另一边E处同时施工，使A，C，E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°，则点E与点D之间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

20．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，已知OA＝2OB＝2OC＝4．
（1）求抛物线解析式：
（2）若腰长为4的等腰直角三角形BDE的一直角边在x轴上，请问抛物线平移后能否同时经过D，E两点？若能，请说明平移方式；若不能，请说明理由．

21．（10分）教育部颁发的《中小学教育惩戒规则（试行）》并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了　 　名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是　 　．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2000名学生家长，估计该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有多少人？

22．（10分）时下少儿编程是一个很热门的项目，需要有良好的数学逻辑思维，某次由编程控制的两辆模型车沿同一路线同时从A点出发驶向B点，途中乙车按照程序设定停车一段时间，然后以一定的速度匀速驶向B点，甲车从A到B点速度始终保持不变，如图所示是甲、乙两车之间的距离y（分米）与两车出发时间x（分钟）的函数图象．根据相关信息解答下列问题：
（1）点M的坐标表示的实际意义是什么？
（2）求出MN所表示的关系式，并写出乙车停车后再出发的速度．
（3）求停车前两车的速度以及a的值．

23．（12分）如图，在折纸游戏中，正方形ABCD沿着BE，BF将BC，AB翻折，使A，C两点恰好落在点P．
（1）求证：∠EBF＝45°．
（2）如图，过点P作MN∥BC，交BF于点Q．
①若BM＝5，且MP•PN＝10，求正方形折纸的面积．
②若QP＝BC，求的值．

24．（14分）定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形．例如：如图1，Rt△ABC中，∠BCA∠＝CEA＝90°，△ACE和△ABC是星相似三角形．如图2，D是AB的中点，以CD为直径画圆，交AB，BC于点E，F，AC＝1．
（1）①若BC＝2，求DE的长．
②设BC＝x，＝y，试写出y与x的函数关系式．
（2）若CG＝CE，则△CEG与哪个三角形星相似，并证明．
（3）在（2）的条件下，求BC的长．


2021年浙江省宁波市南三县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（4分）2020年，面对极其复杂严峻的国内外形势特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，宁波市2020全年实现地区生产总值GDP12408.7亿元，按可比价格计算，比上年增长3.3%．12408.7亿用科学记数法可表示为（　　）
A．1.24087×1012 B．124087×108
C．1.24087×1013 D．124087×1011
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：12408.7亿＝1.24087×1012．
故选：A．
3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：几何体的俯视图是：

故选：C．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（x3）4＝x7 D．2x2•x3＝2x5
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、单项式乘以单项式、完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、x2和x3不能合并，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣4x+4，故本选项不符合题意；
C、结果是x12，故本选项不符合题意；
D、结果是2x5，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）为了防控疫情，学校决定从三位老师中（含甲老师）随机抽调2人去值周查体温，则甲老师被抽调去值周的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：将另外两位老师记为乙、丙，列表如下：

甲
乙
丙
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

由表可知，共有6种等可能结果，其中甲老师被抽调去值周的有4种结果，
所以甲老师被抽调去值周的概率为＝，
故选：A．
6．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞0且x≠3 C．x≤3 D．x≤3且x≠0
【分析】根据被开方数大于等于0，得到关于x的一元一次不等式组，解之即可．
【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
7．（4分）如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝BC＝4．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故选：A．
8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意可得：，
故选：C．
9．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（　　）

A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣ D．4a+2b+c＞0
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，正确，不符合题意；

B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；

C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，
∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；

D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
10．（4分）如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，若知道图中阴影部分面积，一定能求出（　　）

A．S1+2S3 B．S3﹣S1 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2S2
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：设阴影面积为a，八个全等的直角三角形中一个的面积为x，
则S2﹣S1＝4x，S3﹣a﹣S1＝8x，
∴S3﹣a﹣S1＝2（S2﹣S1），
∴S3﹣a﹣S1＝2S2﹣2S1，
∴S3﹣S1﹣2S2+2S1＝a，
∴S3+S1﹣2S2＝a，
由于a已知，故S3+S1﹣2S2已知，
即可求出S3+S1﹣2S2，
故选：D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）﹣64的立方根是　﹣4　．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4．
故选﹣4．
12．（5分）分解因式：a3﹣9a＝　a（a+3）（a﹣3）　．
【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．
【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）．
13．（5分）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是　4　．

【分析】根据题目提供的数据求出扇形的弧长，根据扇形的弧长等于圆锥地面的周长求出圆锥的半径，然后在圆锥的高、母线和底面半径构造的直角三角形中求圆锥的高．
【解答】解：扇形的弧长为：＝4π，
∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴2πr＝4π，
解得：圆锥的底面半径r＝2，
∴圆锥的高为：＝4．
故答案为：4．
14．（5分）李同学毕业后收到了甲、乙、丙三家公司的入职通知书，李同学统计了一下三家公司这一年的月工资平均数及方差，如下表所示：

甲
乙
丙
平均数
6000
6000
5000
方差
5.2
3.8
5.2
李同学是个爱挑战自己的人，希望短时间内有可能拿到更高工资，那么他该选择　甲　公司．
【分析】根据平均数和方差的意义求解即可．
【解答】解：由表知，甲、乙公司的平均数均为6000，大于丙公司，而甲公司的方差大于乙公司，波动性大，更富有挑战性，
故答案为：甲．
15．（5分）如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点．过D向AC作垂线DE垂足为点E．若DE＝2CE＝4，则直径AB＝　10　．

【分析】连接CD，BD，OD，过点D作DP⊥AB于点P，根据勾股定理求出CD，由圆周角定理可得BD＝CD，根据角平分线的性质可得DP＝DE，在Rt△ODP中，根据勾股定理可得半径r的值，即可得出直径AB的值．
【解答】解：连接CD，BD，OD，过点D作DP⊥AB于点P，

∵DE⊥AC，DE＝2CE＝4，
∴CE＝2，
∴CD＝＝2，
∵AD是∠BAC的平分线，DP⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BAD＝∠DAC，DP＝DE＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴PB＝＝2，
在Rt△ODP中，设OD＝r，则OP＝r﹣2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，
∴AB＝2r＝10．
故答案为：10．
16．（5分）如图，△AOB两个顶点A（﹣2，﹣1），B（1，2）在反比例函数图象上，若点P是第一象限内双曲线上一点，且S△APB＝2S△AOB，则P点的坐标为　（，）或（2，1）　．

【分析】先求出S△APB，再讨论点P在点B上方与下方俩种情况求解．
【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b，将A（﹣2，﹣1），B（1，2）代入得：
，解得，
∴y＝x+1．
当y＝0时，x＝﹣1，
∴直线与x轴交点为（﹣1，0）．
∴S△AOB＝（yB﹣yA）＝，
∴S△APB＝2S△AOB＝3．
∵﹣2×（﹣1）＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
设点P横坐标为m，则纵坐标为，即点P坐标为（m，）．
①当点P在点B上方时，作PC平行于y轴交AB于点C，

将x＝m代入y＝x+1得y＝m+1，
∴点C坐标为（m，m+1），
S△APB＝（xB﹣xA）（yP﹣yB）＝（1+2）（m﹣1）＝3，
解得m＝或m＝（舍）．
∴＝，
∴点P坐标为（，）．
②延长AO交双曲线与点P，右对称性可知O为AP中点，
∴AP＝2AO，
∴S△APB＝2S△AOB，
∴点P坐标为（2，1）．
故答案为：（，）或（2，1）．
三、解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）化简：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据平方差公式以及单项式乘单项式的运算法则化简即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：（1）原式＝4a2﹣b2﹣4a2+4ab
＝4ab﹣b2；
（2），
解不等式x+2＞3，得x＞1，
解不等式，得x﹣1≤8，解得x≤9，
故不等式组的解集为：1＜x≤9．
18．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据AB＝2，BC＝，AC＝5，利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．
（2）如图2中，△AB'C'即为所求．

19．（8分）2021年是“五年奉献一个新奉化”的攻坚之年，大量基础建设在有序推进中．如图，工程队拟沿AC方向挖掘隧道，为加快施工进度，需在另一边E处同时施工，使A，C，E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°，则点E与点D之间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【分析】求出∠E的度数，再在Rt△BDE 中，依据三角函数进行计算即可．
【解答】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，
∴∠E＝140°﹣50°＝90°，
在Rt△BDE中，
DE＝BD•cos∠D，
＝560×cos50°，
≈560×0.64，
＝358.4（米）．
答：点E与点D间的距离是358.4米．
20．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，已知OA＝2OB＝2OC＝4．
（1）求抛物线解析式：
（2）若腰长为4的等腰直角三角形BDE的一直角边在x轴上，请问抛物线平移后能否同时经过D，E两点？若能，请说明平移方式；若不能，请说明理由．

【分析】（1）由OA＝2OB＝2OC＝4可得出A，B，C三点坐标，代入抛物线表达式即可；
（2）先求出D，E坐标，通过平移前后抛物线表达式中a的值不变，用待定系数法求出平移后的表达式．
【解答】解：（1）∵OA＝2OB＝2OC＝4，
∴OB＝OC＝2，
∴A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2），
将A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2）代入抛物线y＝ax2+bx+c得：
，
解之得a＝﹣，b＝﹣，c＝2，
∴y＝﹣，
（2）抛物线平移后能同时经过点D、E两点，理由如下：
∵BD＝BE＝4，
∴E（2，4），D（6，0），
设抛物线平移后的解析式为；y＝，
将E、D 坐标代入得，
解之得m＝2，k＝4，
∴平移后抛物线顶点为（2，4），
∵原抛物线顶点为（﹣1，），
∴将原来抛物线向右平移3个单位，再向上平移个单位后能同时经过D、E两点．
21．（10分）教育部颁发的《中小学教育惩戒规则（试行）》并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了　60　名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是　18°　．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2000名学生家长，估计该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有多少人？

【分析】（1）从两个统计图可知，“C不关心”的频数为9人，占调查人数的15%，可求出调查人数，求出“D不支持”所占得百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（2）求出“A非常支持”的人数，即可补全条形统计图；
（3）求出“A非常支持”“B支持”所占得百分比即可．
【解答】解：（1）9÷15%＝60（人），360°×＝18°，
故答案为：60，18°；
（2）60﹣36﹣9﹣3＝12（人），补全条形统计图如图所示：

（3）2000×＝1600（人），
答：该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有1600人．
22．（10分）时下少儿编程是一个很热门的项目，需要有良好的数学逻辑思维，某次由编程控制的两辆模型车沿同一路线同时从A点出发驶向B点，途中乙车按照程序设定停车一段时间，然后以一定的速度匀速驶向B点，甲车从A到B点速度始终保持不变，如图所示是甲、乙两车之间的距离y（分米）与两车出发时间x（分钟）的函数图象．根据相关信息解答下列问题：
（1）点M的坐标表示的实际意义是什么？
（2）求出MN所表示的关系式，并写出乙车停车后再出发的速度．
（3）求停车前两车的速度以及a的值．

【分析】（1）观察图象结合题意分析可得答案；
（2）设MN所表示的关系式为y＝kx+b，用待定系数法求解得解析式；再用路程除以相应的时间可得速度；
（3）设出发时甲的速度为v分米/分钟，乙速度为（v﹣20）分米/分钟，根据乙车设定停车后的（2.5﹣2）分钟甲车行驶的路程加上乙车停车后甲乙两车所产生的距离等于90分米减去40分米，列出关于v的方程，解得v的值，则乙车速度也可求得，然后用40+70×0.5计算即可得出a的值．
【解答】解：（1）点M的坐标表示的实际意义是：当行驶4分钟时，甲车到达B地（终点），乙车距离终点还有90分米．
（2）设MN所表示的关系式为y＝kx+b，将M（4，90），N（5.5，0）代入得：
，
解得：，
∴MN所表示的关系式为：y＝﹣60x+330；
停车后乙车速度为：90÷（5.5﹣4）＝60（分米/分钟）．
（3）∵40÷2＝20（分米/分钟），
∴设出发时甲的速度为v分米/分钟，乙速度为（v﹣20）分米/分钟，则有：
（2.5﹣2）v+（4﹣2.5）（v﹣60）＝90﹣40，
解得：v＝70，
∴甲车速度为70分米/分钟，乙为50分米/分钟．
∴a的值为40+70×0.5＝75．
23．（12分）如图，在折纸游戏中，正方形ABCD沿着BE，BF将BC，AB翻折，使A，C两点恰好落在点P．
（1）求证：∠EBF＝45°．
（2）如图，过点P作MN∥BC，交BF于点Q．
①若BM＝5，且MP•PN＝10，求正方形折纸的面积．
②若QP＝BC，求的值．

【分析】（1）由正方形的性质得∠ABC＝90°，再由折叠的性质得：∠PBF＝∠ABF，∠PBE＝∠CBE，即可得出结论；
（2）①设MP＝x（x＞0），PN＝y（y＞0），则xy＝10①，MN＝x+y，证四边形BCNM是矩形，得BM＝CN，BC＝MN＝x+y，∠BMN＝90°，则BP＝AB＝BC＝MN＝x+y，在Rt△BMP中，由勾股定理得52+x2＝（x+y）2②，由①②联立方程组求出x、y的值，即可解决问题；
②设正方形ABCD的边长为2，则BC＝CD＝AD＝AB＝2，QP＝BC＝1，证出∠PFB＝∠PQF，则AF＝PF＝PQ＝1，设CE＝a，则DE＝2﹣a，EF＝a+1，在Rt△DEF中，由勾股定理得出方程，求出a＝，则PE＝，DE＝，EF＝，然后证△NEP∽△DEF，求出NE＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠PBF＝∠ABF，∠PBE＝∠CBE，
∴∠PBF+∠PBE＝∠ABC＝45°；
（2）解：①设MP＝x（x＞0），PN＝y（y＞0），
则xy＝10①，MN＝x+y，
∵四边形ABD是正方形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，
由折叠的性质得：BP＝AB，
∵MN∥BC，
∴四边形BCNM是矩形，
∴BM＝CN，BC＝MN＝x+y，∠BMN＝90°，
∴BP＝AB＝BC＝MN＝x+y，
在Rt△BMP中，由勾股定理得：52+x2＝（x+y）2②，
由①②得：，
解得：，
∴AB＝3，
∴正方形折纸的面积＝（3）2＝45；
②设正方形ABCD的边长为2，
则BC＝CD＝AD＝AB＝2，
∴QP＝BC＝1，
由折叠的性质得：PE＝CE，AF＝PF，∠AFB＝∠PFB，
∵MN∥AD，
∴∠AFB＝∠PQF，
∴∠PFB＝∠PQF，
∴AF＝PF＝PQ＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝1，
设CE＝a，则DE＝2﹣a，EF＝a+1，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：12+（2﹣a）2＝（a+1）2，
解得：a＝，
∴PE＝，DE＝，EF＝，
∵MN∥AD，
∴△NEP∽△DEF，
∴＝，
即＝，
解得：NE＝，
∴BM＝CN＝CE+NE＝+＝，
∴AM＝AB﹣BM＝，
∴＝＝．
24．（14分）定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形．例如：如图1，Rt△ABC中，∠BCA∠＝CEA＝90°，△ACE和△ABC是星相似三角形．如图2，D是AB的中点，以CD为直径画圆，交AB，BC于点E，F，AC＝1．
（1）①若BC＝2，求DE的长．
②设BC＝x，＝y，试写出y与x的函数关系式．
（2）若CG＝CE，则△CEG与哪个三角形星相似，并证明．
（3）在（2）的条件下，求BC的长．

【分析】（1）①利用勾股定理和等面积法即可求得CE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可得CD，再利用勾股定理可求得DE；②证明△FOG～△EDC，可得，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得y和x的函数关系式；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角可得∠BCE＝∠CGE，从而可证明△FEC～△CEG，即△CEG与△FEC相似；
（3）可利用三角形外角的性质证明∠GCE＝∠GDE，从而可得EC＝ED＝m，从而可得CD＝m，BD＝m，解直角三角形即可得出BC．
【解答】解：（1）①Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，
∵D是AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝，
∵∠ECA＝∠CEA＝90°，
在Rt△ABC中，S，
即，
∴CE＝，
∴DE＝；
②连接OF，

∵OF＝OC，
∴∠DCB＝∠OFC，
由①可得BD＝CD，
∴∠DCB＝∠B，
∴∠OFC＝∠B，
∴△FOG～△EDG，
∴，
∵CB＝x，
∴，CD＝BD＝，FO＝＝，
∴cosB＝，即，
∴BE＝，
∴DE＝BE﹣BD＝﹣，
∴y＝＝＝（x＞1）；
（2）△CEG与△FEC相似．
由（1）可知，OF∥CD，
∵O为CD的中点，
∴OF为△CBD的中位线，F为BC的中点，
∵∠CEB＝180°﹣∠CEA＝90°，
∴EF＝CF＝BF＝BC，
∴∠BCE＝∠FEC，
∵GE＝CE，
∴∠CGE＝∠FEC，
∴∠BCE＝∠CGE，
∵∠FEC＝∠FEC，
∴△FEC～△CEG，
∴△CEG与△FEC相似；
（3）∵CD＝BD，BF＝EF，
∴∠B＝∠FCD＝∠DEG，
∵∠FCE＝∠FCD+∠GCE，∠CGE＝∠DEG+∠GDE，
∴∠GCE＝∠GDE，
∴EC＝ED，设CE＝m，则DE＝m，CD＝m，BD＝m，
∴tanB＝，即，
∴BC＝+1．