2022年浙江省宁波市南三县中考数学一模试卷（含解析）

2022年浙江省宁波市南三县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 已知地球上海洋面积约为  ，  这个数用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 某中学篮球队名队员的年龄情况如下：

则这个队队员年龄的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 如图，本题图案属于哪一种变换

A. 位似
B. 旋转
C. 轴对称
D. 平移

6. 如图，是的中位线，，下面三个结论：；∽；的面积与的面积之比为：其中正确的有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

7. 分式方程的解为

A.  B.
C.  D. ，

8. 如图，是一个几何体的三视图，那么这个几何体的侧面积是

A.
B.
C.
D.
 

9. 将张如图的两边长分别为和与都为正整数的矩形纸片按图的方式不重叠地放在矩形内，矩形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等．设若，为整数，则可取的值的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

10. 已知矩形中，，，将绕点顺时针旋转得到，且与交于点，当点落在线段上时，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 化简：______．
12. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为______．
13. 已知张相同的卡片分别写着数字，，，，，将卡片的背面朝上并洗匀，从中任意抽取张，抽到数字是的概率为______．
14. 不等式组的解集是______．
15. 如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于点，点在反比例函数的图象上，当的面积和的面积相等时，______．
     

16. 如图，是半径为的的弦，且，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连接并延长交于点，点是的中点，连接，则的最小值为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）

17. 计算：；
    解方程组：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在的网格图中，的三个顶点都在格斗上．
    在网格图中画出的外接圆圆，并在网格图中标出圆心点的位置；
    在网格图中画出把线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，并在网格图中标出点的位置；判断点是否落在圆上，若点落在圆上，直接写出的长．

19. 为了了解居民的垃圾分类意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展主题为“今天分一分，明天美十分”的知识有奖问答活动得分为整数，满分为分，最低分为分，并用得到的数据绘制成如图所示的两个不完整的统计图部分信息未给出：

请结合图中信息解决下列问题：
求本次调查一共抽取了多少名居民；
求出、的值并将条形统计图补充完整；
社区决定对该小区名居民开展这项有奖问答活动，得分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需要准备多少份“一等奖”奖品？

20. 如图所示，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为点．
    求的值；
    若经过点的一次函数平分的面积．求、的值．
     

21. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点处，测得河的北岸边点在其北偏东方向，然后向西走米到达点，测得点在点的北偏东方向．
    求的度数；
    求这段河的宽度约为多少米．
    参考数据：，，
    
    
    
    
    
    
     
22. 小明岁生日那天父亲种下一颗三毛榉和一颗枫树．当时测得三毛榉高为米，枫树高为米，小明岁生日那天，测得三毛榉高为米，枫树高为米，现在枫树已经比三毛榉高了，在此期间，三毛的高度米和枫树的高度米与时间年的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
    
    分别求出、与之间的函数表达式；
    估计小明现在的年龄应超过多少岁？
    
    
    
    
    
    
     
23. 对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．
    
    如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点、的坐标分别为、，求直线的解析式；
    如图，直线与双曲线交于点、，点是双曲线上的一个动点，点、的横坐标分别为、，直线、分别与轴于点、；
    求证：直线与直线为“等腰三角线”；
    过点作轴的垂线，在直线上存在一点，连结，当时，求出线段的值用含的代数式表示．
    
    
    
    
    
    
     

如图，在等腰中，，，点是线段上一点，以为直径作，经过点．

求证：是的切线；
如图，过点作垂足为，点是上任意一点，连结．
如图，当点是的中点时，求的值；
如图，当点是上的任意一点时，的值是否发生变化？请说明理由．
在的基础上，若射线与的另一交点，连结，当时，直接写出的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：．
故选B．
根据有理数乘法法则：异号得负，并把绝对值相乘来计算．
考查了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
 

2.【答案】
 

【解析】解：  这个数用科学记数法可表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不合题意，
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：岁有人，岁有人，岁有人，岁有人，岁有人，
出现次数最多的数据是，
队员年龄的众数为岁；
一共有名队员，
其中位数应是第和第名同学的年龄的平均数，
中位数为，
故中位数为．
故选：．
众数即为出现次数最多的数，所以从中找到出现次数最多的数即可；排序后位于中间位置的数，或中间两数的平均数．
本题考查了众数及中位数的概念，在确定中位数的时候应该先排序，确定众数的时候一定要仔细观察．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由图可得，图案属于平移变换，
故选：．
在平移变换下，对应线段平行且相等，平移不改变图形的形状和大小．
本题主要考查了平移变换，关键是理解平移不改变图形的形状和大小．
 

6.【答案】
 

【解析】解：是的中位线，，
，，
∽，
．
综上，结论均正确，
即正确的结论有个．
故选：．
利用三角形中位线定理可得出，，结合的长可求出的长，由可得出∽，再利用相似三角形的性质可得出的面积与的面积之比为：．
本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，逐一分析三个结论的正误是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原分式方程的解是，
故选：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：易得此几何体为圆锥，底面直径为，高为，
则母线长为，
所以圆锥的侧面积，
故选：．
易得圆锥的底面直径为，高为，根据勾股定理可得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了由三视图判断几何体及圆锥的计算的知识，解题的关键是能够确定几何体的形状，难度不大．
 

9.【答案】
 

【解析】解：左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，
左上角与右下角的阴影部分的面积相等．
，
，
整理得，
．
，
代入上式得，，
，
，
为整数，
，，，，，，
，，
，
，
与都为正整数，
可取的值的个数为个．
故选A．
根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等得出，将代入得到，由为整数，得出，，，，，，根据，求出，由与都为正整数，即可得到可取的值的个数为个．
本题考查了整式的混合运算，矩形的性质，不等式的性质等知识，得出以及是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
由旋转性质知，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
，
解得或舍，
．
故选：．
由勾股定理求出，再证∽，得：，用表示与，在由勾股定理列出方程便可解答．
本题主要考查了矩形的性质，旋转性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，关键是证明∽，得：．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
利用绝对值的意义判断即可．
本题考查了绝对值的意义，学生必须熟练掌握才能正确判断．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．  

13.【答案】
 

【解析】解：共张卡片，写有的有张，
从中任意抽取张，抽到数字是的概率为，
故答案为．
用数字的个数除以卡片总数即可求得答案．
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

14.【答案】
 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：过点作轴于，过作轴于，如下图，

为等边三角形，点的坐标为，
，，
，
，
的面积和的面积相等，
，
，
，
，
，
，
，
，
把代入，得．
故答案为：．
过点作轴于，过作轴于，求出的面积，得到的面积，由面积公式求得点的坐标，最后用待定系数法便可求得结果．
本题考查的是反比例函数综合题，涉及到解直角三角形、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识，综合性较强，关键在由三角形面积求得点坐标．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连接、、、，

过点作于点，则，
在中，，
由折叠的性质得，
，
，
是等腰三角形，
点是的中点，
，
，
点是的中点，
在中，，
，
的最小值为．
故答案为：．
连接、、、，过点作于点，则，在中利用勾股定理求出；根据折叠的性质得到，从而判断出是等腰三角形，进而得到，利用直角三角形的性质即可得到长；最后利用三角形三边关系即可求出的最小值．
本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，翻折的性质等，解题关键是根据翻折的性质得到．
 

17.【答案】解：原式
；

，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是．
 

【解析】先根据零指数幂，负整数指数幂和算术平方根进行计算，再算加减即可；
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解的关键．
 

18.【答案】解：如图，点即为所求；

点落在圆上，
连接，，
，，
弧的长．
 

【解析】线段，线段的垂直平分线的交点即为所求；
利用旋转变换的性质作出点的对应点，点在上，再利用弧长公式求解．
本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，弧长公式等知识，解题的关键是理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：根据题意得：
人，
答：本次被调查的初三学生人数是人；

，
，
补全统计图如下：


根据题意得：
人，
答：名学生估计选择类的学生有人．
 

【解析】根据得分的人数和所占的百分比即可得出答案；
根据频数、频率与总数之间的关系，即可得出，的值，从而补全统计图；
用该小区的总人数乘以“一等奖”的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

20.【答案】解：二次函数的图象与轴的一个交点为，
，
．
一次函数平分线段，
一次函数经过的中点，
令，
解得，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为，
一次函数经过点
，
解得：．
 

【解析】将代入解析式求解．
由一次函数平分的面积可得一次函数经过中点，由抛物线解析式可得，的坐标，进而求解．
本题考查二次函数与一次函数的结合，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握函数与方程的关系．
 

21.【答案】解：如图，由题意得：，，
；
过作于，则，
，
，
即，
设米，则米，
，
，
，
解得：，
米，
答：这段河的宽度约为米．
 

【解析】由题意得：，，再由三角形的外角性质即可得出答案；
过作于，由锐角三角函数定义得，设米，则米，再由锐角三角函数定义得，则，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：由函数图象可知、是关于的一次函数，所以设，，
经过、，
，
解得，
；
经过、，
，
解得，
．
，．
现在枫树已经比三毛榉高，
，
解得．
至少经过年枫树已经比三手楼高，即小明的年龄应超过岁．
 

【解析】由函数图象可知是关于的一次函数，设出一次函数解析式，利用待定系数法求解析式即可；
由题意得出，解不等式即可求解．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式和一元一次不等式的实际应用，掌握待定系数法和解一元一次不等式是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：过点作轴于点，

，轴，
，，，
在中，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
设直线的解析式为：，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为：．
证明：把代入得，，
或．
经检验，或都是原方程的根，
当时，，
当时，，
，，
点在上，点的横坐标为，
．
设直线的解析式为：，把，分别代入得，
，
解得．
直线的解析式为：，
令，则，
，
，
，
设直线的解析式为：，把和分别代入得，
，
解得．
直线的解析式为：．
令，则，
解得．
．
，
直线和直线为“等腰三角线”．
解：过点作轴于点，过点作于点，

由可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，．
，
，
，即，
，

．
 

【解析】过点作轴于点，由点坐标可得是等腰三角形，所以，所以，由此可得，将，的坐标代入解析式可求得直线的解析式；
联立和，求得点和点的解析式，进而可求出直线和直线的解析式，由此可得和的长，根据“等腰三角线”可得结论；
过点作轴于点，过点作于点，由，建立等式可求出的长，由勾股定理可求出的长，进而可得出结论．
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数的图象与性质，坐标与图形性质，弄清题中“等腰三角线”的定义是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连结．

，，
，
以为直径作，经过点，
，
，
，且点在上，
是切线；

解：如图，连结，．

，，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
；

的值不发生变化，仍为，理由如下：
连结，

，，
，
，
∽，
；

解：如图，当点在点的左侧时，连结，，，，设与交于．

，
，
∽，
，，
设，则，
∽，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，即，
当点在点的右侧时，

同理可得，
．
的值．
 

【解析】连接，证明即可；
连接，，利用锐角三角函数，勾股定理分别求出、的值，即可求解；
连接，证明∽即可得出结论；
分两种情况：点在点的左侧，点在点的右侧，分别求解即可．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质及相似三角形的判定与性质．