九年级上册2.5 解直角三角形的应用教案

2.5解直角三角形的应用

教学目标

【知识与能力】

了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．

【过程与方法】

能根据题意及测量术语绘出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

【情感态度价值观】

认识数学与生产生活的联系，培养数学的应用意识，激发学习的兴趣和求知欲望．

教学重难点

【教学重点】

将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

【教学难点】  

学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、寻疑之自主学习

1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角．

2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．

3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．

图1                                           图2

4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角   叫做坡角，记作α

5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比 叫做坡度，用i表示，即i＝tanα＝．

二、解惑之例题解析

例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）.

例2 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）

解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．

∴ PQ的长为

 答： 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km

解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．

例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）

解析： Rt△ABC中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．

解：如图，α= 30°，β= 60°， AD＝120．

答：这栋楼高约为277.1m

直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要在工具.把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的直角三角形.这一解答过程的思路是：

例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：

（1）坝底AD与斜坡AB的长度.（精确到0.1m）

（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）

例5 如图2-23（课本第59页），要测量铁塔的高度AB，在地面上选取一个点C，在A、C两点间选取一点D，测得CD=14m，在C、D两点处分别用测角器测得铁塔顶端B的仰角为α＝30°和β=45°，测角仪支架的高度为1.2m，求铁塔的高度（精确到0.1m).

三、尝试之知识巩固

1．数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是___  ___米．

2．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（ C  ）

A．由楼顶望塔顶仰角为60°

B．由楼顶望塔基俯角为60°

C．由楼顶望塔顶仰角为30°   

D．由楼顶望塔基俯角为30°

3．如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=．

4．如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（根号保留）．

5．(2014·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是     24        海里．

四、课堂小结：

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．     

2．坡度与坡角

坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），

一般用i表示。即i＝，常写成i=1∶m的形式如i=1∶2.5

把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．