2020-2021学年3.2 确定圆的条件教案

 3.2确定圆的条件 

教学目标

【知识与能力】

1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；

2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

【过程与方法】

1．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．

2．通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．

【情感态度价值观】

形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

教学重难点

【教学重点】

确定圆的条件．

【教学难点】  

学会利用反证法证明.

课前准备

多媒体课件

教学过程

第一环节：引入新课

确定直线的条件：

（1）经过一点、两点、三点你能否画出一条直线吗？若能，可以画出几条直线？

（2）通过以上问题的回答，你有什么体会？

（3）已知线段AB，求作线段AB的中垂线？

第二环节：讲授新课

探究一：

①作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？为什么有这样多个圆？

作图并从从图中可以观察到：圆可以有无数个，而且无规律

②作圆，使它经过已知点A、B，你是如何做的？依据是什么？你能作出几个这样的圆？其圆心分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

步骤1：连接两点，画出中垂线

步骤2：以任意一点为圆心，都可以画出一个圆通过两点

结论：过已知点A，B作圆，可以作无数个圆．

③作圆，使它经过不在同一直线的已知点A、B、C，你是如何做到的．你能作出几个这样的圆？为什么？

思路点拨：

1．能否转化为2的情况：经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上．

2．经过两点B，C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上．

3．经过三点A，B，C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置．

作图步骤：

步骤1：连接AB、BC

步骤2：分别做线段AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O

步骤3：以O为圆心，以OB为半径做圆，圆O就是所要求的圆

结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

由此可知：

1．三角形的三个顶点确定一个圆，这圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形．

2．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

探究二：

师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？

生：共分三步：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

师：反证法是一种间接证明命题的基本方法.在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.

思考：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.

问题：

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由.

分析：

假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立.

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确.像这样的证明方法叫做反证法.

第三环节：例题解析

例1、证明平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

例2、证明：平行与同一条直线的两条直线平行.

第四环节：习题巩固

（1）分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况．

（2）判断题：

①经过三点一定可以作圆．（    ）

②任意一个三角形有且只有一个外接圆．（    ）

③三角形的外心是三角形三边中线的交点．（    ）

④三角形外心到三角形三个顶点的距离相等．（    ）

（3）两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为（）

A．12．5                              B．25 

C．20                                 D．10

（4）．三角形外心具有的性质是（）

A．到三个顶点距离相等

B．到三边距离相等

C．外心必在三角形外

第五环节：课堂小结

1．确定圆的条件：不在同一直线上的三点；圆心、半径

2．外心的位置：

（1）锐角三角形外心在三角形的内部

（2）直角三角形的外心在斜边上

（3）钝角三角形的外心在三角形的

3.反证法