高考数学一轮复习　第四章 第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质

这是一份高考数学一轮复习　第四章 第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，共25页。试卷主要包含了函数y＝Asin的有关概念，三角函数应用等内容，欢迎下载使用。

知 识 梳 理
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4.三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
[微点提醒]
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.
3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，eq \f(|ω|,2π)表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强).
4.交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，eq \f(|ω|,2π)表示频率，φ表示初相位.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移eq \f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq \f(T,2).( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cs 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω))).故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(必修4P56T3改编)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π，eq \f(π,3) B.2，eq \f(1,4π)，eq \f(π,3)
C.2，eq \f(1,4π)，－eq \f(π,3) D.2，4π，－eq \f(π,3)
解析 由题意知A＝2，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(1,4π)，初相为－eq \f(π,3).
答案 C
3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.
解析 设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(π,2)，
所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋φ))＋6.
因为当x＝2时，y＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，可取φ＝－eq \f(π,2).
所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6＝6－cseq \f(π,2)x.
答案 y＝6－cseq \f(π,2)x
4.(2019·北京通州区模拟)函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的部分图象是( )
解析 由y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，故排除B；又因为函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，2))，故排除C.
答案 A
5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A.y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B.y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C.y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D.y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
解析 函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的周期为π，将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期即eq \f(π,4)个单位，所得函数为y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故选D.
答案 D
6.(2018·济南模拟改编)y＝cs(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为eq \r(π2＋4).
答案 eq \r(π2＋4)
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值.
解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6).数据补全如下表：
且函数解析式为f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
(2)由(1)知f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
得g(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2θ－\f(π,6))).
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).
令2x＋2θ－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ(k∈Z).
由于函数y＝g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))成中心对称，所以令eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ＝eq \f(5π,12)(k∈Z)，解得θ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)(k∈Z).
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值eq \f(π,6).
规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
(2)(2018·青岛调研)若把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，所得到的图象与函数y＝cs ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( )
A.2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2)
解析 (1)易知C1：y＝cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))的图象，再把所得函数的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，可得函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的图象，即曲线C2，因此D项正确.
(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(ω,3)π－\f(π,6)))和函数y＝cs ωx的图象重合，可得eq \f(ω,3)π－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.
∴2是ω的一个可能值.
答案 (1)D (2)A
考点二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.
(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|0，所以k≥0，
又6k＋eq \f(3,2)\f(2,3)))，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
解析 (1)f(x)＝sin ωx－cs ωx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))，
令ωx－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(3π,4ω)＋eq \f(kπ,ω)(k∈Z).
当k＝0时，eq \f(3π,4ω)≤π，即eq \f(3,4)≤ω，
当k＝1时，eq \f(3π,4ω)＋eq \f(π,ω)≥2π，即ω≤eq \f(7,8).
综上，eq \f(3,4)≤ω≤eq \f(7,8).
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时，－eq \f(π,3)ω≤ωx≤eq \f(π,4)ω.
因函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，所以－eq \f(π,3)ω≤－eq \f(π,2)，解得ω≥eq \f(3,2).
若ω0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若∠MPN＝60°，则该函数的最小正周期是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由P是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与P相邻的两个最高点，知|MP|＝|NP|，
又∠MPN＝60°，所以△MPN为等边三角形.
由P(eq \f(3,2)，－eq \f(3\r(3),2))，得|MN|＝eq \f(2×\f(3\r(3),2),\r(3))×2＝6.
∴该函数的最小正周期T＝6.
答案 D
4.(2018·天津卷)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度，所得图象对应的函数( )
A.在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增
B.在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))上单调递减
C.在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增
D.在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,10)))，将其图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象.由2kπ－eq \f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(π,4)≤x≤kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.令k＝0，可知函数y＝sin 2x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增.
答案 A
5.(2019·张家界模拟)将函数f(x)＝eq \r(3)sin 2x－cs 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－x))，则实数t的最小值为( )
A.eq \f(5π,24) B.eq \f(7π,24) C.eq \f(5π,12) D.eq \f(7π,12)
解析 由题意得，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
则g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2t－\f(π,6)))，
从而2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2t－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－x))＋2t－\f(π,6)))＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，
所以当2t－eq \f(π,6)＝－2t＋π＋2kπ(k∈Z)时，即t＝eq \f(7π,24)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，实数tmin＝eq \f(7,24)π.
答案 B
二、填空题
6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.
eq \(―————————―→,\s\up10(横坐标伸长到),\s\d8(原来的2倍))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))).
答案 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10)))
7.(2018·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0