高考数学(理数)一轮复习教案:5.6《函数y=Asin(ωx+)的图象和性质》(含解析)
展开5.6 函数y=Asin(ωx+)的图象和性质
典例精析
题型一 “五点法”作函数图象
【例1】设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相;
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;
(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到.
【解析】(1)f(x)=sin ωx+cos ωx=2(sin ωx+cos ωx)=2sin(ωx+),
又因为T=π,所以=π,即ω=2,所以f(x)=2sin(2x+),
所以函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的振幅为2,初相为.
(2)列出下表,并描点画出图象如图所示.
[来源:..]
(3)把y=sin x图象上的所有点向左平移个单位,得到y=sin(x+)的图象,再把
y=sin(x+)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin(2x+)的图象,然后把y=sin(2x+)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin(2x+)的图象.
【点拨】用“五点法”作图,先将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)形式,再令ωx+φ=0,,π,,2π求出相应的x值及相应的y值,就可以得到函数图象上一个周期内的五个点,用平滑的曲线连接五个点,再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.[来源:..]
【变式训练1】函数
的图象如图所示,则( )
A.k=,ω=,φ=
B.k=,ω=,φ=
C.k=,ω=2,φ=
D.k=-2,ω=,φ=
【解析】本题的函数是一个分段函数,其中一个是一次函数,其图象是一条直线,由图象可判断该直线的斜率k=.另一个函数是三角函数,三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定,由图象可知函数的周期为T=4×(-)=4π,故ω=.将点(,0)代入解析式y=2sin(x+φ),得×+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.结合各选项可知,选项A正确.[来源:..]
题型二 三角函数的单调性与值域
【例2】已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωxsin(ωx+)+2cos2ωx,x∈R(ω>0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值;
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
【解析】(1)f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx+=sin(2ωx+)+.
令2ωx+=,将x=代入可得ω=1.
(2)由(1)得f(x)=sin(2x+)+,经过题设的变化得到函数g(x)=sin(x-)+,
当x=4kπ+π,k∈Z时,函数g(x)取得最大值.
令2kπ+≤x-≤2kπ+π,
即[4kπ+,4kπ+π](k∈Z)为函数的单调递减区间.
【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.
【变式训练2】若将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(,0)对称,则|φ|的最小值是( )
A. B. C. D.[来源:..数理化网]
【解析】将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移个单位后得到y=2sin[3(x-)+φ]=2sin(3x-+φ)的图象.
因为该函数的图象关于点(,0)对称,所以2sin(3×-+φ)=2sin(+φ)=0,
故有+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z).
当k=0时,|φ|取得最小值,故选A.
题型三 三角函数的综合应用
【例3】已知函数y=f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).
(1)求φ的值;
(2)求f(1)+f(2)+…+f(2 008).
【解析】(1)y=Asin2(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ),
因为y=f(x)的最大值为2,又A>0,
所以+=2,所以A=2,
又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω>0,
所以×=2,所以ω=.
所以f(x)=-cos(x+2φ)=1-cos(x+2φ),
因为y=f(x)过点(1,2),所以cos(+2φ)=-1.
所以+2φ=2kπ+π(k∈Z),
解得φ=kπ+(k∈Z),
又因为0<φ<,所以φ=.
(2)方法一:因为φ=,
所以y=1-cos(x+)=1+sin x,[来源:....]
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4,
又因为y=f(x)的周期为4,2 008=4×502.
所以f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.
方法二:因为f(x)=2sin2(x+φ),
所以f(1)+f(3)=2sin2(+φ)+2sin2(+φ)=2,
f(2)+f(4)=2sin2(+φ)+2sin2(π+φ)=2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,
又因为y=f(x)的周期为4,2 008=4×502.
所以f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.
【点拨】函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ,可得x=,两相邻对称轴间的距离为周期的一半,解决该类问题可画出相应的三角函数的图象,借助数形结合的思想解决.
【变式训练3】已知函数f(x)=Acos2ωx+2(A>0,ω>0)的最大值为6,其相邻两条对称轴间的距离为4,则f(2)+f(4)+f(6)+…+f(20)= .
【解析】f(x)=Acos2ωx+2=A×+2=++2,则由题意知A+2=6,=8,所以A=4,ω=,所以f(x)=2cos x+4,所以f(2)=4,f(4)=2,f(6)=4,f(8)=6,f(10)=4,…观察周期性规律可知f(2)+f(4)+…+f(20)=2×(4+2+4+6)+4+2=38.
总结提高
1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象,关键是五个点的选取,一般令ωx+φ=0,,π,,2π,即可得到作图所需的五个点的坐标,同时,若要求画出给定区间上的函数图象时,应适当调整ωx+φ的取值,以便列表时能使x在给定的区间内取值.
2.在图象变换时,要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后,图象平移的长度单位是不同的,这是因为变换总是对字母x本身而言的,无论沿x轴平移还是伸缩,变化的总是x.
3.在解决y=Asin(ωx+φ)的有关性质时,应将ωx+φ视为一个整体x后再与基本函数
y=sin x的性质对应求解.
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