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    高考数学(理数)一轮复习教案:5.6《函数y=Asin(ωx+)的图象和性质》(含解析)
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    高考数学(理数)一轮复习教案:5.6《函数y=Asin(ωx+)的图象和性质》(含解析)

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    这是一份高考数学(理数)一轮复习教案:5.6《函数y=Asin(ωx+)的图象和性质》(含解析),共4页。教案主要包含了变式训练1,变式训练2,变式训练3等内容,欢迎下载使用。

     5.6 函数yAsin(ωx)的图象和性质

     

    典例精析

    题型一 五点法作函数图象

    【例1】设函数f(x)sin ωxcos ωx(ω0)的周期为π.

    (1)求它的振幅、初相;

    (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;

    (3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换得到.

    【解析】(1)f(x)sin ωxcos ωx2(sin ωxcos ωx)2sin(ωx)

    又因为Tπ,所以π,即ω2,所以f(x)2sin(2x)

    所以函数f(x)sin ωxcos ωx(ω0)的振幅为2,初相为.

    (2)列出下表,并描点画出图象如图所示.

    [来源:..]

      (3)ysin x图象上的所有点向左平移个单位,得到ysin(x)的图象,再把

    ysin(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到ysin(2x)的图象,然后把ysin(2x)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2(横坐标不变),即可得到y2sin(2x)的图象.

    【点拨】用五点法作图,先将原函数化为yAsin(ωxφ)(A0ω0)形式,再令ωxφ0π求出相应的x值及相应的y值,就可以得到函数图象上一个周期内的五个点,用平滑的曲线连接五个点,再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.[来源:..]


    【变式训练1】函数

     

    的图象如图所示,则(  )

    A.kωφ

    B.kωφ

    C.kω2φ

    D.k=-2ωφ

    【解析】本题的函数是一个分段函数,其中一个是一次函数,其图象是一条直线,由图象可判断该直线的斜率k.另一个函数是三角函数,三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定,由图象可知函数的周期为T4×(),故ω.将点(0)代入解析式y2sin(xφ),得×φkZ,所以φkZ.结合各选项可知,选项A正确.[来源:..]

    题型二 三角函数的单调性与值域

    【例2】已知函数f(x)sin2ωxsin ωxsin(ωx)2cos2ωxxR(ω0)y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

    (1)ω的值;

    (2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间.

    【解析】(1)f(x)sin 2ωxcos 2ωxsin(2ωx).

    2ωx,将x代入可得ω1.

    (2)(1)f(x)sin(2x),经过题设的变化得到函数g(x)sin(x)

    x4kππkZ时,函数g(x)取得最大值.

    2kπx≤2kππ

    [4kπ4kππ](kZ)为函数的单调递减区间.

    【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.

    【变式训练2】若将函数y2sin(3xφ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(0)对称,则|φ|的最小值是(  )

    A.     B.     C.     D.[来源:..数理化网]

    【解析】将函数y2sin(3xφ)的图象向右平移个单位后得到y2sin[3(x)φ]2sin(3xφ)的图象.

    因为该函数的图象关于点(0)对称,所以2sin(3×φ)2sin(φ)0

    故有φkπ(kZ),解得φ(kZ).

    k0时,|φ|取得最小值,故选A.

    题型三 三角函数的综合应用

    【例3】已知函数yf(x)Asin2(ωxφ)(A0ω0,0φ)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).

    (1)φ的值;

    (2)f(1)f(2)f(2 008).

    【解析】(1)yAsin2(ωxφ)cos(2ωx2φ)

    因为yf(x)的最大值为2,又A0

     所以2,所以A2

    又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2ω0

    所以×2,所以ω.

    所以f(x)cos(x2φ)1cos(x2φ)

    因为yf(x)过点(1,2),所以cos(2φ)=-1.

    所以2kππ(kZ)

    解得φ(kZ)

    又因为0φ,所以φ.

    (2)方法一:因为φ

    所以y1cos(x)1sin x[来源:....]

    所以f(1)f(2)f(3)f(4)21014

    又因为yf(x)的周期为4,2 0084×502.

    所以f(1)f(2)f(2 008)4×5022 008.

    方法二:因为f(x)2sin2(xφ)

    所以f(1)f(3)2sin2(φ)2sin2(φ)2

    f(2)f(4)2sin2(φ)2sin2(πφ)2

    所以f(1)f(2)f(3)f(4)4

    又因为yf(x)的周期为4,2 0084×502.

    所以f(1)f(2)f(2 008)4×5022 008.

    【点拨】函数yAcos(ωxφ)的对称轴由ωxφ,可得x,两相邻对称轴间的距离为周期的一半,解决该类问题可画出相应的三角函数的图象,借助数形结合的思想解决.

    【变式训练3】已知函数f(x)Acos2ωx2(A0ω0)的最大值为6,其相邻两条对称轴间的距离为4,则f(2)f(4)f(6)f(20)=    .

    【解析】f(x)Acos2ωx222,则由题意知A268,所以A4ω,所以f(x)2cos x4,所以f(2)4f(4)2f(6)4f(8)6f(10)4观察周期性规律可知f(2)f(4)f(20)2×(4246)4238.

    总结提高

    1.五点法yAsin(ωxφ)的图象,关键是五个点的选取,一般令ωxφ0π,即可得到作图所需的五个点的坐标,同时,若要求画出给定区间上的函数图象时,应适当调整ωxφ的取值,以便列表时能使x在给定的区间内取值.

    2.在图象变换时,要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后,图象平移的长度单位是不同的,这是因为变换总是对字母x本身而言的,无论沿x轴平移还是伸缩,变化的总是x.

    3.在解决yAsin(ωxφ)的有关性质时,应将ωxφ视为一个整体x后再与基本函数

    ysin x的性质对应求解.

     

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