数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数第1课时导学案及答案

     2.4  二次函数与一元二次方程

第1课时 图形面积的最大值

学习目标:

　　掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．

学习重点:

本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．

学习难点:

由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．

学习过程:

一、例题及练习：

例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?

练习

1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？

2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？

3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．

4.练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？

二、课后练习：

1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．

（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？

（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？

（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？

2．在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是                                                        ，自变量x的取值范围是                                                        ．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是                                          ，最小值是                                                        ，这个函数图象有何特点？

3．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？

4．把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？

5．周长为16cm的矩形的最大面积为       ，此时矩形的边长为       ，实际上此时矩形是                                          ．

6．当n=    时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．

7．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是         ．

8．如果一条抛物线与抛物线y=－x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是                                                                      ．

9．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为          ．

10．将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（      ）

A．y=3（x＋2）2＋1      B．y=3（x－2）2－1

C．y=3（x＋2）2－5      D．y=3（x－2）2－2

11．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（      ）

A．（－1，1）  B．（1，－1）  C．（－1，－1）  D．（1，1）

12．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在（      ）

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

13．已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交A C于F，设DF=x．

（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；

（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．

14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？