初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积第1课时教案

这是一份初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积第1课时教案，共2页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。


1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．
2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．

一、情境导入
在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？
二、合作探究
探究点一：弧长
【类型一】求弧长
在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.
解析：根据弧长公式l＝eq \f(nπr,180)，这里r＝1，n＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即l＝eq \f(120·π·1,180)＝eq \f(2,3)π.
方法总结：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝eq \f(nπR,180)，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义．
如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧eq \(BC,\s\up8(︵))的长为________cm.
解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴eq \(BC,\s\up8(︵))的长为eq \f(60×π×6,180)＝2π.
方法总结：根据弧长公式l＝eq \f(nπR,180)，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小．
【类型二】利用弧长求半径或圆心角
(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于eq \f(π,2)，则该扇形的半径是________；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是eq \f(π,3)，那么此扇形的圆心角的大小为________．
解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得eq \f(45×π×R,180)＝eq \f(π,2)，解得R＝2.
(2)根据弧长公式得eq \f(n×π×1,180)＝eq \f(π,3)，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.
方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．
【类型三】求动点运行的弧形轨迹
如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝eq \r(3)，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为eq \r(,3)，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l＝3×eq \f(120π×2,180)＋2×eq \f(90π×\r(3),180)＝4π＋eq \r(3)π.故填(4＋eq \r(3))π.
方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．
探究点二：扇形面积
【类型一】求扇形面积
一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)
解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝eq \f(nπr2,360)＝eq \f(120×32π,360)＝3π.
方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝eq \f(1,2)lr，其中l是弧长，r是半径．
【类型二】求运动形成的扇形面积
如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )
A．π B.eq \r(3)
C.eq \f(3π,4)＋eq \f(\r(3),2) D.eq \f(11π,12)＋eq \f(\r(3),4)
解析：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝eq \f(1,2)AB＝1，由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB1和扇形ACA1，∴S扇形BCB1＝eq \f(90·π·12,360)＝eq \f(π,4)，S扇形ACA1＝eq \f(90·π·（\r(3)）2,360)＝eq \f(3π,4)，∴S总＝eq \f(π,4)＋eq \f(3π,4)＝π.故选A.
【类型三】求阴影部分的面积
如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A．πcm2 B.eq \f(2,3)πcm2
C.eq \f(1,2)cm2 D.eq \f(2,3)cm2
解析：设两个半圆的交点为C，连接OC，AB，根据题意可知点C是半圆eq \(OA,\s\up8(︵))，eq \(OB,\s\up8(︵))的中点，所以eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(OC,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，所以BC＝OC＝AC，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt△AOB的面积，又OA＝OB＝1cm，即图中阴影部分的面积为eq \f(1,2)cm2，故选C.
方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．
三、板书设计
教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等.