高三数学一轮复习： 第8章 第6节 课时分层训练50

这是一份高三数学一轮复习： 第8章 第6节 课时分层训练50，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题
1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(y2,4)－x2＝1 D.y2－eq \f(x2,4)＝1
C [由于焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x.
∴eq \f(a,b)＝2，则a＝2b.C中a＝2，b＝1满足．]
2．(2015·湖南高考)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),3) B.eq \f(5,4)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
D [由双曲线的渐近线过点(3，－4)知eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(16,9).
又b2＝c2－a2，∴eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(16,9)，
即e2－1＝eq \f(16,9)，∴e2＝eq \f(25,9)，∴e＝eq \f(5,3).]
3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(y>0)
B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x>0)
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y>0)
D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(x>0)
B [由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.
所以点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x>0)．]
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(MF1,\s\up7(→))·eq \(MF2,\s\up7(→))0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为eq \f(\r(13)bc,3)，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(\r(13),2) D.eq \f(\r(13),3)
D [由题意可求得|AB|＝eq \f(2bc,a)，所以S△OAB＝eq \f(1,2)×eq \f(2bc,a)×c＝eq \f(\r(13)bc,3)，整理得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3).因此e＝eq \f(\r(13),3).]
2．(2017·天津河西区质检)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．
x2－eq \f(y2,3)＝1 [由双曲线的渐近线y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，
∴eq \f(|2b|,\r(a2＋b2))＝eq \r(3)，则b2＝3a2.①
又双曲线的一个焦点为F(2,0)，
∴a2＋b2＝4，②
联立①②，解得a2＝1，b2＝3.
故所求双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.]
3．已知椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))>2(其中O为原点)，求k的取值范围.
【导学号：01772322】
[解] (1)设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.4分
故C2的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.5分
(2)将y＝kx＋eq \r(2)代入eq \f(x2,3)－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6eq \r(2)kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝－6\r(2)k2＋361－3k2＝361－k2>0，))
∴k2≠eq \f(1,3)且k22，得x1x2＋y1y2>2，
∴eq \f(3k2＋7,3k2－1)>2，即eq \f(－3k2＋9,3k2－1)>0，
解得eq \f(1,3)