高考数学一轮复习讲义第8章第2节空间几何体的表面积及体积

这是一份高考数学一轮复习讲义第8章第2节空间几何体的表面积及体积，共15页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。


1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
【知识拓展】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )
(3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ )
(5)长方体既有外接球又有内切球．( × )
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2 cm.
2．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90 cm2B．129 cm2
C．132 cm2D．138 cm2
答案 D
解析 该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm，5 cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋(5×3＋4×3＋2×eq \f(1,2)×4×3)＝99＋39＝138(cm2)．
3．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )
A．12π B.eq \f(32,3)π
C．8π D．4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2eq \r(3)即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3eq \f(1,3)寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )
A．1丈3尺B．5丈4尺
C．9丈2尺D．48丈6尺
答案 B
解析 设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.
5．(2016·成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．
答案 1∶1
解析 由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥＝eq \f(1,3)×π×23＝eq \f(8,3)π，V半球＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×23＝eq \f(16,3)π，所以V剩余＝V半球－V圆锥＝eq \f(8,3)π，故剩余部分与挖去部分的体积之比为1∶1.
题型一 求空间几何体的表面积
例1 (1)(2017·淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋eq \r(3)B．18＋eq \r(3)
C．21 D．18
(2)一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
答案 (1)A (2)12
解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为
6×(4－eq \f(1,2))＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝21＋eq \r(3).故选A.
(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，
∴h＝1，
∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，
∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．
答案 26
解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋eq \f(1,2)×2π×1＝26.
题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)π B.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)π
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π D．1＋eq \f(\r(2),6)π
答案 C
解析 由三视图知，半球的半径R＝eq \f(\r(2),2)，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V＝eq \f(1,3)×1×1×1＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π，故选C.
命题点2 求简单几何体的体积
例3 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
答案 eq \r(7)
解析 设新的底面半径为r，由题意得eq \f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq \f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq \r(7).
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
(2)如图，在多面体ABCDEF中，
已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A.eq \f(\r(2),3)B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4,3)D.eq \f(3,2)
答案 (1)eq \f(\r(3),3) (2)A
解析 (1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1)×1＝eq \f(\r(3),3).
(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，
CH，容易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)，AG
＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，
∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).故选A.
题型三 与球有关的切、接问题
例4 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A.eq \f(3\r(17),2)B．2eq \r(10)
C.eq \f(13,2)D．3eq \r(10)
答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，
OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq \r(\f(5,2)2＋62)＝eq \f(13,2).
引申探究
1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4eq \r(3)，
从而V外接球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(2eq \r(3))3＝32eq \r(3)π，
V内切球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).
2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体的表面积为S1＝4·eq \f(\r(3),4)·a2＝eq \r(3)a2，其内切球半径r为正四面体高的eq \f(1,4)，即r＝eq \f(1,4)·eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，则eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq \f(6\r(3),π).
3．已知侧棱和底面边长都是3eq \r(2)的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？
解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3eq \r(2)×eq \r(2)＝6，高为eq \r(3\r(2)2－\f(1,2)×62)＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.eq \f(9π,2) C．6π D.eq \f(32π,3)
答案 B
解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为eq \f(9π,2).
15．巧用补形法解决立体几何问题
典例 (2016·青岛模拟)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．
思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等．
解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝eq \f(1,2)V三棱柱＝eq \f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq \f(1,2)×24×8＝96.
答案 96
1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．4＋eq \f(π,2)B．4＋eq \f(3π,2) C．4＋eq \f(5π,2) D．4＋π
答案 C
解析 由题意可知，几何体的体积为圆柱的体积加长方体的体积再减去与长方体等高的圆柱的体积的eq \f(1,2)，即π·12·3＋2·2·1－eq \f(1,2)π·12·1＝4＋eq \f(5π,2).
2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )
A.eq \f(4＋π\r(3),3)B.eq \f(8＋π\r(3),6)
C.eq \f(8＋π\r(3),3)D．(4＋π)eq \r(3)
答案 B
解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为eq \r(3).则V＝eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π＋4))·eq \r(3)＝eq \f(8＋π\r(3),6).故选B.
3．(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2π,3)B.eq \f(4π,3)C.eq \f(5π,3)D．2π
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq \f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq \f(1,3)π×12×1＝eq \f(5π,3)，故选C.
4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋eq \r(3)B．2＋eq \r(3)
C．1＋2eq \r(2)D．2eq \r(2)
答案 B
解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S表＝2×eq \f(1,2)×2×1＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝2＋eq \r(3)，故选B.
5．(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )
A.eq \f(20,3)π B．6π C.eq \f(10,3)π D.eq \f(16,3)π
答案 C
解析 该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝eq \f(1,2)×π×4×1＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×π×4×2＝eq \f(10,3)π.故选C.
6．(2016·福建三明一中第二次月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )
A.eq \r(2)B.eq \f(\r(2),2)C．2 D．1
答案 A
解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为eq \r(2).∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为eq \r(2)×1＝eq \r(2).故选A.
7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为eq \r(3)，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为________．
答案 eq \f(5,6)π
解析 由题意，图中弧eq \x\t(EF)为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝∠BAF＝eq \f(π,6)，所以∠EAF＝eq \f(π,6)，由弧长公式知弧eq \x\t(EF)的长为2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3).弧eq \x\t(FG)为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝eq \r(3)，球的半径R＝2，所以小圆的半径r＝eq \r(R2－d2)＝1，又∠GBF＝eq \f(π,2)，所以弧eq \x\t(FG)的长为1×eq \f(π,2)＝eq \f(π,2).故两段弧长之和为eq \f(5π,6).
8．(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD满足AB＝CD＝eq \r(6)，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．
答案 7π
解析 (图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝eq \r(6)，∴AE＝eq \f(\r(10),2).同理BE＝eq \f(\r(10),2).取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(6),2)，AE＝eq \f(\r(10),2)，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝eq \f(1,2).在Rt△OFA中，OA＝eq \f(\r(7),2).∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是eq \f(\r(7),2)，∴外接球的表面积是7π.
9. (2016·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.则三棱锥P－ABC体积的最大值为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 VP－ABC＝eq \f(1,3)PO·S△ABC，当△ABC的面积最大时，三棱锥P－ABC体积达到最大值．当CO⊥AB时，△ABC的面积最大，最大值为eq \f(1,2)×2×1＝1，此时VP－ABC＝eq \f(1,3)PO·S△ABC＝eq \f(1,3).
10．(2016·浙江)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 设PD＝DA＝x，
在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝eq \r(AB2＋BC2－2·AB·BC·cs∠ABC)
＝eq \r(4＋4－2×2×2×cs 120°)＝2eq \r(3)，
∴CD＝2eq \r(3)－x，且∠ACB＝eq \f(1,2)(180°－120°)＝30°，
∴S△BCD＝eq \f(1,2)BC·DC·sin∠ACB＝eq \f(1,2)×2×(2eq \r(3)－x)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(2eq \r(3)－x)．
要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.
则V四面体PBCD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)(2eq \r(3)－x)x＝eq \f(1,6)[－(x－eq \r(3))2＋3]，由于0＜x＜2eq \r(3)，
故当x＝eq \r(3)时，V四面体PBCD的最大值为eq \f(1,6)×3＝eq \f(1,2).
11．(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为eq \f(\r(6),3)，求该三棱锥的侧面积．
(1)证明 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.
因为BE∩BD＝B，故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
(2)解 设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq \f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq \f(x,2).
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，
可得EG＝eq \f(\r(3),2)x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝eq \f(\r(2),2)x.
由已知得，三棱锥EACD的体积
VEACD＝eq \f(1,3)·eq \f(1,2)AC·GD·BE＝eq \f(\r(6),24)x3＝eq \f(\r(6),3).
故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝eq \r(6).
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为eq \r(5).
故三棱锥EACD的侧面积为3＋2eq \r(5).
*12.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝eq \r(3).
(1)求证：DE⊥平面ADC；
(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．
(1)证明 ∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，BC∥DE.
∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，
∴BC⊥平面ADC.
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.
(2)解 ∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.
在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝eq \r(3).
在Rt△ABC中，∵AC＝x，BC＝eq \r(4－x2)(0∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)x·eq \r(4－x2)，
∴V(x)＝VE－ABC＝eq \f(\r(3),6)x·eq \r(4－x2)(0∵x2(4－x2)≤(eq \f(x2＋4－x2,2))2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝eq \r(2)时，取等号，∴x＝eq \r(2)时，体积有最大值eq \f(\r(3),3).
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3