高考数学一轮复习讲义第8章第4节直线与平面平行的性质与判定

这是一份高考数学一轮复习讲义第8章第4节直线与平面平行的性质与判定，共18页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。

1．线面平行的判定定理和性质定理
2.面面平行的判定定理和性质定理
【知识拓展】
重要结论：
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )
1．(教材改编)下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．
2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．
3．(2016·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
答案 D
解析 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
答案 平行
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，
则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH的形状是平行四边形.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明 (1)连接EC，
∵AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，
FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2eq \r(17).点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
(1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，
所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝eq \f(1,4)DB＝eq \f(1,2)OB，即K为OB的中点．
再由PO∥GK得GK＝eq \f(1,2)PO，
即G是PB的中点，且GH＝eq \f(1,2)BC＝4.
由已知可得OB＝4eq \r(2)，
PO＝eq \r(PB2－OB2)＝eq \r(68－32)＝6，
所以GK＝3.
故四边形GEFH的面积S＝eq \f(GH＋EF,2)·GK
＝eq \f(4＋8,2)×3＝18.
思维升华 判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．
证明 ∵CD∥平面EFGH，
而平面EFGH∩平面BCD＝EF，
∴CD∥EF.
同理HG∥CD，∴EF∥HG.
同理HE∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
∴CD∥EF，HE∥AB，
∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角（或补角）．
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴平行四边形EFGH为矩形．
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.
证明 如图所示，连接HD，A1B，
∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，
∴HD∥A1B，
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
思维升华 证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
(2016·许昌三校第三次考试)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
解 方法一 存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
下面给出证明：
如图，取BB1的中点F，连接DF，
则DF∥B1C1，
∵AB的中点为E，连接EF，ED，
则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF，
∴DE∥平面AB1C1.
方法二 假设在棱AB上存在点E，
使得DE∥平面AB1C1，
如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，
又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，
又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
∴EF∥AB1，
∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．
即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？
解 ∵AB∥平面EFGH，
平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.
∴AB∥FG，AB∥EH，
∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，
∴截面EFGH是平行四边形．
设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．
又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得eq \f(x,a)＝eq \f(CG,BC)，
eq \f(y,b)＝eq \f(BG,BC)，两式相加得eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即y＝eq \f(b,a)(a－x)，
∴S▱EFGH＝FG·GH·sinα
＝x·eq \f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq \f(bsinα,a)x(a－x)．
∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a为定值，
∴eq \f(bsinα,a)x(a－x)≤eq \f(absinα,4)，当且仅当x＝a－x时等号成立．
此时x＝eq \f(a,2)，y＝eq \f(b,2).
即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．
5．立体几何中的探索性问题
典例 (12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝eq \f(2,3).
(1)求四棱锥S－ABCD的体积；
(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．
规范解答
解 (1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝eq \f(2,3)，SA＝2，
∴AD＝3.[2分]
由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，
VS－ABCD＝eq \f(1,3)·SA·eq \f(1,2)·(BC＋AD)·AB
＝eq \f(1,3)×2×eq \f(1,2)×(2＋3)×2＝eq \f(10,3).[6分]
(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.[8分]
证明如下：
取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，
则EF綊eq \f(2,3)AD，BC綊eq \f(2,3)AD，
∴BC綊EF，∴CE∥BF.[10分]
又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，
∴CE∥平面SAB.[12分]
解决立体几何中的探索性问题的步骤：
第一步：写出探求的最后结论；
第二步：证明探求结论的正确性；
第三步：给出明确答案；
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
1．(2017·保定月考)有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
答案 A
解析 命题①：l可以在平面α内，不正确；命题②：直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.
2．(2016·滨州模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.
3．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案 D
解析 对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
4．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )
A．垂直B．相交不垂直
C．平行D．重合
答案 C
解析 如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.
5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
答案 ②③④
解析 当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________．
答案 ①或③
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案 Q为CC1的中点
解析 假设Q为CC1的中点．
因为P为DD1的中点，
所以QB∥PA.
连接DB，因为O是底面ABCD的中心，
所以D1B∥PO，
又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，且PA∩PO于P，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
故点Q满足条件，Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)
答案 ①③
解析 由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．
9.如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．
答案 (8,10)
解析 设eq \f(DH,DA)＝eq \f(GH,AC)＝k，∴eq \f(AH,DA)＝eq \f(EH,BD)＝1－k，
∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.
又∵0