人教版高考数学一轮复习第8章立体几何第2节空间几何体的表面积与体积学案理含解析

这是一份人教版高考数学一轮复习第8章立体几何第2节空间几何体的表面积与体积学案理含解析，共9页。学案主要包含了疑误辨析，走进教材，易错自纠等内容，欢迎下载使用。
第二节　空间几何体的表面积与体积[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，并掌握空间几何体的表面积与体积的计算方法.2.理解空间图形转化为平面图形的思想，了解柱、锥、台体的侧面展开图的特征.　　2021年高考主要考查空间几何体的表面积、体积及与球有关的切接问题，多为选择题、填空题，分值为5分.1.直观想象2.数学运算‖知识梳理‖1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝Ch′V＝Sh正棱台S侧＝(C＋C′)h′V＝(S上＋S下＋)h球S球面＝4πR2V＝πR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．►常用结论1．设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a.2．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.3．设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.4．直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求得．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　)(2)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)(3)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　　)(5)长方体既有外接球又有内切球．(　　)(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×二、走进教材2．(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D． cm答案：B3．(必修2P27例4改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为(　　)A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶3答案：B三、易错自纠4．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)A．84 cm3 B．92 cm3C．100 cm3 D．108 cm3解析：选C　由三视图可得该几何体是棱长分别为6，3，6的长方体截去一个三条侧棱两两垂直，且长度分别为3，4，4的三棱锥，所以该几何体的体积是6×6×3－××4×4×3＝108－8＝100(cm3)．5．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是(　　)A．40π2 B．64π2C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π解析：选D　当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.6.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.答案：1∶47|题组突破|1．(2019届黄冈模拟)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为(　　)A．16＋12π B．32＋12πC．24＋12π D．32＋20π解析：选A　由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2，该几何体的表面积S＝×4π×22＋π×22＋2××4＝12π＋16.2．(2018年全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12π B．12πC．8π D．10π解析：选B　由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为2.设圆柱的底面半径为r，则2r＝2，解得r＝.所以圆柱的表面积S圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π×()2＋2π××2＝4π＋8π＝12π.3.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去一个到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为(　　)A．24－3πB．24－πC．24＋πD．24＋5π解析：选B　由题意知该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分，则其表面积S＝6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π.故选B．►名师点津求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积|题组突破|4．圆柱的轴截面是正方形，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A． B．C． D．解析：选A　根据题意可知球的半径R＝1，则易得圆柱的高h＝，圆柱的底面半径r＝，所以V圆柱＝πr2h＝π××＝.故选A．5.(2019年江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是_______________．解析：因为长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，所以CC1·S四边形ABCD＝120.又E是CC1的中点，所以三棱锥E－BCD的体积VE－BCD＝EC·S△BCD＝×CC1×S四边形ABCD＝×120＝10.答案：106．(2019年全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即为×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O－EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.87．(2019年北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．解析：如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，去掉四棱柱MQD1A1－NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为43－×(2＋4)×2×4＝40.答案：40►名师点津求空间几何体体积的常见类型及思路 规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解三视图形式若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解与球有关的切接问题是立体几何中的难点，也是高考的常见题型．常见的命题角度有：(1)几何体的内切球问题；(2)几何体的外接球问题．●命题角度一　几何体的内切球问题【例1】　(1)(2019届重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为(　　)A．18 B．12C．6 D．4(2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．[解析]　(1)如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE上，E为正△ABC的中心，设内切球的半径为R，则S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝＝2.因为△OPF∽△DPE，所以＝，得DE＝2.由题意知，正三棱锥的体高落在正三角形的重心处，所以AD＝3DE＝6，AB＝AD＝12.故选B．(2)设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，故＝＝.[答案]　(1)B　(2)►名师点津处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．●命题角度二　几何体的外接球问题【例2】　(2019年全国卷Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)A．8π B．4πC．2π D．π[解析]　因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB．因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC．因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π×＝π，故选D．[答案]　D►名师点津1．把一个多面体的各个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．2．常见的几种几何体的外接球问题(1)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．(2)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．(3)如果四面体的三对对棱分别相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是四面体的外接球的球心．|跟踪训练|1．(2019届合肥市质检)已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为(　　)A．π B．C．2π D．3π解析：选C　依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形SAB边AB上的高为2，因此＝，解得r＝，所以圆锥内切球的表面积为4π×＝2π，故选C．2．(2020届石家庄摸底)已知正三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，则球O的表面积为(　　)A．25π B．20πC．16π D．30π解析：选A　如图，延长SO交球O于点D，设△ABC的外心为E，连接AE，AD，由正弦定理得2AE＝＝4，∴AE＝2，易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥S－ABC的高SE＝＝＝4，由于点A是以SD为直径的球O上一点，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球O的直径2R＝SD＝＝5，因此，球O的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝25π.故选A．【例】　(2019届沈阳市第一次质量监测)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P－ABCD的体积的最大值为(　　)A．8 B．C．16 D．[解析]　设球的半径为R，由题知4πR2＝16π，则R＝2，再设大圆内的矩形长、宽分别为x，y，由题知x2＋y2＝16，则矩形面积xy≤＝8，当且仅当x＝y时取等号，即底面为正方形时，底面面积最大．又四棱锥P－ABCD的高的最大值为2，故四棱锥P－ABCD体积的最大值为×8×2＝，故选D．[答案]　D►名师点津与空间几何体有关的最值问题，多通过在条件中把目标函数转化为函数最值问题，再通过二次函数、基本不等式或导数求最值．|跟踪训练|(2019届重庆市第一次调研)三棱锥S－ABC中，SA，SB，SC两两垂直，已知SA＝a，SB＝b，SC＝2，且2a＋b＝，则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为(　　)A． B．C．4π D．6π解析：选A　由题意，设三棱锥的外接球的半径为R，因为SA，SB，SC两两垂直，所以以SA，SB，SC为棱构造长方体，其体对角线即为三棱锥的外接球的直径．因为SA＝a，SB＝b，SC＝2，所以4R2＝a2＋b2＋4＝a2＋＋4＝5(a－1)2＋，所以当a＝1时，(4R2)min＝，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为，故选A．