高中数学人教版新课标A必修11.1.1集合的含义与表示第1课时习题

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1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.
3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．
知识点一 集合的概念
元素与集合的概念
(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
知识点二 元素与集合的关系
思考 1是整数吗？eq \f(1,2)是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？
答案 1是整数；eq \f(1,2)不是整数．没有．
梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉.
知识点三 元素的三个特性
思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个界限清楚的群体？某班身高高于175厘米的男生呢？
答案 某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175厘米的男生能构成一个界限清楚的群体，因为标准确定．
梳理 元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．
知识点四 常用数集及表示符号
1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)
2．0∈N但0∉N*.(√)
3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.(×)
类型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)eq \r(3)的近似值的全体．
考点 集合的概念
题点 集合的概念
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“eq \r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．平面直角坐标系内第一象限的一些点
D．所有小的正数
考点 集合的概念
题点 集合的概念
答案 B
解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二 元素与集合的关系
命题角度1 判定元素与集合的关系
例2 给出下列关系：
①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(2)∉Q；③|－3|∉N；④|－eq \r(3)|∈Q；⑤0∉N，
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 B
解析 eq \f(1,2)是实数，①对；eq \r(2)不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；|－eq \r(3)|＝eq \r(3)是无理数，④错；
0是自然数，⑤错．故选B.
反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空．
－eq \r(2)________R；－3________Q；
－1________N；π________Z.
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 ∈ ∈ ∉ ∉
命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理
例3 集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
考点 元素与集合的关系
题点 伴随元素问题
答案 0,1,2
解析 ∵x∈N，eq \f(6,3－x)∈N，∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3)＝2∈N；
当x＝1时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3－1)＝3∈N；
当x＝2时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3－2)＝6∈N.
∴A中元素为0,1,2.
反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则( )
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
答案 D
解析 ∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4类型三 元素的三个特性的应用
例4 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使A＝B.
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 (1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝{0,5,10}≠B.
若2a－1＝0，则a＝eq \f(1,2)，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)，\f(5,4)))≠B.
故不存在这样的实数a，x，使A＝B.
反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4 已知集合M中含有三个元素：2，a，b，集合N中含有三个元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值．
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 方法一 根据集合中元素的互异性，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))
再根据集合中元素的互异性，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))
方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2a＋b2，,a·b＝2a·b2，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋bb－1＝0， ①,ab·2b－1＝0， ②))
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝eq \f(1,2).
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝eq \f(1,2)时，由①得a＝eq \f(1,4).
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．清华大学2018年入学的全体学生
考点 集合的概念
题点 集合的概念
答案 D
2．下面说法正确的是( )
A．所有在N中的元素都在N*中
B．所有不在N*中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 C
3．由“bk”中的字母构成的集合中元素个数为________．
考点 集合中元素的特征
题点 集合中元素的个数
答案 3
4．下列结论不正确的是________．(填序号)
①0∈N; ②eq \f(1,3)∈Q; ③0∉Q; ④－1∈Z.
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 ③
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 由元素互异性知m≠0，m2－3m＋2≠0.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A中的元素为0,3,2，符合题意．
故实数m＝2.
1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
一、选择题
1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )
A．0∈A B．a＝A
C．a∈A D．a∉A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 ∵A中只有一个元素a且a≠0，
∴0∉A，选项A错．
∵a为元素，A为集合，故B错误．
由已知选C.
3．下列结论中，不正确的是( )
A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq \r(3,a)∈R
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 A
解析 A不对．反例：0∈N，－0∈N.
4．已知x，y为非零实数，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∉M B．1∈M
C．－2∉M D．2∈M
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 D
解析 ①当x，y为正数时，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)的值为0；③当x，y均为负数时，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)的值为－2，
所以集合M中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.
5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点 集合中元素的特征
题点 集合中参数的取值范围
答案 D
解析 由元素的互异性知a，b，c均不相等．
6．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－1∉A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34∉A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A；
令3k－1＝－11，解得k＝－eq \f(10,3)∉Z，∴－11∉A；
∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.
7．由实数x，－x，|x|，eq \r(x2)，－eq \r(3,x3)所组成的集合，最多含( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
考点 集合中元素的特征
题点 集合中元素的个数
答案 A
解析 由于|x|＝±x，eq \r(x2)＝|x|，－eq \r(3,x3)＝－x，
并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．
8．由不超过5的实数组成集合A，a＝eq \r(2)＋eq \r(3)，则( )
A．a∈A B．a2∈A
C.eq \f(1,a)∉A D．a＋1∉A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 A
解析 a＝eq \r(2)＋eq \r(3)a＋1a2＝(eq \r(2))2＋2eq \r(2)·eq \r(3)＋(eq \r(3))2＝5＋2eq \r(6)>5.∴a2∉A.
eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq \f(\r(3)－\r(2),\r(2)＋\r(3)\r(3)－\r(2))＝eq \r(3)－eq \r(2)<5.
∴eq \f(1,a)∈A.
故选A.
二、填空题
9．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②eq \r(3)D∈/Q；③0∈N*；④|－4|D∈/N*.
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 2
解析 ∵π是实数，eq \r(3)是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
考点 集合中元素的特征
题点 集合中参数的取值范围
答案 x≠0,1,2，eq \f(1±\r(5),2)
解析 由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，eq \f(1±\r(5),2).
11．已知a，b∈R，集合A中含有a，eq \f(b,a)，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若A＝B，则a＋b＝____.
考点 集合中元素的特征
题点 集合中参数的取值范围
答案 －1
解析 ∵A＝B,0∈B，∴0∈A.
又a≠0，∴eq \f(b,a)＝0，则b＝0.∴B＝{a，a2,0}．
∵1∈B，a≠1，∴a2＝1，a＝－1或1(舍)．
由元素的互异性知，a＝－1，∴a＋b＝－1.
三、解答题
12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－eq \f(3,2).
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．
当a＝－eq \f(3,2)时，a－2＝－eq \f(7,2)，2a2＋5a＝－3，满足题意．
∴实数a的值为－eq \f(3,2).
13．数集A满足条件：若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
考点 元素与集合的关系
题点 伴随元素问题
解 (1)2∈A，则eq \f(1,1－2)∈A，
即－1∈A，则eq \f(1,1＋1)∈A，即eq \f(1,2)∈A，则eq \f(1,1－\f(1,2))∈A，
即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，eq \f(1,2).
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－eq \f(1,2)，eq \f(2,3).
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，eq \f(1,1－a)，eq \f(a－1,a)，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有eq \f(1,1－a)∈A且eq \f(1,1－a)≠1，
所以又有eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(a－1,a)∈A且eq \f(a－1,a)≠1，
进而有eq \f(1,1－\f(a－1,a))＝a∈A.
又因为a≠eq \f(1,1－a)(因为若a＝eq \f(1,1－a)，则a2－a＋1＝0，
而方程a2－a＋1＝0无解)，
故eq \f(1,1－a)≠eq \f(a－1,a)，所以A中只能有3个元素，
它们分别是a，eq \f(1,1－a)，eq \f(a－1,a)，且三个数的乘积为－1.
四、探究与拓展
14．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．
考点 元素与集合的关系
题点 根据新定义求集合
答案 1,2
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,b＋c＝2，,c＋a＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，,c＝2，))
∴集合A＝{0,1,2}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．
15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：(1)3∈A；
(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
证明 (1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，
得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.
(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，
使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．
①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，
所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．
②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，
所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．
所以假设不成立．
综上，4k－2∉A.名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R