人教版数学八年级下册期末专题复习三　平行四边形第2课时 构造三角形中位线的常用方法

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人教版数学八年级下册期末专题复习三　平行四边形第2课时  构造三角形中位线的常用方法1． 如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．     2． 如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点．求DE的长．    3． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．求证ME＝CF.4．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．           5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.求证AN＝AC.     
参考答案1． 如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证PM＝PN；证明：如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM＝CD，PN＝AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°.∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC.∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)求∠MPN的度数．解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.由三角形中位线定理可得PM∥CD，PN∥AE，∴四边形PFHG为平行四边形．∴∠MPN＝∠FHG＝120°.2． 如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点．求DE的长．解：如图，延长BD交AC于点F.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF.又AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.∵E为BC的中点，BD＝FD，∴DE是△BCF的中位线．∴DE＝CF＝×4＝2.3． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．求证ME＝CF.证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN，则ME＝AN. ∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN. ∴BF＝BN. ∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°. ∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中，∴△BCF≌△BAN(SAS)．∴CF＝AN. ∴ME＝AN＝CF.4．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．解：如图，取BD的中点P，连接PM，PN.∵M是AD的中点，P是BD的中点，∴PM是△ABD的中位线，∴PM＝AB＝5.同理得PN＝CD＝4.在△PMN中，∵PM－PN<MN<PM＋PN，∴1<MN<9.5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.求证AN＝AC.证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵H为NC的中点，∴DH∥BN.又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．∴HE＝PD.∵P为AD的中点，∴AP＝PD. ∴AP＝EH.又∵HE∥AD，∴∠PAN＝∠EHN，∠APN＝∠HEN.∴△APN≌△HEN(ASA)．∴AN＝NH.∴AN＝NH＝HC. ∴AN＝AC.