2021届高考数学题型模块练之解答题（6）解析几何

这是一份2021届高考数学题型模块练之解答题（6）解析几何，共9页。试卷主要包含了已知椭圆过点,且离心率为，已知三点,曲线上任意一点满足等内容，欢迎下载使用。
 2021届高考数学题型模块练之解答题（6）解析几何1.已知椭圆过点,且离心率为.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，试证明：直线l过定点并求此定点.2.已知椭圆过点过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于两点.(1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.3.如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为,一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且它的实轴长等于虚轴长,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为和,其中在x轴的同一侧.(1)求椭圆和双曲线的标准方程.(2)是否存在题设中的点P,使得?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.4.过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点.(1)若直线的倾斜角为45°,求线段的长.(2)不过点的动直线交抛物线于两点,且以为直径的圆经过点,求动直线恒过的定点的坐标.5.已知三点,曲线上任意一点满足.(1)求曲线的方程;(2)若是曲线上分别位于点两边的任意两点,过分别作曲线的切线交于点,过点作曲线的切线分别交直线于两点.证明:与的面积之比为定值.6.已知是抛物线的焦点,点在轴上,为坐标原点,且满足,经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)直线与抛物线交于两点,若求点到直线的最大距离.


          答案以及解析1.答案：(1)设椭圆方程为，由题意知 , 且离心率，得. 所以椭圆的方程为 (2) 由题意设，设l方程为，由知∴，由题意，∴ 同理由知 ∵，∴ [1]联立得∴需 [2]且有 [3][3]代入[1]得，∴，由题意，∴ (满足[2])得l方程为,过定点,即P为定点.2.答案：(1)证明:∵椭圆经过点, 当且仅当,即时,等号成立, 此时椭圆的离心率(2)解:∵椭圆的焦距为2,,又当直线的斜率不存在时,由对称性,设,在椭圆上,到直线的距离.当直线的斜率存在时,设的方程为,由得,设,则,即,到直线的距离综上,到直线的距离为定值.且定值为故存在定圆使得圆与直线总相切.3.答案：(1)设椭圆的标准方程为,半焦距为c.由题意,知椭圆的离心率为,得.∵,∴,∴,∴椭圆的标准方程为,∴椭圆的焦点坐标为.∵双曲线为等轴双曲线,且顶点是椭圆的焦点,∴该双曲线的标准方程为.(2)假设存在满足题意的点P.设,则,∵点P在双曲线上,∴.设的方程为,则的方程为,设,由,得,故,∴,同理,由题知,∴.∵,∴,又,∴,∴,即存在点满足题意.4.答案：(1)因为点在抛物线上,所以,解得,所以抛物线的方程为.设.因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1.又,所以直线的方程为,即.联立得方程组消去并整理,得.由根与系数的关系,得,解得.将代入,得,所以点的坐标为.由弦长公式,得.(2)方法一 当直线的斜率不存在时,直线与抛物线有一个交点,不符合题意.当直线的斜率存在时,设动直线的方程为.联立得方程组消去并整理,得.由根与系数的关系,得.所以.由为圆的直径,且为圆上一点知,所以,所以,即,所以.所以或,所以或.当时,动直线的方程为,经过点,不符合题意.当时,动直线的方程为,经过定点.综上所述,动直线恒过的定点的坐标为.方法二 设.因为以为直径的圆经过点,所以.又,所以.因为,所以.整理,得,所以或,即或.因为直线经过点,所以直线的方程为.①当时,,所以.令,则；令,则.联立得方程组解得即定点的坐标为.此时点与点重合,不符合题意,舍去.②当时,,所以.令,则；令,则.联立得方程组解得即定点的坐标为.综上所述,动直线恒过的定点的坐标为.5.答案：(1)由,化简得曲线的方程:.(2)显然直线存在斜率,设直线的方程为代入抛物线,得到,故.易知抛物线在点处的切线方程分别为,联立组成方程组,得到点的坐标,即;抛物线在点处的切线l的方程为,将其分别与切线的方程联立组成方程组,可求得点的横坐标分别为,则,又,点到的距离点到的距离,,所以与的面积之比为定值. 6.答案：(1)易知点,又,所以点,则直线的方程为. 联立,解得或,所以, 故抛物线的方程为.(2)设的方程为.联立,有, 设点,则,所以. 所以解得.所以直线的方程为,恒过点.又点,故当直线与轴垂直时,点到直线的最大距离为4.