2021届高考数学题型模块练之解答题（3）立体几何

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 2021届高考数学题型模块练之解答题（3）立体几何1.在四棱锥中，底面ABCD，，，BD平分，.
 （1）证明：；（2）求二面角的余弦值.2.已知四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，，M为BC的中点，且三棱锥的体积为.
 （1）求证：平面平面PMD；（2）设点E为四棱锥外接球的球心，求二面角的大小.3.如图，在四棱锥中，平面平面BCFE,,
,,.若点D为线段AC上一点，且满足平面BDF.
（1）求证：平面平面ABC；
（2）求二面角的正弦值.
 4.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，.（1）求证：；（2）若点E为棱AB的中点，且平面与平面PDE所成锐二面角的余弦值为，求棱PA的长.5.如图，三棱柱中，，，，.（1）求证：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值.6.如图，已知三棱台，平面平面，和均为a等边三角形，，O为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.


              答案以及解析1.答案：(1)【证明】取DC的中点E，连接BE，则，
又，所以四边形ABED为菱形，
所以，
所以，即.
因为底面，平面ABCD，所以.
因为，所以平面PBD，
又平面PBD，所以.

(2)【解】如图，取AB的中点F，连接DF.
因为，平分，所以.
因为，所以是等边三角形，所以，
所以，即.
因为底面ABCD，所以，.
故以D为坐标原点，以DF，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨令，
则，，，，
所以，，.
设平面PAB的法向量为，
则
取，得.
设平面PBC的法向量为，
则
取，得.
故.
由图可知，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.2.答案：（1）【证明】设，则由三棱锥的体积为及三棱锥的体积公式可得，，解得，即.
所以为正三角形，故.
又四边形ABCD为平行四边形，所以，
而，则在中，由余弦定理可得，
则，所以.
因为底面ABCD，所以.
又平面PMD，所以平面平面PMD.（2）【解】首先确定四棱锥外接球球心点E的位置.
如图，连接AC，则在中，由，及余弦定理得，则，所以.
又底面ABCD，所以.
因此，
则为直角三角形.
由题意知为直角三角形，且由（1）知，为直角三角形，于是，取棱PD的中点F，连接FA，FM，FC，则有，
即四棱锥的外接球的球心E即为棱PD的中点F.
取BM的中点G，连接AG，则.
以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.由E为棱PD的中点，得.

设平面PAM的法向量为，
则取，得，
所以平面PAM的一个法向量为.
设平面AME的法向厘为，
则取，得，，
所以平面AME的一个法向量为.
则.
由图易知二面角为锐二面角，故二面角的大小为.3.答案：（1）因为平面平面BCFE，平面平面，，
所以平面ABE.
又平面ABE，所以.
因为，所以.
又，，
所以平面.
又平面ABC，所以平面平面ABC.
（2）以点E为坐标原点，在平面ABE内，过点E作BE的垂线，以该垂线为x轴，EB，
EF所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，.
设平面BDF的法向量为.
因为平面，平面，所以.
由，得，
令，得.
设平面ABF的法向量为.
由，得，
令，得.
所以.
设二面角的大小为，则，
故二面角的正弦值为.
 4.答案：（1）因为底面ABCD，平面ABCD，
所以
连接AC，由，，得，
因为，，
所以，所以.
又，，平面PAC，
所以平面PAC.
因为平面PAC，
所以.
（2）以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，.
设，则，
所以，，.
设是平面PBC的法向量，则即
取，得.
设平面PDE的法向量为，则即
取，得.
所以，
解得或，所以或.
 5.答案：（1）由题意知，在中，，，
由余弦定理可得，
所以，所以.
又，，，平面ABC，
所以平面.
（2）由（1）得平面，故可以C为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，且，所以，，
则，，，，
所以，，
，.
设平面的法向量为，
则取，则.
设平面的法向量为，
则得，取，则.
所以，
设二面角的大小为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
 6.答案：（1）取的中点为F，连接，四点共面，，平面 （2）补全三棱锥在中，，即为等腰三角形，所以由(1)知，平面，平面，所以以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系设，则设平面的法向量为取，则 设直线与平面所成角为所以