2021年广东省广州市增城区中考一模数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年广东省广州市增城区中考一模数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省广州市增城区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．8，10，7 B．2，3，4 C．2，1，5 D．，1，
5．如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC等于（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．4.5
6．在中，，则它的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在函数的图象上有两点，，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，经过三点，，，点D是上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是　　

A．6 B．8 C．9 D．10
9．直线经过第一、三、四象限，则抛物线与轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．如图，矩形中，，点为的中点，点为上一个动点，点为的中点，连接，当的最小值为时，则的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题
11．粤港澳大湾区是我们国家建设世界级城市群和参与全球竞争的重要空间载体，是世界四大湾区之一，整体面积达到56000平方千米，实数56000用科学计数法表示为___________.
12．如图，直线，，则的度数是___________.

13．因式分解：x3﹣4x=_____．
14．如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为_____．

15．如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将△沿所在直线翻折，得到，则线段的最小值是___________.

16．抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为___________.

三、解答题
17．解方程组：
18．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E，∠A＝∠D，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．

19．先化简，再求值：，其中是整数且满足.
20．2021年4月23日是第二十六个“世界读书日”．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列举法求恰好抽到甲和乙的概率．
21．已知反比例函数和一次函数（为常数）
（1）当时，求反比例函数与一次函数的交点坐标；
（2）是否存在实数，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数，如果不存在，说明理由.
22．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．
(1)求每行驶1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
23．如图，已知.

（1）尺规作图：先作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线，分别交、于点、.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接、，若，，求四边形的边长.
24．如图，已知，，为的直径，斜边交于点，平分，于点，的延长线与交于点.

（1）求证：是切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长.
25．如图①，抛物线经讨点对称轴是直线.顶点为．抛物线与轴交于点，连接，过点作轴于点，点是线段上的动点（点不与、两点重合）.

（1）求抛物线的函数解析式和顶点的坐标；
（2）若直线将四边形分成面积比为1：3的两个四边形，求点的坐标；
（3）如图②，连接，作矩形，在点的运动过程中，是否存在点落在轴上的同时点也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.


参考答案
1．B
【详解】
因为0，﹣1，是有限小数或无限循环小数，是无限不循环小数，所以是无理数，故选B.
2．C
【分析】
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．
【详解】
解：解：根据轴对称图形的意义可知：A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】
此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
3．D
【分析】
结合选项分别进行合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方及同底数幂的除法运算，选出正确答案．
【详解】
A．和不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B．，原式计算错误，故本选项错误；
C． ，原式计算错误，故本选项错误；
D．，原式计算正确，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方及同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】
逐项判断两个较小数的平方和是否等于最大声的平方，根据勾股定理逆定理即可作出判断．
【详解】
解：A. ∵，∴不能构成直角三角形，不合题意；
B. ∵，∴不能构成直角三角形，不合题意；
C. ∵，∴不能构成直角三角形，不合题意；
D. ∵，∴能构成直角三角形，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理，如果一个三角形满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．
5．C
【分析】
先根据垂径定理得到AD＝CD，则OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到BC的长．
【详解】
解：∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
而OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BC＝2OD＝2×1.5＝3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
6．C
【分析】
由中，，可知，直角三角形的外接圆的半径为5，进而求出圆的面积.
【详解】
∵在中，，
∴，
∴直角三角形的外接圆的直径=10，即：面积=π×52=25π，
故选C.
【点睛】
本题主要考查直角三角形的外接圆的面积，掌握直角三角形外接圆的直径是直角三角形的斜边，是解题的关键.
7．A
【分析】
根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】
解：∵反比例函数中的a2+1＞0，
∴该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵函数的图象上有两点（-3，y1），（-1，y2），
∴两点（-3，y1），（-1，y2）在第三象限，且-3＜-1，
∴y2＜y1＜0，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．C
【分析】
先求出圆的直径，当点D在所在直线垂直OB时，此时点D到弦OB的距离的最大，求出此时的值即可．
【详解】
如图，连接AB，

，
AB为直径，此时，
当直线CD垂直AB时，此时此时点D到弦OB的距离的最大为PD．
，
，
又是AB的中点，
是的中位线．
，此时.
故选C．
【点睛】
此题主要考查坐标与图形的计算，圆周角定理，三角形的中位线等，关键考查坐标和圆的结合的灵活应用．
9．A
【分析】
由直线y=x+2m经过第一，三、四象限可得，2m＜0，再由△=22-4（1-m）=4m＜0，可判断抛物线与x轴无交点．
【详解】
解：∵直线y=x+2m经过第一，三、四象限，
∴2m＜0，
又由抛物线y=x2+2x+1-m的解析式可知，△=22-4（1-m）=4m＜0，
∴抛物线与x轴无交点．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一次函数的性质，二次函数图象与x轴交点的个数问题；熟记一次函数过象限时k，b的正负，并了解如何判断抛物线与x轴交点个数是解题基础．
10．B
【分析】
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2=CE．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD=2：1，设AB=2t，则AD=t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=t，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．
∴∠DP2P1=90°．
∴∠DP1P2=45°．
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1=BC=t，
∴BP1=t=，
∴t=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
11．5.6×104
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：将56000用科学记数法表示为：5.6×104．
故答案为：5.6×104．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．50°
【分析】
由直线a，b被第三条直线所截，a∥b，∠1=130°，两直线平行，同旁内角互补即可求得答案．
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1=130°，
∴∠2=180°-∠1=180°-130°=50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
13．x（x+2）（x﹣2）
【详解】
试题分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式．即x3﹣4x=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．

14．
【分析】
易得此几何体为圆柱，圆柱的侧面积=底面周长×高．
【详解】
解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何体为圆柱，
易得圆柱的底面直径为，高为，
侧面积．
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆柱的侧面积计算公式，关键是得到该几何体的形状．
15．
【分析】
以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出的长度，用即可求出结论．
【详解】
解：如图，以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，
由折叠可知，，
在中，由勾股定理可得，，
的最小值，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是解题的关键．
16．（5，6）
【分析】
经过定点，即坐标中不含参数m，对解析式进行变形，可得y=（x2-4x-5）m+x+1，令m的系数为0，即可求出．
【详解】
解：y=mx2+（1-4m）x+1-5m=（x2-4x-5）m+x+1，
令x2-4x-5=0，解得x=-1或x=5，
当x=-1时，y=0；
当x=5时，y=6；
∴非坐标轴上的点P的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【点睛】
本题主要考查二次函数过定点问题，把解析式进行合适的变形是解题关键．
17．
【详解】
试题分析：首先将两式相加得出关于x的一元一次方程，求出x的值，然后将x的值代入第一个方程求出y的值，从而得出方程组的解.
试题解析：
①+②得：，所以 .
把代入①得：.
所以，该方程组的解为
18．见解析
【分析】
首先求出BC＝EF，进而利用全等三角形的判定定理AAS证明两个三角形全等．
【详解】
证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，熟练运用全等三角形的判定定理进行解答．
19．2a+6，16．
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值求出并代入原式即可求出答案．
【详解】
解：原式
，
，
，
，
，
原式．
【点睛】
本题考查分式与整式的运算，求不等式组的解集，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及整式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（1）40人，图形见解析；（2）
【分析】
（1）由获一等奖的人数除以所占百分比求出获奖总人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到甲和乙的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）本次比赛获奖的总人数为：4÷10%=40（人），
∴获二等奖的人数为40-4-24=12（人），
补全条形统计图如下：

（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到甲和乙的结果有2个，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
21．（1）（1，3），（3，1）；（2）a=或
【分析】
（1）根据a的值，可得一次函数的解析式，联立反比例函数与一次函数的解析式，可得方程组，解方程组，可得交点坐标；
（2）联立反比例函数与一次函数的解析式，可得方程组，根据反比例函数与一次函数有且只有一个交点，可得方程组只有一组解，根据一元二次方程的判别式，可得答案．
【详解】
解：（1）当时，一次函数的解析式为：，
联立，解得，，
当时，反比例函数与一次函数的交点坐标为，．
（2）存在实数，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，
联立，整理得，，
方程组只有一组解，得△，
解得：或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了方程组的解是函数图象的交点，判别式等于零时一元二次方程有两个相等的实数根．
22．（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.26元．（2）至少需用电行驶74千米．
【分析】
（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；
（2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式即可解答本题．
【详解】
（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，根据题意得：
=
解得：x=0.26
经检验，x=0.26是原分式方程的解，
答：每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；
（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，得：
0.26y+（﹣y）×（0.26+0.50）≤39
解得：y≥74，即至少用电行驶74千米．
23．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）证明四边形是菱形，利用平行线分线段成比例定理，求解即可．
【详解】
解：（1）如图，四边形即为所求作．

（2）垂直平分线段，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
设菱形的边长为，
，
，
，
，
菱形的边长为．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）利用角平分线与等腰三角形的性质证明，从而得到，即可证明是切线；
（2）连接，证明，再证明，，即可得到结论；
（3）先证明，从而求出的长度，而的长度为的一半．
【详解】
解：（1）连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
（2）连接，

为的直径，
，
，为的直径，
为的切线，
又是的切线，
，
，
，
，
，
又，
；
（3），，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
25．（1），（2，4）；（2），或，；（3）存在，
【分析】
（1）由题意得出，解得，得出抛物线的函数表达式为：，即可得出顶点的坐标为；
（2）求出，设点的坐标为，求出直线的函数表达式为：，则点的坐标为，由题意得出，，，，则，，分两种情况求出的值即可；
（3）过点作于，则，设点的坐标为：，则，，证，得出，则，证，得出，求出或0，当时，点与点重合，舍去，得出，即可得出结论．
【详解】
解：（1）抛物线经过点，对称轴是直线，
，解得：，
抛物线的函数表达式为：，
，
顶点的坐标为；
（2），
时，，
则点的坐标为，
，
，
，
四边形是矩形，
设点的坐标为，直线的函数表达式为：，直线交轴于点，如图1所示：

则，
解得：，
直线的函数表达式为：，
令，则，
点的坐标为，
直线将四边形分成面积比为的两部分，
点在线段上，点不与点重合，
，，，，
，，，，
，
，
分两种情况：
①，即，
解得：，
点的坐标为：，；
②，即，
解得：，
点的坐标为：，；
综上所述，点的坐标为：，或，；
（3）存在点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上；理由如下：
由题意得：满足条件的矩形在直线的下方，
过点作于，则，如图2所示：
设点的坐标为：，
则，，
四边形与四边形都是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，
，即，
整理得：，
解得：或0，
当时，点与点重合，
舍去，
，
当点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上，此时的长为．

【点睛】
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型．