广东省广州市增城区2021年中考数学一模试题含解析

这是一份广东省广州市增城区2021年中考数学一模试题含解析，共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省广州市增城区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分）.
1．下列四个实数中，是无理数的为（　　）
A．0 B． C．﹣1 D．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x2
4．下列四组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．8，10，7 B．2，3，4 C．2，1，5 D．，1，
5．如图，AB是半圆O的直径，AC、BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC＝（　　）

A．4.5 B．3 C．2 D．1.5
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则它的外接圆的面积为（　　）
A．5π B．10π C．25π D．100π
7．在函数y＝的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），则y1与y2之间的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
9．直线y＝x+2m经过第一，三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．粤港澳大湾区是我们国家建设世界级城市群和参与全球竞争的重要空间载体，是世界四大湾区之一，整体面积达到56000平方千米，实数56000用科学记数法表示为　 　．
12．如图，直线a∥b，∠1＝130°，则∠2的度数是　 　．

13．因式分解：x3﹣4x＝　 　．
14．如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为　 　．

15．如图．在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则线段A′C的最小值是　 　．

16．抛物线y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m一定经过非坐标轴上的一点P，则点P的坐标为　 　．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．解方程组：
18．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE求证：△ABC≌△DEF．

19．先化简，再求值：，其中a是整数且满足．
20．2021年4月23日是第二十六个“世界读书日”．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列举法求恰好抽到甲和乙的概率．
21．已知反比例函数y＝和一次函数y＝﹣x+a﹣1（a为常数）．
（1）当a＝5时，求反比例函数与一次函数的交点坐标；
（2）是否存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数a，如果不存在，说明理由．
22．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
23．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：先作∠ABC的平分线BD交AC于点D，再作线段BD的垂直平分线，分别交BC、AB于点E、F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DE、DF，若AB＝3，BC＝2，求四边形BEDF的边长．

24．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，AC平分∠DAB，ED⊥AD于点D，DE的延长线与BC交于点F．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）求证：CF＝BF；
（3）若AD：AB＝3：4，DE＝，求EF的长．

25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下列四个实数中，是无理数的为（　　）
A．0 B． C．﹣1 D．
解：A、0是有理数，故A错误；
B、是无理数，故B正确；
C、﹣1是有理数，故C错误；
D、是有理数，故D错误；
故选：B．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
3．下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x2
解：A、x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
C、（x2）3＝x6，故本选项不合题意；
D、x5÷x3＝x2，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下列四组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．8，10，7 B．2，3，4 C．2，1，5 D．，1，
解：A、72+82≠102，故不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、22+32≠4，故不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、1+2＜5，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、（）2+12＝（）2，故能构成直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
5．如图，AB是半圆O的直径，AC、BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC＝（　　）

A．4.5 B．3 C．2 D．1.5
解：∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BC＝2OD＝2×1.5＝3．
故选：B．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则它的外接圆的面积为（　　）
A．5π B．10π C．25π D．100π
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴Rt△ABC的外接圆的面积＝（）2π＝25π，
故选：C．
7．在函数y＝的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），则y1与y2之间的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
解：∵反比例函数y＝中的a2+1＞0，
∴该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵函数y＝的图象上有两点（﹣3，y1），（﹣1，y2），
∴两点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第三象限，且﹣3＜﹣1，
∴y2＜y1＜0，
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
解：如图，连接AB，∵∠AOB＝90°
AB为直径，此时AB＝＝10，
当直线CD垂直AB时，此时点D到弦OB的距离的最大，最大距离为CD．
∵∠BCP＝∠AOB＝90°，
∴PC∥OA
又∵P是AB的中点，
∴PC是△AOB的中位线．
∴，此时CD＝PC+PD＝4+5＝9，


故选：C．
9．直线y＝x+2m经过第一，三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
解：∵直线y＝x+2m经过第一，三、四象限，
∴2m＜0，
又由抛物线y＝x2+2x+1﹣m的解析式可知，△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，
∴抛物线与x轴无交点．
故选：A．
10．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
解：如图，

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，
∴BP1＝t＝3，
∴t＝3．
故选：B．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．粤港澳大湾区是我们国家建设世界级城市群和参与全球竞争的重要空间载体，是世界四大湾区之一，整体面积达到56000平方千米，实数56000用科学记数法表示为　5.6×104　．
解：将56000用科学记数法表示为：5.6×104．
故答案为：5.6×104．
12．如图，直线a∥b，∠1＝130°，则∠2的度数是　50°　．

解：∵a∥b，
∴∠1+∠2＝180°
∴∠1＝130°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
13．因式分解：x3﹣4x＝　x（x+2）（x﹣2）　．
解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
14．如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为　2π　．

解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何体为圆柱；
易得圆柱的底面直径为2，高为1，
∴侧面积＝2π×1＝2π，
故答案为：2π．
15．如图．在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则线段A′C的最小值是　2﹣2　．

解：如图，以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A在线段CE上时，A'C的长取最小值，
由折叠可知，A′E＝AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，CE＝＝＝2，
∴A′C的最小值＝CE﹣A'E＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．

16．抛物线y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m一定经过非坐标轴上的一点P，则点P的坐标为　（5，6）　．
解：y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m＝（x2﹣4x﹣5）m+x+1，
令x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，
当x＝﹣1时，y＝0；
当x＝5时，y＝6；
∴非坐标轴上的点P的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．解方程组：
解：，
①+②得：4x＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则该方程组的解为
18．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE求证：△ABC≌△DEF．

【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（AAS）．
19．先化简，再求值：，其中a是整数且满足．
解：原式＝•
＝2（a+3），
＝2a+6，
∵，
∴5≤a＜6，
∴a＝5，
∴原式＝10+6＝16．
20．2021年4月23日是第二十六个“世界读书日”．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列举法求恰好抽到甲和乙的概率．
解：（1）本次比赛获奖的总人数为：4÷10%＝40（人），
∴获二等奖的人数为40﹣4﹣24＝12（人），
补全条形统计图如下：

（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到甲和乙的结果有2个，
∴恰好抽到甲和乙的概率为＝．
21．已知反比例函数y＝和一次函数y＝﹣x+a﹣1（a为常数）．
（1）当a＝5时，求反比例函数与一次函数的交点坐标；
（2）是否存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数a，如果不存在，说明理由．
解：（1）当a＝5时，一次函数y＝﹣x+a﹣1的解析式为：y＝﹣x+4，
联立，解得，，
∴当a＝5时，反比例函数与一次函数的交点坐标为（2+，2﹣），（2﹣，2+）．
（2）存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，
联立，整理得，x2﹣（a﹣1）x+1＝0，
∵方程组只有一组解，得△＝[﹣（a﹣1）]2﹣4＝0，
解得：a＝3或a＝﹣1．
22．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意．
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
23．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：先作∠ABC的平分线BD交AC于点D，再作线段BD的垂直平分线，分别交BC、AB于点E、F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DE、DF，若AB＝3，BC＝2，求四边形BEDF的边长．

解：（1）如图，四边形BEDF即为所求作．


（2）∵EF垂直平分线段BD，
'∴FD＝FB，EB＝ED，
∵∠DBF＝∠DBE，
∴∠BDF+∠BFE＝90°，∠DBE+∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴菱形的边长为x，
∵DF∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴菱形BEDF的边长为．
24．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，AC平分∠DAB，ED⊥AD于点D，DE的延长线与BC交于点F．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）求证：CF＝BF；
（3）若AD：AB＝3：4，DE＝，求EF的长．

解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：
连接OE，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠OAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴AD∥OE，
∵AD⊥ED，
∴OE⊥DE，
∵点E在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接BE，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠BEC，
∵∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，
∴FB为⊙O的切线，
又∵DE是⊙O的切线，
∴FE＝FB，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠FEB+∠FEC＝90°＝∠FBE+∠C，
∴∠FEC＝∠C，
∴FE＝FC，
又∵FE＝FB，
∴FB＝FC；
（3）∵∠ADE＝∠AEB＝90°，∠DAE＝∠EAB，
∴△DAE～△EAB，
∴，
∵AD：AB＝3：4，
∴设AD＝3a，则AB＝4a，
∴AE2＝AB•AD＝12a2，
∴AE＝，
∵DE＝，
∴，
∴BE＝2，
∵cos∠EAB＝，
∴∠EAB＝30°，
∴∠EBA＝60°，∠EBC＝30°，
∴cos∠EBC＝，
∵BE＝2，
∴BC＝，
∵FE＝FC＝FB＝BC，
∴EF＝．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3，
∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y＝﹣x2+x+3，
∴x＝0时，y＝3，
则C点的坐标为（0，3），
∵A（4，3），
∴AC∥OD，
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则，
解得：，
∴直线BE的函数表达式为：y＝x+，
令y＝x+＝0，则x＝4m﹣6，
∴点M的坐标为（4m﹣6，0），
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），
∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，
S梯形ECOM＝（OM+EC）•OC＝（4m﹣6+m）×3＝，
分两种情况：
①＝，即＝，
解得：m＝，
∴点E的坐标为：（，3）；
②＝，即＝，
解得：m＝，
∴点E的坐标为：（，3）；
综上所述，点E的坐标为：（，3）或（，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：
由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为：（a，﹣a2+a+3），
则NF＝3﹣（﹣a2+a+3）＝a2﹣a，NC＝﹣a，
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，
∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠DGO，
在△EFN和△DGO中，，
∴△EFN≌△DGO（ASA），
∴NE＝OD＝AC＝4，
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，
∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，
∴∠EFN＝∠DEA，
∴△ENF∽△DAE，
∴＝，即＝，
整理得：a2+a＝0，
解得：a＝﹣或0，
当a＝0时，点E与点A重合，
∴a＝0舍去，
∴AE＝NC＝﹣a＝，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为．