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吉林省名校调研（省命题A）2020-2021学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份吉林省名校调研（省命题A）2020-2021学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题（每小题8分，共16分)等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年吉林省名校调研（省命题A）八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△ABC的中线
2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．明十三陵 B．布达拉宫
C．天坛 D．金銮殿
3．如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．∠ABD＝∠DCA C．AC＝DB D．AB＝DC
4．如图，直线AE、BD相交于点C，如果CD＝CE，那么∠CED等于（ ）
A．50° B．65° C．70° D．75°
5．已知在△ABC中，AB＞BC＞AC．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足，则第三边c的取值范围是 ．
8．某多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数是 ．
9．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB＝ ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D到AB的距离为 ．
11．如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝120m，则水池宽AB的长度是 m．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是 ．
13．如图，已知∠A＝80°，∠B＝40°，∠D＝∠F＝120°，∠E＝90°，则∠G的度数为 °．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．已知点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b），若点A、B关于y轴对称，求a+b的值．
16．如图，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∠D＝∠E．求证：BD＝CE．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E．判断△AFG的形状并加以证明．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．
20．图①、图②均是4×3的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上请在图①、图②中各画一个三角形同时满足以下两个条件：
（1）以点A为一个顶点，另外两个顶点均在格点上；
（2）与△ABC全等，且不与△ABC重合．
21．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
22．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积；
（3）在直线MN上找一点P，使△PAC周长最小（不写作法）．
五、解答题（每小题8分，共16分)
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线交AD于点E，过点C作CD⊥AC，交AF的延长线于点D，连接BD．
求证：（1）BD＝CD；
（2）DB⊥AB；
（3）DE＝BD．
24．如图①，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上一点（点E不与点A重合），以CE为一边在CE下方作等边△CEF，连接BF．
（1）猜想线段AE、BF的数量关系： （不要求证明）；
（2）如图②，当点E为AD延长线上一点时，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AD＝AE，连接CD、AE交于点F．
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时（如图2），延长DC、AB交于点G，请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．
26．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边三角形CQP？
2020-2021学年吉林省名校调研（省命题A）八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△ABC的中线
【分析】利用已知条件可得∠BAE＝∠CAE，然后可得AE是△ABC的角平分线．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，
故选：B．
2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．明十三陵 B．布达拉宫
C．天坛 D．金銮殿
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断即可．
【解答】解：A、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．∠ABD＝∠DCA C．AC＝DB D．AB＝DC
【分析】根据全等三角形的判定定理 逐个判断即可．
【解答】解：A、∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ACD+∠ACB，
即∠ABC＝∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；
C、∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），故本选项不符合题意；
D、根据∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，AB＝DC不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如图，直线AE、BD相交于点C，如果CD＝CE，那么∠CED等于（ ）
A．50° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得结果．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝∠B﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DCE＝∠ACB＝40°，
∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∴∠CED＝＝＝70°，
故选：C．
5．已知在△ABC中，AB＞BC＞AC．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，作AB的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【解答】解：要使点P到点A、点B的距离相等，则作AB的垂直平分线．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故选：B．
二．填空题
7．若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足，则第三边c的取值范围是 1＜c＜5 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
【解答】解：由题意得，a2﹣9＝0，b﹣2＝0，
解得a＝3，b＝2，
∵3﹣2＝1，3+2＝5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
8．某多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数是 四 ．
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故答案为：四．
9．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB＝ 6 ．
【分析】证明△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6，
故答案为：6．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D到AB的距离为 3 ．
【分析】由CB＝8，BD＝5求得CD＝3，根据角平分线的性质可知D点到AB的距离等于D点到AC的距离CD长度即可求得结果．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝BC﹣BD＝3，
∴D到AB的距离为3．
故答案为3．
11．如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝120m，则水池宽AB的长度是 120 m．
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝∠CAB＝90°，
∵CA＝CA，∠ACD＝∠ACB，
∴△ACD≌△ACB（ASA），
∴AB＝AD＝120m，
故答案为120．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是 12 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵NM是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，
故答案为：12．
13．如图，已知∠A＝80°，∠B＝40°，∠D＝∠F＝120°，∠E＝90°，则∠G的度数为 150 °．
【分析】根据三角形的内角和定理可求解∠ACB的度数，利用对顶角的性质可得∠DCG的度数，再利用多边形的内角和定理可计算求解．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∴∠DCG＝∠ACB＝60°，
∵∠D+∠E+∠F+∠G+∠DCG＝（5﹣2）×180°＝540°，∠D＝∠F＝120°，∠E＝90°，
∴∠G＝540°﹣120°﹣120°﹣90°﹣60°＝150°，
故答案为150．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为 2 ．
【分析】由BD⊥BC，推出∠CBD＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半．CD＝2BD＝2．
【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2BD＝2．
故答案为2．
三．解答题（共4小题）
15．已知点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b），若点A、B关于y轴对称，求a+b的值．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b）关于y轴对称，
∴，
解得．
故a+b＝0+1＝1．
16．如图，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∠D＝∠E．求证：BD＝CE．
【分析】由“AAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，且∠D＝∠E，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴BD＝CE．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，利用角平分线的定义可求解∠BAE的度数；
（2）由直角三角形的性质可求解∠BAD的度数，利用∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE可求解．
【解答】解：（1）∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝35°；
（2）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣35°＝15°．
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E．判断△AFG的形状并加以证明．
【分析】根据题意，角平分线的性质和平行线的性质，可以求得∠AFG和∠G的关系，从而可以判断△AFG的形状．
【解答】解：△AFG是等腰三角形，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵GE∥AD，
∴∠BAD＝∠AFG，∠CAD＝∠G，
∴∠AFG＝∠G，
∴△AFG是等腰三角形．
19．如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理解答．
【解答】证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC 和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
20．图①、图②均是4×3的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上请在图①、图②中各画一个三角形同时满足以下两个条件：
（1）以点A为一个顶点，另外两个顶点均在格点上；
（2）与△ABC全等，且不与△ABC重合．
【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ADE即为所求；
（2）如图所示：△A′B′C′即为所求．
21．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
【分析】由∠A＝120°，AB＝AC，易得∠B＝∠C＝30°，从而得∠EDF＝60°，因为D是BC的中点，易证△BDE≌△CDF，由全等三角形的性质得DE＝DF，由等边三角形的判定得△DEF是等边三角形．
【解答】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
22．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积；
（3）在直线MN上找一点P，使△PAC周长最小（不写作法）．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点的对称点位置，再连接即可；
（2）利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）连接AC′，与MN的交点位置就是点P的位置．
【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；
（2）△ABC的面积：×3×2＝3；
（3）如图，点P即为所求．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线交AD于点E，过点C作CD⊥AC，交AF的延长线于点D，连接BD．
求证：（1）BD＝CD；
（2）DB⊥AB；
（3）DE＝BD．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可推知AD是线段BC的垂直平分线，进而可证明结论；
（2）利用SSS证明△ABD≌△ACD可得∠DBA＝∠DCA，进而可证明结论；
（3）根据余角定义可得∠BAD＝∠CBD，由角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABE，利用三角形外角的性质可得∠DBE＝∠DEB，根据等腰三角形的性质进而可证明结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD；
（2）在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠DBA＝∠DCA，
∵CD⊥AC，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
∴DB⊥AB；
（3）∵∠DBA＝∠DCA＝90°，
∴∠DAB+∠ADB＝90°
∵∠CBD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBD+∠CBE，∠DEB＝∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝BD．
24．如图①，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上一点（点E不与点A重合），以CE为一边在CE下方作等边△CEF，连接BF．
（1）猜想线段AE、BF的数量关系： AE＝BF （不要求证明）；
（2）如图②，当点E为AD延长线上一点时，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）AE＝BF，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACB﹣∠ECB＝∠ECF﹣∠ECB，
即∠ACE＝∠BCF，
在△ACE与△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF；
（2）AE＝BF，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACB+∠ECB＝∠ECF+∠ECB，
即∠ACE＝∠BCF，
在△ACE与△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF．
故答案为：AE＝BF．
25．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AD＝AE，连接CD、AE交于点F．
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时（如图2），延长DC、AB交于点G，请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．
【分析】（1）如图1，先证明△ACD≌△ABE，得∠ACD＝∠ABC，根据三角形内角和与平角定义得出结论；
（2）如图2，图形中有四个等腰三角形：分别是①△ACF是等腰三角形，②△ADG是等腰直角三角形，③△DEF是等腰三角形；④△ECD是等腰三角形；根据已知角的度数依次计算各角的度数，根据两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论．
【解答】证明：（1）如图1，∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠ECD+∠ACD+∠ACB＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB＝180°，
∠ECD+2∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝∠ECD；
（2）如图2，
①∵∠BAC＝∠EAD＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝∠ADE＝75°，
由（1）得：∠ACD＝∠ABC＝75°，
∠DCE＝∠BAC＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠AFC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形，
②∵∠BCG＝∠DCE＝30°，∠ABC＝75°，
∴∠G＝45°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠EDF＝75°﹣45°＝30°，
∴∠DEF＝∠DFE＝75°，
∴△DEF是等腰三角形；
④∵∠ECD＝∠EDC＝30°，
∴△ECD是等腰三角形．
26．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边三角形CQP？
【分析】（1）求出BD＝CP，∠B＝∠C，BP＝CQ，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据等边得出CQ＝CP，得出关于x的方程，求出x即可．
【解答】解：（1）△BPD与△CQP全等，
理由是：∵在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，
∴∠B＝∠C，BD＝8cm，
∵BP＝CQ＝4cm，
∴CP＝12cm﹣4cm＝8cm，
∴BD＝CP，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）设当点Q运动x秒后，可得到等边三角形CQP，
则CP＝CQ，
即6x＝12﹣4x，
解得：x＝．
即若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动秒后，可得到等边三角形CQP．
2020-2021学年吉林省名校调研（省命题A）八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△ABC的中线
2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．明十三陵 B．布达拉宫
C．天坛 D．金銮殿
3．如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．∠ABD＝∠DCA C．AC＝DB D．AB＝DC
4．如图，直线AE、BD相交于点C，如果CD＝CE，那么∠CED等于（ ）
A．50° B．65° C．70° D．75°
5．已知在△ABC中，AB＞BC＞AC．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足，则第三边c的取值范围是 ．
8．某多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数是 ．
9．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB＝ ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D到AB的距离为 ．
11．如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝120m，则水池宽AB的长度是 m．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是 ．
13．如图，已知∠A＝80°，∠B＝40°，∠D＝∠F＝120°，∠E＝90°，则∠G的度数为 °．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．已知点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b），若点A、B关于y轴对称，求a+b的值．
16．如图，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∠D＝∠E．求证：BD＝CE．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E．判断△AFG的形状并加以证明．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．
20．图①、图②均是4×3的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上请在图①、图②中各画一个三角形同时满足以下两个条件：
（1）以点A为一个顶点，另外两个顶点均在格点上；
（2）与△ABC全等，且不与△ABC重合．
21．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
22．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积；
（3）在直线MN上找一点P，使△PAC周长最小（不写作法）．
五、解答题（每小题8分，共16分)
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线交AD于点E，过点C作CD⊥AC，交AF的延长线于点D，连接BD．
求证：（1）BD＝CD；
（2）DB⊥AB；
（3）DE＝BD．
24．如图①，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上一点（点E不与点A重合），以CE为一边在CE下方作等边△CEF，连接BF．
（1）猜想线段AE、BF的数量关系： （不要求证明）；
（2）如图②，当点E为AD延长线上一点时，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AD＝AE，连接CD、AE交于点F．
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时（如图2），延长DC、AB交于点G，请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．
26．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边三角形CQP？
2020-2021学年吉林省名校调研（省命题A）八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△ABC的中线
【分析】利用已知条件可得∠BAE＝∠CAE，然后可得AE是△ABC的角平分线．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，
故选：B．
2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．明十三陵 B．布达拉宫
C．天坛 D．金銮殿
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断即可．
【解答】解：A、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、有1条对称轴，是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．∠ABD＝∠DCA C．AC＝DB D．AB＝DC
【分析】根据全等三角形的判定定理 逐个判断即可．
【解答】解：A、∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ACD+∠ACB，
即∠ABC＝∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；
C、∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），故本选项不符合题意；
D、根据∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，AB＝DC不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如图，直线AE、BD相交于点C，如果CD＝CE，那么∠CED等于（ ）
A．50° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得结果．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝∠B﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DCE＝∠ACB＝40°，
∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∴∠CED＝＝＝70°，
故选：C．
5．已知在△ABC中，AB＞BC＞AC．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，作AB的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【解答】解：要使点P到点A、点B的距离相等，则作AB的垂直平分线．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故选：B．
二．填空题
7．若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足，则第三边c的取值范围是 1＜c＜5 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
【解答】解：由题意得，a2﹣9＝0，b﹣2＝0，
解得a＝3，b＝2，
∵3﹣2＝1，3+2＝5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
8．某多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数是 四 ．
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故答案为：四．
9．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB＝ 6 ．
【分析】证明△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6，
故答案为：6．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D到AB的距离为 3 ．
【分析】由CB＝8，BD＝5求得CD＝3，根据角平分线的性质可知D点到AB的距离等于D点到AC的距离CD长度即可求得结果．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝BC﹣BD＝3，
∴D到AB的距离为3．
故答案为3．
11．如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝120m，则水池宽AB的长度是 120 m．
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝∠CAB＝90°，
∵CA＝CA，∠ACD＝∠ACB，
∴△ACD≌△ACB（ASA），
∴AB＝AD＝120m，
故答案为120．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是 12 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵NM是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，
故答案为：12．
13．如图，已知∠A＝80°，∠B＝40°，∠D＝∠F＝120°，∠E＝90°，则∠G的度数为 150 °．
【分析】根据三角形的内角和定理可求解∠ACB的度数，利用对顶角的性质可得∠DCG的度数，再利用多边形的内角和定理可计算求解．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∴∠DCG＝∠ACB＝60°，
∵∠D+∠E+∠F+∠G+∠DCG＝（5﹣2）×180°＝540°，∠D＝∠F＝120°，∠E＝90°，
∴∠G＝540°﹣120°﹣120°﹣90°﹣60°＝150°，
故答案为150．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为 2 ．
【分析】由BD⊥BC，推出∠CBD＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半．CD＝2BD＝2．
【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2BD＝2．
故答案为2．
三．解答题（共4小题）
15．已知点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b），若点A、B关于y轴对称，求a+b的值．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b）关于y轴对称，
∴，
解得．
故a+b＝0+1＝1．
16．如图，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∠D＝∠E．求证：BD＝CE．
【分析】由“AAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，且∠D＝∠E，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴BD＝CE．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，利用角平分线的定义可求解∠BAE的度数；
（2）由直角三角形的性质可求解∠BAD的度数，利用∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE可求解．
【解答】解：（1）∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝35°；
（2）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣35°＝15°．
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E．判断△AFG的形状并加以证明．
【分析】根据题意，角平分线的性质和平行线的性质，可以求得∠AFG和∠G的关系，从而可以判断△AFG的形状．
【解答】解：△AFG是等腰三角形，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵GE∥AD，
∴∠BAD＝∠AFG，∠CAD＝∠G，
∴∠AFG＝∠G，
∴△AFG是等腰三角形．
19．如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理解答．
【解答】证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC 和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
20．图①、图②均是4×3的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上请在图①、图②中各画一个三角形同时满足以下两个条件：
（1）以点A为一个顶点，另外两个顶点均在格点上；
（2）与△ABC全等，且不与△ABC重合．
【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ADE即为所求；
（2）如图所示：△A′B′C′即为所求．
21．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
【分析】由∠A＝120°，AB＝AC，易得∠B＝∠C＝30°，从而得∠EDF＝60°，因为D是BC的中点，易证△BDE≌△CDF，由全等三角形的性质得DE＝DF，由等边三角形的判定得△DEF是等边三角形．
【解答】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
22．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积；
（3）在直线MN上找一点P，使△PAC周长最小（不写作法）．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点的对称点位置，再连接即可；
（2）利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）连接AC′，与MN的交点位置就是点P的位置．
【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；
（2）△ABC的面积：×3×2＝3；
（3）如图，点P即为所求．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线交AD于点E，过点C作CD⊥AC，交AF的延长线于点D，连接BD．
求证：（1）BD＝CD；
（2）DB⊥AB；
（3）DE＝BD．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可推知AD是线段BC的垂直平分线，进而可证明结论；
（2）利用SSS证明△ABD≌△ACD可得∠DBA＝∠DCA，进而可证明结论；
（3）根据余角定义可得∠BAD＝∠CBD，由角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABE，利用三角形外角的性质可得∠DBE＝∠DEB，根据等腰三角形的性质进而可证明结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD；
（2）在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠DBA＝∠DCA，
∵CD⊥AC，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
∴DB⊥AB；
（3）∵∠DBA＝∠DCA＝90°，
∴∠DAB+∠ADB＝90°
∵∠CBD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBD+∠CBE，∠DEB＝∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝BD．
24．如图①，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上一点（点E不与点A重合），以CE为一边在CE下方作等边△CEF，连接BF．
（1）猜想线段AE、BF的数量关系： AE＝BF （不要求证明）；
（2）如图②，当点E为AD延长线上一点时，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）AE＝BF，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACB﹣∠ECB＝∠ECF﹣∠ECB，
即∠ACE＝∠BCF，
在△ACE与△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF；
（2）AE＝BF，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACB+∠ECB＝∠ECF+∠ECB，
即∠ACE＝∠BCF，
在△ACE与△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF．
故答案为：AE＝BF．
25．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AD＝AE，连接CD、AE交于点F．
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时（如图2），延长DC、AB交于点G，请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．
【分析】（1）如图1，先证明△ACD≌△ABE，得∠ACD＝∠ABC，根据三角形内角和与平角定义得出结论；
（2）如图2，图形中有四个等腰三角形：分别是①△ACF是等腰三角形，②△ADG是等腰直角三角形，③△DEF是等腰三角形；④△ECD是等腰三角形；根据已知角的度数依次计算各角的度数，根据两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论．
【解答】证明：（1）如图1，∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠ECD+∠ACD+∠ACB＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB＝180°，
∠ECD+2∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝∠ECD；
（2）如图2，
①∵∠BAC＝∠EAD＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝∠ADE＝75°，
由（1）得：∠ACD＝∠ABC＝75°，
∠DCE＝∠BAC＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠AFC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形，
②∵∠BCG＝∠DCE＝30°，∠ABC＝75°，
∴∠G＝45°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠EDF＝75°﹣45°＝30°，
∴∠DEF＝∠DFE＝75°，
∴△DEF是等腰三角形；
④∵∠ECD＝∠EDC＝30°，
∴△ECD是等腰三角形．
26．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边三角形CQP？
【分析】（1）求出BD＝CP，∠B＝∠C，BP＝CQ，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据等边得出CQ＝CP，得出关于x的方程，求出x即可．
【解答】解：（1）△BPD与△CQP全等，
理由是：∵在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，
∴∠B＝∠C，BD＝8cm，
∵BP＝CQ＝4cm，
∴CP＝12cm﹣4cm＝8cm，
∴BD＝CP，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）设当点Q运动x秒后，可得到等边三角形CQP，
则CP＝CQ，
即6x＝12﹣4x，
解得：x＝．
即若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动秒后，可得到等边三角形CQP．
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