2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价14函数模型及其应用含解析新人教A版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价14函数模型及其应用含解析新人教A版，共7页。试卷主要包含了某电信公司推出两种手机收费方式等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．下列函数中，随x的增大，y的增大速度最快的是( )
A．y＝0.001exB．y＝1 000ln x
C．y＝x1 000D．y＝1 000·2x
A 解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增大速度越快．故选A．
2．(2020·广州一模)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f (t)的图象大致是( )

B 解析：函数h＝f (t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B．故选B．
3．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利B．无法判断盈亏情况
C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损
D 解析：设买入股票时的价格为m(m>0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m4．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(单位：分)与打出电话费s(单位：元)的函数关系如图，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元 C．30元 D．eq \f(40,3)元
A 解析：设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t.当t＝100时，100k1＋20＝100k2，化简得k2－k1＝eq \f(1,5). 当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×eq \f(1,5)－20＝10(元)．
5．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用( )
A．300天B．400天
C．600天D．800天
B 解析：使用n天的平均耗资为eq \f(320 000＋\f(50＋4n＋46n,2),n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(320 000,n)＋2n＋48))元，当且仅当eq \f(320 000,n)＝2n时取得最小值，此时n＝400.
6．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
8 解析：设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(n)≤0.1%，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,20)，
所以nlg eq \f(2,3)≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
7．某食品的保鲜时间y(单位：时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 小时，在22 ℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
24 解析：由已知条件，得192＝eb.又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，所以e11k＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(48,192)))eq \s\up12(eq \f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))＝eq \f(1,2).设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t＝e33k＋b＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝24.
8．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(单位：千克)随时间x(单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
eq \f(190,9) 解析：前10天满足一次函数关系．设为y＝kx＋b.将点(1,10)和点(10,30)的坐标代入函数解析式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq \f(20,9)，b＝eq \f(70,9)，所以y＝eq \f(20,9)x＋eq \f(70,9).当x＝6时，y＝eq \f(190,9).
9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(单位：km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿千瓦·时)之积的0.25倍．若A城供电量为每月20亿千瓦·时，B城供电量为每月10亿千瓦·时．
(1)求x的取值范围．
(2)把月供电总费用y表示成x的函数．
(3)核电站建在距A城多远，才能使月供电总费用y最少？
解：(1)由题意知x的取值范围为[10,90]．
(2)y＝5x2＋eq \f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋eq \f(5,2)(100－x)2＝eq \f(15,2)x2－500x＋25 000＝eq \f(15,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(100,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(50 000,3)，
所以，当x＝eq \f(100,3)时，ymin＝eq \f(50 000,3).
故核电站建在距A城eq \f(100,3) km处，能使月供电总费用y最少．
B组 新高考培优练
10．(多选题)(2020·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f 1(x)＝2x－1，f 2(x)＝x2，f 3(x)＝x，f 4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f 1(x)＝2x－1，f 2(x)＝x2，f 3(x)＝x，f 4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A不正确；
当x＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B不正确．
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
11．汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，则d＝d1＋d2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．
由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d＝av＋b模型；②：d＝av2＋bv；模型③：d＝av＋eq \f(b,v)；模型④：1＝av2＋eq \f(b,v)(其中v为汽车速度，a，b为待定系数)进行拟合如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120 km/h时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是( )
A．d＝av＋bB．d＝av2＋bv
C．d＝av＋eq \f(b,v)D．d＝av2＋eq \f(b,v)
B 解析：若选择模型①，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60a＋b＝35.7，,100a＋b＝85.4，)))解得a＝1.242 5，b＝－38.85.
故d＝1.242 5v－38.85.
当v＝120时，停车距离d的预测值为1.242 5×120－38.85＝110.25.
若选择模型②，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3 600a＋60b＝35.7，,10 000a＋100b＝85.4，)))解得a＝0.006 475，b＝0.206 5.
故d＝0.006 475v2＋0.206 5v.
当v＝120时，停车距离d的预测值为0.006 475×1202＋0.206 5×120＝118.02.
若选择模型③，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60a＋\f(b,60)＝35.7，,100a＋\f(b,100)＝85.7，))解得a＝1.004 375，b＝－1 473.75.
故d＝1.004 375v－eq \f(1 473.75,v).
当v＝120时，停车距离d的预测值为1.004 375×120－eq \f(1 473.75,120)＝108.243 75.
若选择模型④，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3 600a＋\f(b,60)＝35.7，,10 000a＋\f(b,100)＝85.7，))解得a＝eq \f(16.07,1 960)，b＝371.020 41.
故d＝eq \f(16.07,1 960)v2＋eq \f(371.020 41,v).
当v＝120时，停车距离d的预测值为eq \f(16.07,1 960)×1202＋eq \f(371.020 41,120)≈121.157 14.
由实验数据可知当v＝120时，停车距离为118 m．模型②的预测值更接近118 m，故模型②拟合效果最好．
12．(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
(1)130 (2)15 解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价超过120元．又 x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．
(2)设顾客买水果的总价为a元．当0≤a<120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤eq \f(1,8)a 恒成立，x≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)a)) min.又a≥120，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)a))min＝15，所以x≤15.综上可知，0≤x≤15，所以x的最大值为15.
13．(2020·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq \f(1,3)x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋eq \f(100,x)－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得
当0P(x)＝6x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x2＋2x))－2＝－eq \f(1,3)x2＋4x－2，
当x≥8时，
P(x)＝6x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(100,x)－37))－2＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x))).
故P(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)x2＋4x－2，0(2)当0此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．
当x≥8时，P(x)＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq \r(x·\f(100,x))＝15
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x＝\f(100,x)，即x＝10时，取等号)).
此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．
因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
序号
速度(km/h)
停车距离
1
40
17.0
2
50
26.5
3
60
35.7
4
70
46.0
5
80
52.7
6
90
70.7
7
100
85.4
8
110
101.0