2022版新教材高考数学一轮复习8函数的奇偶性与周期性训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习8函数的奇偶性与周期性训练含解析新人教B版，共5页。
八　函数的奇偶性与周期性(建议用时：45分钟)A组　全考点巩固练1．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)A．y＝f(|x|)　　　　　 B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)   D．y＝f(x)＋xBD　解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD.2．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　)A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减A　解析：因为f(x)＝x3－，则f(－x)＝－x3＋＝－f(x)，即f(x)为奇函数．根据幂函数的性质可知，y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，故y1＝在(0，＋∞)上单调递减，y2＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＞0时，f(x)＝x3－单调递增．3．已知函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)A．－3   B．－1   C．1   D．2B　解析：由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2, 所以f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1.故选B.4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝(　　)A．3   B．－3C．2   D．－2B　解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)A.ex－e－x   B.(ex＋e－x)C.(e－x－ex)   D.(ex－e－x)D　解析：因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．6．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．　解析：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.7．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f 的值为_____．ln 2　解析：由已知可得f ＝ln＝－2，所以f ＝f(－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f ＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.8．已知奇函数f(x)的图像关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.2　解析：根据题意，函数f(x)的图像关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12.故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.9．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图像关于原点对称，则a＝________；函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．2　　解析：由函数f(x)的图像关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2.则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝.易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：因为x∈[2,4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0,2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.因为f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．B组　新高考培优练11．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)A．[－1,1]∪[3，＋∞)  B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)  D．[－1,0]∪[1,3]D　解析：f(x)的大致图像如图：当x＞0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≥0，此时此时1≤x≤3，当x≤0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≤0，即得－1≤x≤0，综上，－1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．12．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________.1　解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝. 由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.13．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图像关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．①②③　解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图像关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．14．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f ＝－f 成立．(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期．(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．解：(1)由f ＝－f ，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f ＝－f ＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.