广东省广州市番禺区2020-2021学年高二下学期期中数学试题（word版 含答案）

2020-2021学年第二学期高二数学中段考试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级考生信息填写在答题卡指定位置上

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．

3．非选择题必须用黑色字迹签字第作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．

4．本次考次不准使用计算器等带计算和储存功能的电子产品

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算（    ）

A．     B．     C．     D．

2．设集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

3．已知向量，若，则（    ）

A．    B．    C．3    D．7

4．已知，则在定义域内为增函数的充分不必要条件是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知数列是等差数列，，则前项和中最大的是（    ）

A．    B．或    C．或    D．

6．在第九个“全国交通安全日”当天，某交警大队派出4名男交警和3名女交警到3所学校进行交通安全教育宣传，要求每所学校至少安排2人，且每所学校必须有1名女交警，则不同的安排方法有（    ）

A．216种    B．108种    C．72种    D．36种

7．函数的图象大致为（    ）

A．  B．  C．  D．

8．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，，则双曲线的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多选题〔每题5分，共4题，共20分．漏选无错选得2分，有错选得0分）

9．已知函数，则（    ）

A．函数的最小正周期为       B．的图像关于直线对称

C．的图象关于点对称    D．在区间上有两个极值点

10．已知抛物线的焦点为，过与轴垂直的直线交抛物线于点，则下列说法正确的有（    ）

A．点坐标为    B．抛物线的准线方程为

C．线段长为4     D．直线与抛物线相切

11．如图，已知长方体中，四边形为正方形，分别为的中点．则（    ）

A．                                    B．点四点共面

C．直线与平面所成角的正切值为    D．三棱锥的体积为

12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函效为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（    ）．

A．函数有3个不动点

B．函数至多有两个不动点

C．若定义在上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数

D．若函数在区间上存在不动点，则实数满足（为自然对数的底数）

第II卷（非选择题）

三、填空题（每小划5分，共4题，共20分）

13．如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为___________．

14．正项等比数列满足，且，则该数列的公比的值为______．

15．的展开式中，的系数为_______．（用数字作答）

16．在三棱锥中，平面是线段的中点．三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的求面，若所得截面圆的面积的最小值为，则球的表面积为_________．

四、解答题

17．（本题10分）在中，，再从条件①：；条件②；，这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）角的大小和的面积．

注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分．

18．（本题12分）．已知数列的前项和为，且满足．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）记，求证：数列的前项和．

19．（本题12分）进入2019年夏季以来，猪肉价格持续上涨，在这种情况下，某企业对其400名男职工进行了问卷调查，得到每周购买猪肉的消费情况如频率分布直方图所示：

若每周购买猪肉不低于40元者视为“喜欢吃肉”，否则视为“不喜欢吃肉”．

（Ⅰ）若以每组数据的中点值代替该组数据，求该单位男职工购买猪肉花费的平均数；

（Ⅱ）为了解男职工对猪肉的营养价值方面的知识的掌握程度，在全体男职工中根据“喜欢吃肉”和“不喜欢吃肉”，按照分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行访谈，记这3人中“喜欢吃肉的人数为，求的分布列．

20．（本题12分）如图1，在直角梯形中，，且．现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使，如图2．

（1）求证：平面；

（2）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．

21．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离等于1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点，为中点，直线分别与圆相切于点，求的最小值．

22．（本题12分）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．

2020-2021学年第二学期高二数学中段考试答案

B  D  C  A  B  A  B  D  AD  BC  BCD  BCD

13．85    14．    15．5    16．

17．（1）  （2）；

18．（1）2

（2）略

19．（Ⅰ）（元）

（Ⅱ）

20．由题设，，知，即，又，

面            2分            面，则，        3分

∵直角梯形中，，有，

            4分        而，平面            5分

（2）若，由多面体的体积为，而，

，即            7分        则        8分

过作于，连接，则直线与平面所成角的平面角为        10分

由（1）知：且，而，

，则，又，

∴在中，，则         12分

②方法2：设，

即            7分

分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系        8分

则            9分

设平面法向量为，而

∴由得令得

∴平面一法向量            11分

设直线与平面所成角为．

∴直线与平面所成角的正弦值为        12分

21．【详解】解：（1）直线的方程为

到直线的距离为             2分

而             3分    椭圆的标准方程为        4分

（2）设

            5分

，            6分

            7分                    8分

        9分

令            10分        11分

，            12分

22．解：（1）时，        1分            4分

        3分    在点处的切线方程为        4分

（2）对任意的，使成立，只需任意的        5分

而            6分

①当时，恒成立，函数在上是增函数，        7分

所以只需  而，所以满足题意        8分

②当时，令，解得或            9分

所以（i）当时，在上是增函数，

所以只需  而，所以满足题意        10分

（ii）当时，在上是减涵数，上是增函数，

所以只需即可，而  从而不满足题意；            11分

综上：实数的取值范围为            12分