广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
复数z=2i2+i5的共轭复数z-在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
设f(x)=sinx-csx，则f(x)在x=π4处的导数f'π4=( )
A. 2B. -2C. 0D. 22
将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )
A. 1260B. 120C. 240D. 720
函数f(x)=32x2-lnx的极值点为( )
A. 0，1，-1B. 33C. -33D. 33，-33
满足a，b∈-1,0,1,2且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序
数对(a,b)的个数为( )
A. 14B. 13C. 12D. 10
已知函数y=fx的图象如图所示，
f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列
数值排序正确的是( )
A. 2f'(2)B. 2f'4<2f2C. 2f'2<2f'4D. f4-f2<2f'4<2f'2
一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，
为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )
A. 3Sπ+4B. Sπ+4
C. 2Sπ+4D. 2Sπ+4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
若m为实数，则复数(m2+m-2)+(6-m-m2)i在复平面内所对应的点
可能在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
若复数z=3-5i1-i，则( )
A. z=17B. z的实部与虚部之差为3
C. z=4+iD. z在复平面内对应的点位于第四象限
下列求导正确的是( )
A. (e2x)'=2exB. (3x+1)'=3
C. (2x)'=12xD. (xsinx)'=sinx+xcsx
已知1x-ax2na<2的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中
各项系数和为1024，则下列说法正确的是( )
A. a=1
B. 展开式中偶数项的二项式系数和为512
C. 展开式中第6项的系数最大
D. 展开式中的常数项为45
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的
切线方程为y=-2x+5，则f(2)+f'(2)=_____．
函数f(x)=lg2x在区间[2,4]上的平均变化率是_________．
已知函数f(x)=ax3+bx2+6，其导数f'(x)的图象
如图所示，则函数的极小值是________．
如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划
裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB
是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，
则所裁剪出的等腰梯形面积最大为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
求下列函数的导数：
(1)y=x(x2+1x+1x3)(2)
现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法．
(1)分成3组，一组4本，一组3本，一组2本．
(2)分给3人，一人4本，一人3本，一人2本．
(3)平均分成3组．
用1，2，3，4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列an．
(1)这个数列共有多少项?
(2)若am=341，求m的值．
如图，在半径为3 m的14圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC，
其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成
一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的
边长AB=xm，圆柱的体积为Vm3．
(1)写出体积V关于x的函数关系式,并
指出定义域；
(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形
罐子的体积V最大?最大体积是多少?
已知在(x-23x)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3．
(1)求展开式中的所有有理项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项；
(3)求n+9C n2+81C n3+…+9n-1C nn的值．
已知函数f(x)=12x2-ax-lnx(a∈R)．
(1)若a=2时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)=f(x)+32x2+1，若函数g(x)在[1e,e]上有两个零点，求实数
a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
解：若a=0，b=0则复数a+bi=0为实数，故充分性不成立，
若复数a+bi为纯虚数，则a=0，b≠0，故必要性成立，
故a=0是复数a+bi (a,b∈R)为纯虚数必要不充分条件．
故选B．
2.【答案】C
解：∵z=2i2+i5=-2+i，
∴z-=-2-i，在复平面内对应点为(-2,-1)，在第三象限．
故选：C．
3.【答案】A
解：因为f'(x)=cs x+sin x，
所以f'π4=cs π4+sin π4=2．
故选A．
4.【答案】D
解：相当于3个元素排10个位置，有A 103=720(种)不同的分法．
故选D．
5.【答案】B
解：由已知，得f(x)的定义域为(0,+∞)，
f'(x)=3x-1x=3x2-1x，
令f'(x)=0，得x=33(x=-33舍去)．
当x>33时，f'(x)>0；
当0所以当x=33时，f(x)取得极小值．
从而f(x)的极小值点为x=33，无极大值点，
故选B．
6.【答案】B
解：当a=0时，易知满足题意的(a,b)有4个;
当a≠0时，需Δ=4-4ab≥0，即ab≤1，
当a=-1时，b的取值有4个，
当a=1时，b的取值有3个，
当a=2时，b的取值有2个，所以满足题意的(a,b)有9个．
综上，满足题意的有序数对(a,b)的个数为4+9=13，
故选B．
7.【答案】A
解：由函数fx的图像可知：当x≥2时，fx单调递增，
∴f'(2)>0，f'(4)>0，f(4)-f(2)>0，
而f'(2)，f'(4)分别代表在x=2，x=4处的切线的斜率，f(4)-f(2)4-2可以看成割线的斜率，
由图可知．
即2f'(2)故选A．
8.【答案】C
解：设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h，则，，
∴窗户的周长，
，由L'=0，得，
时，L'<0，时，L'>0，
∴当时，L取最小值，
故选C．
9.【答案】ABD
解：若m为实数，
则复数(m2+m-2)+(6-m-m2)i的实部为m2+m-2，虚部为6-m-m2．
因为实部与虚部相加为m2+m-2+6-m-m2=4>0，
所以该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，
即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除C;
取m=0，则m2+m-2=-2<06-m-m2=6>0，
所以该复数在复平面内对应的点在第二象限，可选B;
取m=2，则m2+m-2=2>06-m-m2=6-2-2=4-2>0，
所以该复数在复平面内对应的点在第一象限，可选A;
取m=3，则m2+m-2=9+3-2=10>06-m-m2=6-3-9=-6<0，
所以该复数在复平面内对应的点在第四象限，可选D．
故选ABD．
10.【答案】ACD
解：因为z=3-5i1-i=3-5i1+i1-i1+i=4-i，所以z的实部与虚部分别为4，-1，
所以z=42+-12=17，z的实部与虚部之差为5，z=4+i，
z在复平面内对应的点为4,-1，位于第四象限．
故ACD正确，B错误．
故选ACD．
11.【答案】BCD
解：选项A，因为(e2x)'=2e2x，所以错误；
选项B，因为(3x+1)'=3+0=3，所以正确；
选项C，(2x)'=2x12'=2×12x-12=12x，所以正确；
选项D，(xsin x)'=x'sin x+xsin x'=sinx+xcsx，所以正确．故选BCD．
12.【答案】BCD
解：由题意，Cn2=nn-12=45，所以n=10(负值舍去)，
又展开式中各项系数之和为1024，所以1-a10=1024，所以a=-1，故A错误；
偶数项的二项式系数和为12×210=12×1024=512，故B正确；
1x+x210展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
1x+x210的展开式的通项Tr+1=C10rx-1210-r⋅x2r=C10rx5r2-5，
令5r2-5=0，解得r=2，所以常数项为C102=45，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】-1
解：∵函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是y=-2x+5，
∴f'(2)=-2，f(2)=-4+5=1，
∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1．
故答案为-1．
14.【答案】12
【解答】解：函数的平均变化率是f(4)-f(2)4-2=2-12=12．
故答案为12．
15.【答案】6
解：依题意f'(x)=3ax2+2bx．
由题图象可知，当x<0或x>2时，f'(x)<0，
当00，
∴函数f(x)在(-∞,0)，(2,+∞)单调递减，在(0,2)单调递增，
故x=0时函数f(x)取极小值f(0)=6．
故答案为6．
16.【答案】33
解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．
设∠AOD=θ(θ∈(0,π2))．
OE=2csθ，DE=2sinθ．
可得CD=2OE=4csθ，
∴梯形ABCD的面积S=12(4+4csθ)×2sinθ
=4sinθ(1+csθ)，
S2=16sin2θ(1+2csθ+cs2θ)
=16(1-cs2θ)(1+2csθ+cs2θ)
令csθ=t∈(0,1)．
则S2=16(1-t2)(1+2t+t2)=f(t)．
则f'(t)=-32(t+1)2(2t-1)．
f'(t)>0，t∈0,12，则f(t)单调递增；
f'(t)<0，t∈12,1，则f(t)单调递减；
可知：当且仅当t=12时，f(t)取得最大值：
f(12)=16×34×94=27．
因此S的最大值为：33．
故答案为33．
17.【答案】(1)解：∵y=x(x2+1x+1x3)=x3+1+1x2，
∴y'=3x2-2x3．
(2)解：．
18.【答案】解：(1)分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本有 C94种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本有 C53种方法；
第三步：剩下的书有 C22种方法，
∴共有不同的分法有 C94C53C22=1260(种).
(2)分两步完成：
第一步：将4本、3本、2本分成三组有 C94C53C22种方法；
第二步：将分成的三组书分给三个人，有 A33种方法，
∴共有 C94C53C22A33=7560(种).
(3)用与(1)相同的方法求解，得 C93C63C33A33=16×1680=280(种).
19.【答案】解：(1)由题意，知这个数列的项数就是由1，2，3，4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．
由于每个数位上的数都有4种取法，
由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数有4×4×4=64(个)，
即数列an共有64项．
(2)比341小的数分为两类：
第一类，百位上的数是1或2，有2×4×4=32(个);
第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1，2，3中的任一个，个位上的数可以是1，2，3，4中的任一个，有3×4=12(个)．
所以比341小的数共有32+12=44(个)，
因出341是这个数列的第45项即m=45
20.【答案】解：(1)连接OB，在Rt△OAB中，
∵AB=x，∴OA=9-x2，
设圆柱底面半径为r，则9-x2=2πr，即4π2r2=9-x2，
∴V=πr2⋅x=9x-x34π，其中0(2)由V'=9-3x24π=0及0所以当x=3时，V有极大值，也是最大值为332π．
答：当x为3m时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是332πm3．
21.【答案】解：(1)由Cn4(-2)4∶Cn2(-2)2=56∶3，解得n=10，
因为通项Tr+1=C10r(x)10-r(-23x)r
=(-2)rC10rx5-56r，r=0，1，2，…，10.
当5-5r6为整数时，r可取0，6，
于是有理项为T1=x5和T7=13 440；
(2)设第r+1项系数的绝对值最大，则
C10r2r⩾C10r-12r-1C10r2r⩾C10r+12r+1，解得r⩽223r⩾193，
又因为r∈{1,2，3，…，9}，所以r=7，当r=7时，T8=-15360x-56，
又因为当r=0时，T1=x5，
当r=10时，T11=(-2)10x-103=1024x-103，
所以系数的绝对值最大的项为T8=-15360x-56；
(3)原式=10+9C 102+81C103+…+910-1C1010
=9C101+92C102+93C103+…+910C10109=C100+9C101+92C102+93C103+…+910C1010-19
=(1+9)10-19=1010-19.
22.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=12x2-2x-lnx，定义域为(0,+∞)，
则f'(x)=x-2-1x=x2-2x-1x，
令f'(x)=0，解得x=2+1，或x=-2+1(舍去)，
所以当x∈(0,2+1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2+1,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
故函数的单调递减区间为(0,2+1)，单调递增区间为(2+1,+∞)．
(2)设g(x)=f(x)+32x2+1=2x2-ax+1-lnx，
函数g(x)在[1e,e]上有两个零点等价于a=2x+1x-lnxx在[1e,e]上有两解，
令h(x)=2x+1x-lnxx，x∈[1e,e]，
则h'(x)=2x2-2+lnxx2，
令t(x)=2x2-2+lnx，x∈[1e,e]，
显然，t(x)在区间[1e,e]上单调递增，
又t(1)=0，
所以当x∈[1e,1)时，有t(x)<0，即h'(x)<0，
当x∈(1,e]时，有t(x)>0，即h'(x)>0，
所以h(x)在区间[1e,1)上单调递减，在区间(1,e]上单调递增，
则h(x)min=h(1)=3，h1e=2e+2e，he=2e，
由方程a=2x+1x-lnxx在[1e,e]上有两解及h(1e)>h(e)，
可得实数a的取值范围是(3,2e]．
x
(0,3))
3
(3,3)
V'
+
0
-
V
极大值