中考专项6 证明圆的切线悟“三招”含答案

这是一份中考专项6 证明圆的切线悟“三招”含答案，共6页。
类型1　见半径，证垂直1．如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB的延长线与AC的延长线交于点M，∠BOC＝∠APB.求证：PB是⊙O的切线．证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO＝90°.∵∠BOC＋∠AOB＝180°，且∠BOC＝∠APB，∴∠APB＋∠AOB＝180°，∴在四边形AOBP中，∠OBP＝360°－90°－180°＝90°，∴OB⊥PB.∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．2．如图，AB是⊙O的直径，C为的中点，延长AC到点D，使CD＝AC，连结BD.[来源:学科网ZXXK](1)求∠A的度数；[来源:Z,xx,k.Com](2)求证：BD与⊙O相切．解：(1)连结OC.∵AB是⊙O的直径，C为的中点，∴∠BOC＝90°.∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝45°.(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CD，∴OC∥BD，∴∠BOC＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°－∠BOC＝90°，∴AB⊥BD.∵点B在⊙O上，∴BD与⊙O相切．类型2　连半径，证垂直3．(2019·湖南邵阳二模)如图，AB是⊙O的直径，圆心为点O，点C为⊙O上一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC＝MD.求证：MC为⊙O的切线．证明：如图，连结OC.∵MC＝MD，OA＝OC，∴∠MCD＝∠MDC，∠A＝∠OCD.∵MO⊥AB，∴∠A＋∠ADO＝90°.又∠ADO＝∠MDC，∴∠MCD＋∠A＝90°，即∠MCD＋∠DCO＝90°，∴OC⊥MC，∴MC为⊙O的切线．4．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．解：(1)证明：如图，连结OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．(2)如图，过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝AC＝3，[来源:学科网ZXXK]∴OF＝＝＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.[来源:Zxxk.Com]5．如图，已知⊙O的半径为4，OA为半径，CD为弦，OA与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连结PC.(1)求CD的长；(2)求证：PC是⊙O的切线．解：(1)如图，连结OC.∵弧CD沿CD翻折后，点A与点O重合，∴OM＝OA＝2，CD⊥OA.∵OC＝4，∴CD＝2CM＝2＝2×＝4.(2)证明：∵PA＝OA＝4，AM＝OM＝2，CM＝2，∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝＝4.∵OC＝4，PO＝4＋4＝8，∴PC2＋OC2＝(4)2＋42＝82＝PO2，∴∠PCO＝90°.∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．6．如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半径．解：(1)证明：如图，连结AD，OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵E是AC的中点，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO.∵AB⊥AC，∴∠EAO＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE为⊙O的切线．(2)∵DE为⊙O的切线，AB为直径，∴∠ODF＝∠FDB＋∠ODB＝∠FAD＋∠OBD＝90°.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠FDB＝∠FAD.∵tan∠BDF＝，∴tan∠FAD＝＝.又∵∠F为公共角，∴△FDB∽△FAD，∴＝＝＝.又∵BF＝2，∴DF＝4，AF＝8.∴AB＝AF－BF＝8－2＝6.∴⊙O的半径是3.类型3　作垂直，证半径7．(2018·北京通州区三模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.求证：CD与⊙O相切．证明：如图，过点O作OG⊥DC，垂足为G.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴OA⊥AD.∴∠OAD＝∠OGD＝90°.∵OD平分∠ADC，∴OA＝OG.∴DC是⊙O的切线，即CD与⊙O相切．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；(2)若cos∠ABC＝，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．解：(1)证明：如图，作OE⊥AB于点E，连结OD，则OD⊥AC.∵AB＝AC，O为BC的中点，[来源:学_科_网]∴∠CAO＝∠BAO.∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴OD＝OE.∵点D在圆上，∴AB是半圆O所在圆的切线．(2)由cos∠ABC＝，AB＝12，得OB＝8.由勾股定理，得AO＝＝4.由三角形的面积，得S△AOB＝AB·OE＝OB·AO，解得OE＝＝，∴半圆O所在圆的半径是.