2023年中考数学总复习专项突破——关于圆的切线的证明题

这是一份2023年中考数学总复习专项突破——关于圆的切线的证明题，共25页。试卷主要包含了求阴影部分的面积等内容，欢迎下载使用。
 2023年中考数学总复习专项突破——关于圆的切线的证明题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．2．如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，连接CO，并延长CO与AB的延长线交于点D，与交于点F，连接AC．（1）求证：AC为的切线：（2）若半径为2，．求阴影部分的面积．3．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB与CD交于点M，点E在AD的延长线上，且∠BED＝∠ACD．（1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD∥BE，AC＝4，AM＝CD，求BD的长．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若∠B=30°，AC=4，求阴影部分的面积．5．AB是⊙O的直径，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．  （1）求证：CD是⊙O的切线；  （2）若AB=2 ，求BC的长．  6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.（1）求证：AE是⊙O的切线；   （2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径.   7．如图，在 ▱ ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E，F分别在AC，BC，AB边上，以AF为直径的⊙O恰好经过D，E，且DE=EF．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若∠B=40°，求∠CDE的度数；（3）若CD=2，CE=4，求⊙O的半径及线段BE的长．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心作⊙A与BC相切于D，交AB于点F，在BC上取点E，使CE＝AC，连接EA，EF．（1）求证：EF是⊙A的切线；（2）若BE＝5，EF＝4，求点C到EA的距离．10．如图，在 中， ，以 为直径的 与边 相交于点 ，与边 相交于点 ， ，垂足为点 ，连接 .  （1）求证： 与 相切；   （2）若 ， 的半径 ，求 的长.   11．如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点， 为弦 延长线上一点，连接 并延长交直径 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，若 ．  （1）求证： 是 的切线；  （2）若 的半径为8， ，求 的长．  12．已知：如图， 为 的直径， ， 交 于D，E是 的中点， 与 的延长线相交于点F．  （1）求证： 为 的切线；  （2）求证： ．  13．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长．14．已知：如图，在矩形 中，若 ，以 为圆心， 长为半径作 交 的延长线于 ，过 作 ，垂足为 ，且 . （1）求证： 是 的切线；（2）求 的长.15．如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；（2）若cos∠ABC= ，AB=12，求半圆O所在圆的半径．16．已知：如图，在△ABC中， ，以 为直径的⊙O与 交于点 ， ，垂足为 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．  （1）求证： 是⊙O的切线.   （2）若⊙O的半径为4， ，求 的长．  
答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2 ，∴⊙D的半径AD＝2 ．2．【答案】（1）解：如图，连接OB，∵AB是的切线，∴，即，∵BC是弦，，∴，∴，在和中，，∴，∴，即，∴AC是的切线；（2）解：在中，由勾股定理得，，，在中，，∴，∴，∴，∴．3．【答案】（1）解： BE与⊙O相切．理由：∵∠BED＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BED．∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°．∴∠BED+∠DBE＝90°．∴∠ABD+∠DBE＝90°．即：AB⊥BE．∴BE与⊙O相切．（2）解：∵AB⊥BE，CD∥BE，∴AB⊥CD．∵AB为⊙O直径，∴CM＝MD＝CD．∵AM＝CD，∴CM＝MD＝AM．设CM＝x，则AM＝2x．在Rt△ACM中，∵AM2+CM2＝AC2，∴．解得：x＝±4（负数不合题意，舍去）．∴CM＝DM＝4，AM＝8．∴cos∠CAM＝．∵∠BDM＝∠CAM，∴cos∠BDM＝．在Rt△BDM中，∵cos∠BDM＝=，∴BD＝2．4．【答案】（1）证明：连接OD、CD， ∵OC=OD，∴ ∠OCD=∠ODC， 又∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴△ACD是直角三角形， 又∵点E是斜边AC的中点，∴EC=ED，∴ ∠ECD=∠EDC ，又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，∴直线DE是⊙O的切线（2）解；由（1）得∠ODF=90°， ∵ ∠B=30°， ∴∠DOF=60°，∴∠F=30°， ∵在Rt△ABC中，AC=4，∴AB=8， ， ， ，∴在Rt△ODF中， ， 阴影部分的面积   ．5．【答案】（1）证明：连接DO，  ∵AO=DO，∴∠DAO=∠ADO=22.5°．∴∠DOC=45°．又∵∠ACD=2∠DAB，∴∠ACD=∠DOC=45°．∴∠ODC=90°．又 OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线（2）解：连接DB，  ∵直径AB=2 ，△OCD为等腰直角三角形，∴CD=OD= ，OC= =2，∴BC=OC﹣OB=2﹣ ．6．【答案】（1）证明：连结OA.  ∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD.∵DA平分∠BDE，∴∠ODA=∠EDA.∴∠OAD=∠EDA，∴EC∥OA. ∵AE⊥CD，∴OA⊥AE.∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F.
 ∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
 ∴四边形AOFE是矩形.
 ∴OF=AE=8cm.
 又∵OF⊥CD，
 ∴DF= CD=6cm.在Rt△ODF中， =10cm，即⊙O的半径为10cm.7．【答案】（1）证明：连接OB ∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°= 90°∴OB⊥CE∵OB是半径   ∴EC是⊙O的切线．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BC=AD=2过O作OH⊥AM于H则四边形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等边三角形∴∠AOM＝60°∴．8．【答案】（1）证明：连接OD、OE、DF，如图，∵AF为直径，∴∠ADF=90°，而∠C=90°，∴DF∥BC，∵DE=EF，∴ = ∴OE⊥DF，∴OE⊥BC，∴BC为⊙O的切线（2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°，∴∠BOE=90°﹣40°=50°，∴∠OFE= （180°﹣50°）=65°，∴∠CDE=∠AFE=65°（3）解：易得四边形CDHE为矩形，∴HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，在Rt△OHD中，（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，∵OH⊥DF，∴HF=DH=4，∵HF∥BE，∴△OHF∽△OEB，∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，∴BE= 9．【答案】（1）证明：连接AD， ∵⊙A与BC相切于D，∴∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE＝90°，∴CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠DAE＝∠BAE，∵AF＝AD，AE＝AE，∴△AFE≌△ADE（SAS），∴∠ADE＝∠AFE＝90°，∵AF是⊙A的半径，∴EF是⊙A的切线；（2）解：过点C作CG⊥AE，垂足为G， 在Rt△BFE中，BE＝5，EF＝4，∴BF＝ ＝3，∵△AFE≌△ADE，∴EF＝DE＝4，∴BD＝BE+DE＝9，在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，∴AD2+81＝（AF+3）2，∴AD＝AF＝12，∴AE＝ ∵CA＝CE，CG⊥AE，∴EG＝ AE＝2 ，∵∠ADE＝∠CGE＝90°，∠AED＝∠CEG，∴△AED∽△CEG，∴∴∴CG＝6 ，∴点C到EA的距离为6 ．10．【答案】（1）证明：连接 ∵ 为 的直径，∴∴又∵∴∵∴∴∴∴∵∴∴∴∴ 与 相切（2）解：过 作 于 ，   可得四边形 是矩形，∴ ， 又∵ ， ，∴ ，在 中， ∴ ，∴11．【答案】（1）解：证明：连接OE，如图， ∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是 的半径∴EF是圆的切线，（2）∵CD⊥AB ∴ 是直角三角形∵∴设 ，则 由勾股定理得， 由（1）得， 是直角三角形∴∴ ，即 ∵∴解得， 12．【答案】（1）证明：连 ， ，如图所示，    为 的直径，  是 的中点，       ，即 ， 为 的切线（2）证明：   为 的切线，    为 的直径， ，又 为公共角  13．【答案】（1）证明：连结OD∵∠ACB＝90°，∴∠OED+∠EGC＝90°，∴OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD ，∵∠AGD＝∠EGC，∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，∴OD⊥AB ，∵OD为半径，∴AB是⊙O的切线（2）解：连接OF．∵EF∥AB，AC：BC＝4：3，∴CF：CE＝4：3．又∵EF＝5，∴CF＝4，CE＝3．设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r－3．在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝ ．∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∴△CEF∽△DBO，∴ ＝ ，∴BD＝ ．14．【答案】（1）证明：∵ 是矩形 ∴ ，即 ∵CD是 的半径∴ 是 的切线.（2）解：∵ ，即 ∴∵ ， ∴∴∵四边形 是矩形∴∴∴∴ ，即 ∴∴15．【答案】（1）证明：如图1 ，作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，∵AB=AC，O为BC的中点，∴∠CAO=∠BAO．∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，∴OD=OE，∵AB经过圆O半径的外端，∴AB是半圆O所在圆的切线；（2）解：cos∠ABC= ，AB=12，得  OB=8．由勾股定理，得AO= =4 ．由三角形的面积，得S△AOB= AB•OE= OB•AO，OE= = ，半圆O所在圆的半径是 16．【答案】（1）证明：如图，连接OD  ∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵OD=OC，∴∠ODC=∠ACB，∴∠B=∠ODC，∴OD//AB，∴∠ODF=∠AEF=90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.（2）解：∵∠F=30°，OD=4，OD⊥EF，  ∴OF=2OD=8，∴AF=OF+OA=8+4=12，DF= = ，∴AE= AF=6，EF= = ，∴DE=EF-DF= - =