04-专项综合全练（四）圆的切线的证明

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、专项综合全练(四)圆的切线的证明类型一　见半径证垂直1.(2020福建福州闽侯模拟)如图24-6-1,△ABC中,AB=AC,∠ACB=45°,AD⊥BC,☉O经过A,C,D三点,求证:AB是☉O的切线.图24-6-1        2.(2021河北保定阜平期中)如图24-6-2,AB为☉O的直径,C是☉O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.(1)CD与☉O相切吗?如果相切,请你加以证明;如果不相切,请说明理由.(2)若CD与☉O相切,且∠D=30°,BD=10,求☉O的半径.图24-6-2        类型二　连半径证垂直3.(2021湖北襄阳南漳期末)如图24-6-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O与AB边交于点D,E为BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若AC=BC,判断四边形OCED的形状,并说明理由.图24-6-3        4.(2017福建中考)如图24-6-4,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.(1)若AB=4,求的长;(2)若=,AD=AP,求证:PD是☉O的切线.图24-6-4        5.(2021辽宁抚顺新宾期末)如图24-6-5,在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OB的长为半径的☉O与AB,BD分别交于点E,F,连接DE,且∠ADE=∠BDC.(1)判断直线DE与☉O的位置关系,并证明你的结论;(2)若BC=6,CD=8,AE=4.5,求☉O的半径.图24-6-5 6.(2018辽宁辽阳中考)如图24-6-6,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,OF⊥AB,交AC于点F,点E在AB的延长线上,射线EM经过点C,且∠ACE+∠AFO=180°.(1)求证:EM是☉O的切线;(2)若∠A=∠E,BC=,求阴影部分的面积.(结果保留π和根号)图24-6-6类型三　作垂直证半径7.如图24-6-7,△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证:AC与☉D相切.图24-6-7  8.如图24-6-8,AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求OD的长.图24-6-8                 专项综合全练(四)圆的切线的证明1.证明　∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴AC为☉O的直径.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BAC=90°,∴AC⊥BA.∴AB是☉O的切线.2.解析　(1)CD与☉O相切.证明:∵AB为☉O的直径,C是☉O上一点,∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°.∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,又∠DCB=∠A,∴∠OCA=∠DCB,∴∠DCB+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,∴CD是☉O的切线.(2)在Rt△OCD中,∠D=30°,∴∠COD=60°,∴∠A=30°,∴∠BCD=30°,即∠BCD=∠D,∴BC=BD=10,∴在Rt△ACB中,AB=2BC=20,∴☉O的半径为10.3.解析　(1)证明:如图,连接OD、CD,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵AC为☉O的直径,∴∠CDA=90°,∴∠CDB=90°.∵E为BC的中点,∴DE=CE,∴∠ECD=∠EDC,∴∠OCD+∠ECD=∠ODC+∠EDC=90°,∴∠ODE=∠ACB=90°,即OD⊥DE.又∵D在☉O上,∴DE与☉O相切.(2)四边形OCED为正方形.理由:∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=45°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=45°,∴∠COD=∠A+∠ODA=90°.∵四边形OCED中,∠COD=∠ODE=∠OCE=90°,且OC=OD,∴四边形OCED为正方形.4.解析　(1)如图,连接OC,OD.∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°.∵AB=4,∴OC=AB=2.∴的长==π.(2)证明:∵=,∴∠BOC=∠AOD.∵∠COD=90°,∴∠AOD==45°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∴∠ODA==67.5°.∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD.∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∴∠ADP=∠CAD=22.5°.∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°.又∵OD是☉O的半径,∴PD是☉O的切线.5.解析　(1)直线DE与☉O相切.证明:连接OE,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠EBD=∠BDC.∵OB=OE,∴∠EBD=∠BEO.∵∠ADE=∠BDC,∴∠BEO=∠EBD=∠BDC=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠AED+∠ADE=90°,∴∠AED+∠BEO=∠AED+∠ADE=90°,∴∠OED=180°-(∠AED+∠BEO)=180°-90°=90°,即OE⊥ED.∵OE为半径,∴直线DE与☉O相切.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=90°.在Rt△DCB中,∠C=90°,∴BD===10.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=6.在Rt△ADE中,∠A=90°,∴ED===.设☉O的半径为R,在Rt△DOE中,DO2=DE2+OE2,即(10-R)2=+R2,解得R=,即☉O的半径是.6.解析　(1)证明:如图,连接OC,∵OF⊥AB,∴∠AOF=90°,∵∠A+∠AFO+90°=180°,∠ACE+∠AFO=180°,∴∠ACE=90°+∠A.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE,∴∠OCE=90°,∴OC⊥CE,∴EM是☉O的切线.(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,又∠OCE=∠BCE+∠BCO=90°,∴∠ACO=∠BCE.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵∠A=∠E,∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E,∴∠ABC=∠BCE+∠E=2∠A,∴∠A=30°,∴∠BOC=60°,∴△BOC是等边三角形,∴OB=BC=,∴S阴影=S扇形COB-S△OCB=-×()2=π-.7.证明　连接DE,作DF⊥AC于F,则∠DFC=90°.∵AB与☉D相切于点E,∴∠BED=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵D为BC的中点,∴BD=CD.∴△BED≌△CFD.∴DF=DE.∴AC与☉D相切.8.解析　(1)证明:如图,过O点作OE⊥CD于点E,∵AM切☉O于点A,∴OA⊥AD.∵DO平分∠ADC,∴OE=OA.∵OA为☉O的半径,∴OE是☉O的半径,又OE⊥DC,∴CD是☉O的切线.(2)如图,过D作DF⊥BC于F,∵AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴四边形ABFD为矩形,∴BF=AD=4,∴CF=BC-BF=5.∵DC、AM、BC为圆的切线,∴DE=DA=4,CE=CB=9,∴DC=DE+CE=13.在Rt△DCF中,DF==12,∴AB=12,∴OA=6,在Rt△OAD中,OD===2.