2019-2020学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（下）期中数学试卷，共29页。
2019-2020学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．（3分）在数3，，0，﹣3中，与﹣3的差为0的数是（　　）
A．3 B． C．0 D．﹣3
2．（3分）下面的四个汉字可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）面对新冠肺炎疫情对经济运行的冲击，中国人民银行营业管理部（中国人民银行总行在京派驻机构）与相关部门多方动员，合力推动辖内9家全国性银行北京分行和3家地方法人银行为疫情防控重点企业提供优惠利率贷款，有力有序推动企业复工复产．截至2020年4月2日，已发放优惠利率贷款573笔，金额280亿元．将280亿元用科学记数法表示应为（　　）
A．28×109元 B．2.8×109元 C．2.8×1010元 D．2.8×1011元
4．（3分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将其中的一个小正方体①去掉，则三视图不发生改变的是（　　）

A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图和左视图
5．（3分）如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，那么n的值是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．+＝ B．＝﹣a
C．m•m3＝m2 D．（﹣5）﹣3÷（﹣5）﹣4＝﹣5
7．明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）小王在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100元的3张，50元的9张，10元的23张，5元的10张．在这些不同面额的钞票中，众数是（　　）
A．100 B．23 C．50 D．10
9．（3分）如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B． C．3 D．
10．（3分）如图：C，D是线段AB上两点，P是线段CD上的动点，分别以AP，BP为边在AB同侧作两个等边△APE，△BPF，M是EF的中点，已知AB＝20，AC＝BD＝2，当P从C运动到D时（无重复运动），M点的运动路径长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
二．填空题（共6小题）
11．（﹣﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°的值为　 　．
12．（3分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中68名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　 　人．
13．（3分）一只蜗牛在数轴上爬行，从原点出发爬行2个单位长度到达终点，那么这个终点表示的数值是　 　．
14．（3分）一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转30°，得到△ADE，点B经过的路径为，点C经过的路径为，则图中阴影部分的面积为　 　．

16．已知双曲线y＝与直线y＝x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则的值是　 　．

三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示，然后写出它的所有整数解．
18．（8分）如图，BD为▱ABCD的对角线，AE∥CF，点E、F在BD上．求证：BE＝DF．

19．（8分）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝3tan30°+3．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请用尺规作图法，作∠ACB的平分线CD，交AB于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．

21．（8分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．

23．（10分）某生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出售，如果当天卖不完，剩余的只有倒掉．店主记录了30天的日需求量（单位：瓶），整理得下表：
日需求量
26
27
28
29
30
频数
5
8
7
6
4
（1）求这30天内日需求量的众数；
（2）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润（单位：元）的平均数；
（3）以30记录的各需求量的频率作为各需求是发生的概率．若鲜奶店每天购进28瓶，求在这记录的30天内日利润不低于81元的概率．
24．（12分）如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；
（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．

25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）（x+1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣），连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点E为第二象限抛物线上的一动点，EF∥BC，直线EF与抛物线交于点F，设直线EF的表达式为y＝kx+b．
①如图①，直线y＝kx+b与抛物线对称轴交于点G，若△DGF∽△BDC，求k、b的值；
②如图②，直线y＝kx+b与y轴交于点M，与直线y＝x交于点N，若﹣＝，求b的值．


2019-2020学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）在数3，，0，﹣3中，与﹣3的差为0的数是（　　）
A．3 B． C．0 D．﹣3
【分析】与﹣3的差为0的数就是0+（﹣3），据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：0+（﹣3）＝﹣3，
则与﹣3的差为0的数是﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的运算．熟练掌握有理数减法法则是解本题的关键．
2．（3分）下面的四个汉字可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选：A．
【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．
3．（3分）面对新冠肺炎疫情对经济运行的冲击，中国人民银行营业管理部（中国人民银行总行在京派驻机构）与相关部门多方动员，合力推动辖内9家全国性银行北京分行和3家地方法人银行为疫情防控重点企业提供优惠利率贷款，有力有序推动企业复工复产．截至2020年4月2日，已发放优惠利率贷款573笔，金额280亿元．将280亿元用科学记数法表示应为（　　）
A．28×109元 B．2.8×109元 C．2.8×1010元 D．2.8×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：280亿＝280 0000 0000＝2.8×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将其中的一个小正方体①去掉，则三视图不发生改变的是（　　）

A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图和左视图
【分析】利用结合体的形状，结合三视图可得出主视图没有发生变化．
【解答】解：．主视图由原来的三列变为两列；
俯视图由原来的三列变为两列；
左视图不变，依然是两列，左起第一列是两个小正方形，第二列底层是一个小正方形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
5．（3分）如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，那么n的值是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得2x+x＝180°，
解得x＝60°，
360÷60°＝6．
故n的值是6．
故选：B．
【点评】本题考查的是多边形内、外角的知识，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键．
6．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．+＝ B．＝﹣a
C．m•m3＝m2 D．（﹣5）﹣3÷（﹣5）﹣4＝﹣5
【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、二次根式的加法法则和性质进行计算即可．
【解答】解：A、和不能合并，故原题计算错误；
B、＝|a|，故原题计算错误；
C、m•m3＝m4，故原题计算错误；
D、（﹣5）﹣3÷（﹣5）﹣4＝﹣5，故原题计算正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘、除法和二次根式的加法和性质，关键是掌握各计算公式和法则．
7．明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由用于生产笔管和笔套的短竹的数量结合生产的笔管总数＝笔套的总数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）小王在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100元的3张，50元的9张，10元的23张，5元的10张．在这些不同面额的钞票中，众数是（　　）
A．100 B．23 C．50 D．10
【分析】根据众数的定义，找到出现次数最多的数即为众数．
【解答】解：在这组数据中，10元出现了23次，出现次数最多，是众数．
故选：D．
【点评】本题考查了众数，掌握一组数据中出现次数最多的数叫做众数．
9．（3分）如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【分析】DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，则ON⊥DE，DE＝2，OD＝OE，∠DOE＝45°，证出△ODM是等腰直角三角形，得出DM＝OM，OE＝OD＝DM，设OM＝DM＝x，则OD＝OE＝x，EM＝OE﹣OM＝（﹣1）x，在Rt△DEM中，由勾股定理得出方程，求出x2＝2+，再由三角形面积关系求出ON即可．
【解答】解：设DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如图所示：
则ON⊥DE，DE＝2，OD＝OE，∠DOE＝＝45°，
∵DM⊥OE，
∴△ODM是等腰直角三角形，
∴DM＝OM，OE＝OD＝DM，
设OM＝DM＝x，则OD＝OE＝x，EM＝OE﹣OM＝（﹣1）x，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+（﹣1）2x2＝22，
解得：x2＝2+，
∵△ODE的面积＝DE×ON＝OE×DM，
∴ON＝＝＝＝+1，
即⊙O的半径为：1+；
故选：B．

【点评】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握正八边形的性质和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）如图：C，D是线段AB上两点，P是线段CD上的动点，分别以AP，BP为边在AB同侧作两个等边△APE，△BPF，M是EF的中点，已知AB＝20，AC＝BD＝2，当P从C运动到D时（无重复运动），M点的运动路径长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】延长AE、BF交于点G，可证；四边形PEGF为平行四边形，根据M是EF的中点，M为PG的中点，可得M运动的轨迹为△GCD的中位线．
【解答】解：如图，

延长AE、BF交于点G，连接GC、GD，PG，
∵△APE，△BPF是等边三角形，
∴∠A＝∠FPB＝60°，
∴AE∥FP，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴PE∥BG，
∴四边形PEGF为平行四边形，
∴GP与EF互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为PG的中点，即在P运动过程中，点M始终为GP的中点，
∴M运动的轨迹为△GCD的中位线．
∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝20﹣2﹣2＝16，
∴△GCD的中位线为CD＝8．
∴M点的运动路径长为8．
故选：A．
【点评】本题考查了轨迹、平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质，确定出点M的运动轨迹为三角形ECD的中位线是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（﹣﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°的值为　2　．
【分析】直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣2×
＝1+2﹣1
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中68名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　1360　人．
【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的人数所占比例即可得．
【解答】解：估计该校喜欢甲图案的学生有2000×＝1360（人），
故答案为：1360．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
13．（3分）一只蜗牛在数轴上爬行，从原点出发爬行2个单位长度到达终点，那么这个终点表示的数值是　2或﹣2　．
【分析】在原点左侧或原点右侧，因此答案为2或﹣2．
【解答】解：从原点出发，向右爬行2个单位长度，得+2，
从原点出发，向左爬行2个单位长度，得﹣2，
故答案为：2或﹣2．
【点评】考查数轴表示数的意义，理解符号、绝对值是确定有理数的两个必要条件．
14．（3分）一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为　98°　．

【分析】根据邻补角得出∠3，进而利用等腰直角三角形得出∠4，应用平行线的性质和四边形的内角和解答即可．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠4＝45°，
∵∠1＝53°，
∴∠3＝127°，
∴∠5＝360°﹣90°﹣45°﹣127°＝98°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠5＝98°，
故答案为：98°
【点评】此题考查等腰直角三角形，关键是根据等腰直角三角形得出∠4＝45°解答．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转30°，得到△ADE，点B经过的路径为，点C经过的路径为，则图中阴影部分的面积为　π　．

【分析】先利用等腰直角三角形的性质计算出AB＝2，再利用旋转的性质得到∠CAE＝∠BAD＝30°，△ADE≌△ABC，接着根据面积的和差得到图中阴影部分的面积═S扇形BAD﹣S扇形CAE，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝2，
∵△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转30°，得到△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝30°，△ADE≌△ABC，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+S扇形BAD﹣（S△ADE+S扇形CAE）
＝S扇形BAD﹣S扇形CAE
＝﹣
＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
16．已知双曲线y＝与直线y＝x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则的值是　1　．

【分析】方法1：由所求的式子联想到勾股定理，故过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设FH＝a，则有OF＝4+a，BF2＝a2+1．易证△AEG∽△BFH，从而有＝＝＝4，就可用a的代数式表示AE2、EF2，然后代入所求的式子就可解决问题；
方法2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，易证△AOG≌△BOF，则有AG＝BF，OG＝OF．根据线段的垂直平分线的性质可得EG＝EF，在Rt△GAE中运用勾股定理可得AG2+AE2＝GE2，然后通过等量代换就可解决问题．
【解答】解1：过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设直线AC与x轴交于点K，如图，

联立，
解得：，．
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣4，﹣1），B（4，1）．
∴AG＝4，OG＝1，OH＝4，BH＝1．
设FH＝a，则有OF＝OH+FH＝4+a，BF2＝FH2+BH2＝a2+1．
∵AC⊥CF，OE⊥OK，
∴∠CFK＝90°﹣∠CKF＝∠OEK．
∵AG⊥y轴，BH⊥x轴，
∴∠AGE＝∠BHF＝90°．
∴△AEG∽△BFH．
∴＝＝＝4．
∴AE2＝16BF2＝16（a2+1），EG＝4FH＝4a．
∴OE＝＝|4a﹣1|．
∴EF2＝（4a﹣1）2+（4+a）2＝17（a2+1）．
∴＝＝1．
故答案为：1．
解2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，如图．

则有∠GAC＝∠FCA＝90°，∠AGO＝∠BFO．
∵双曲线y＝与直线y＝x都关于点O成中心对称，
∴它们的交点也关于点O成中心对称，即OA＝OB．
在△AOG和△BOF中，
，
∴△AOG≌△BOF，
∴AG＝BF，OG＝OF．
∵OE⊥GF，
∴EG＝EF．
∵∠GAC＝90°，
∴AG2+AE2＝GE2，
∴BF2+AE2＝EF2，
∴＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质等知识，而由线段的平方联想到勾股定理是解决本题的关键．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示，然后写出它的所有整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x﹣1）≥4x﹣5，得：x≤2，
解不等式x﹣1＞，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

由数轴知，不等式组的整数解为0、1、2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，BD为▱ABCD的对角线，AE∥CF，点E、F在BD上．求证：BE＝DF．

【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据AAS证明△ABE≌△CDF解答．
19．（8分）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝3tan30°+3．
【分析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，再把x的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵x＝3tan30°+3＝3×+3＝+3，
∴原式＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请用尺规作图法，作∠ACB的平分线CD，交AB于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．

【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法进行作图即可；
（2）要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．
【解答】解：（1）如图所示，CD即为所求；

（2）证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DE＝DF，
∴矩形DECF是正方形．
【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
21．（8分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？
【分析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，
由题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，
3x﹣5═40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，
由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，
解得：y＝20，
∴40﹣y＝40﹣20＝20，
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．
【点评】本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）正确找出等量关系，列出分式方程，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程．
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．

【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°和等边△BEF，可以证明△FAB≌△ECB，进而可得CE＝AF；
（2）延长FA交BE于点G，结合（1）根据三角形的外角定义可得∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，即可求出∠CBE的度数．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵△BEF是等边三角形，
∴FB＝EB，∠FBE＝60°，
∴∠FBE＝∠ABC＝60°，
∴∠FBA＝∠EBC，
∴△FAB≌△ECB（SAS），
∴CE＝AF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
延长FA交BE于点G，

根据三角形的外角定义可知：
∠GAD＝∠AFP+∠APF，
∠BAG＝∠AFB+∠ABF，
∴∠GAD+∠BAG＝∠AFP+∠APF+∠AFB+∠ABF，
∵∠APF＝∠DPE＝46°，∠ABF＝∠CBE，
∴∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，
即120°＝60°+46°+∠CBE，
∴∠CBE＝14°．
答：∠CBE的度数为14°．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
23．（10分）某生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出售，如果当天卖不完，剩余的只有倒掉．店主记录了30天的日需求量（单位：瓶），整理得下表：
日需求量
26
27
28
29
30
频数
5
8
7
6
4
（1）求这30天内日需求量的众数；
（2）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润（单位：元）的平均数；
（3）以30记录的各需求量的频率作为各需求是发生的概率．若鲜奶店每天购进28瓶，求在这记录的30天内日利润不低于81元的概率．
【分析】（1）根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案；
（2）根据平均数的计算公式列式计算即可；
（3）设每天的需求量为x瓶时，日利润不低于81元，根据图表所给出的数据列出算式，求出x的取值范围，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵27出现了8次，出现的次数最多，
∴这30天内日需求量的众数是27，

（2）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，
则这30天的日利润的平均数是：
（72×5+78×8+84×17）÷30＝80.4（元）；

（3）设每天的需求量为x瓶时，日利润不低于81元，根据题意得：
6x﹣28×3≥81，
解得：x≥27.5，
则在这记录的30天内日利润不低于81元的概率为：＝．
【点评】此题考查了众数、加权平均数和利用频率估计概率，掌握这些基本概念才能熟练解题．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（12分）如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；
（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．

【分析】（1）∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，而∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，即可求解；
（2）∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，而∠FBE＝∠GBE，故△FEB∽△EGB，即可求解；
（3）在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BCsinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，求得：r＝；在Rt△CDE中，cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝，即可求解．
【解答】解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，

∵FE＝FG，
∴∠FGE＝∠FEG＝β，
∵H是AB的中点，
∴CH⊥AB，
∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，
∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵CH⊥AB，
∴＝
∴∠CBA＝∠CEB，
∵EF∥BC，
∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，
∴∠FBE＝∠GBE，
∴△FEB∽△EGB，
∴BE2＝BG•BF；

（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，

设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，
在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，
则sinγ＝，cosγ＝，
CH＝BCsinγ＝5×＝3，同理HB＝4；
设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，
即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；
GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，
tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，
则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，
连接DE，则∠CED＝90°，
在Rt△CDE中
cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，
则GE＝CE﹣CG＝﹣＝﹣（）＝，
在△FEG中，cosβ＝＝＝，
解得：FG＝；
∵FH＝FG+GH＝，
∴HM＝FHtan∠F＝×＝；
∵CM＝HM+CH＝，
∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）（x+1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣），连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点E为第二象限抛物线上的一动点，EF∥BC，直线EF与抛物线交于点F，设直线EF的表达式为y＝kx+b．
①如图①，直线y＝kx+b与抛物线对称轴交于点G，若△DGF∽△BDC，求k、b的值；
②如图②，直线y＝kx+b与y轴交于点M，与直线y＝x交于点N，若﹣＝，求b的值．

【分析】（1）将点C的坐标代入y＝a（x﹣3）（x+1）即可求出抛物线的函数表达式；
（2）①如图1，过点F作FN⊥DG，垂足为点N，分别求出点B坐标，直线BC的解析式，即可求出k的值；由点D坐标及△DGF∽△BDC，求出含m的点F的坐标，代入抛物线求出点F的坐标，将点F坐标代入EF的表达式y＝x+b，即可求出b的值；
②如图2，分别过点F、N、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q、S，求出含b的点N坐标，设点E、F的横坐标分别为x1，x2，利用根与系数的关系求x1+x2与x1x2的值，由ES∥NQ∥FP及已知条件推出＝1，可得＝﹣1，即可求出b的值．
【解答】解：（1）将C（0，﹣）代入y＝a（x﹣3）（x+1），
得﹣3a＝﹣，
∴a＝，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣x﹣；

（2）①如图1，过点F作FN⊥DG，垂足为点N，
在y＝（x﹣3）（x+1）中，令y＝0，
得x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝mx﹣，
将点B（3，0）代入y＝mx﹣，
得0＝3m﹣，
∴m＝，
∴直线BC的表达式为y＝x﹣，
∵抛物线y＝（x﹣3）（x+1）的对称轴为x＝1，
∴D（1，0），
∴CD＝＝2，
∴CD＝BD＝2，
在Rt△COD 中，tan∠ODC＝，
∴∠ODC＝60°，∠CDB＝120°，
∵△DGF∽△BDC，
∴DG＝FG，∠DGF＝120°，
设DG＝FG＝2m，
在Rt△NGF中，∠NGF＝60°，FG＝2m，
∴NG＝m，NF＝m，
∴F（1+m，3m），
将点F（1+m，3m）代入y＝（x﹣3）（x+1）中，
得m1＝﹣（不合题意，舍去），m2＝，
∴点F（5，4），
∵EF∥BC，
∴EF的表达式为y＝x+b，
将点F（5，4），代入y＝x+b，
得4＝×5+b，
∴b＝，
∴k＝，b＝；

②如图2，分别过点F、N、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q、S，

联立，
得点N（，），
联立，
得x2﹣3x﹣3﹣b＝0，
设点E、F的横坐标分别为x1，x2，
则，
由ES∥NQ∥FP，
可得△MNQ∽△MES，△MNQ∽△MFP，
∴＝＝，＝，
∵﹣＝，
∴＝1，
∴﹣＝1，
∴＝﹣1，
∴b＝2．

【点评】本题考查了待定系数法求解析式，解直角三角形，直线与抛物线交点的求法，根与系数的关系，相似三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题关键是能够熟练掌握本题所涉及到的各方面的知识并能够灵活运用等．
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