2022-2023学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）开门考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）开门考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）开门考数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）一次函数与轴的交点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 已知的两个根为、，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量个人数人请根据上表，判断下列说法正确的是(    )A. 样本为名学生 B. 众数是个 C. 中位数是个 D. 平均数是个若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    )A.  B.  C.  D. 下面的三个问题中都有两个变量：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，、、、分别是正方形四条边上的点，，则四边形的形状是(    )A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形已知一元二次方程，若，则抛物线必过点(    )A.  B.  C.  D. 已知：点，分别是的边，的中点，如图所示．
求证：，且．
证明：延长到点，使，连接，，，又，则四边形是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
；
即；
四边形是平行四边形；
，且．
则正确的证明顺序应是：(    )A.  B.
C.  D. 三角形然幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字、、、、分别填入如图所示的个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于，则的和是(    )A.
B.
C.
D. 二次函数的最大值为，且，，，，中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是(    )A. 这两点一定是和 B. 这两点一定是和
C. 这两点可能是和 D. 这两点可能是和第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24分）已知是方程的一个根，则的值为______．如图，点是矩形内任一点，若，则图中阴影部分的面积为______．
 如图，将▱沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则▱的周长为______ ．
 已知，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是______．在四边形中，，，，，则的长度为______．
在直角梯形中，为直角，，，，一条动直线交于，交于，且将梯形分为面积相等的两部分，则点到动直线的距离的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解下列方程：
；
．本小题分
如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在边上点不与点重合，连接．
依题意补全图形；
求证：四边形是平行四边形．
本小题分
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
甲、乙两位同学得分的折线图：

丙同学得分：
，，，，，，，，，
甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数根据以上信息，回答下列问题：
求表中的值；
在参加比赛的同学中，如果某同学得分的个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致填“甲”或“乙”；
如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______填“甲”“乙”或“丙”．本小题分
如图，在▱中，，交于点，点，在上，．
求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．
本小题分
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．

请运用上述性质，只用直尺不带刻度作图．
如图，在▱中，为的中点，作的中点．
如图，在由小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作的高．本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
当，时，求抛物线与轴交点的坐标及的值；
点在抛物线上．若，求的取值范围及的取值范围．本小题分
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品原料的单价是原料单价的倍，若用元收购原料会比用元收购原料少生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本元市场调查发现：该产品每盒的售价是元时，每天可以销售盒；每涨价元，每天少销售盒．
求每盒产品的成本成本原料费其他成本；
设每盒产品的售价是元是整数，每天的利润是元，求关于的函数解析式不需要写出自变量的取值范围；
若每盒产品的售价不超过元是大于的常数，且是整数，直接写出每天的最大利润．本小题分
如图，在四边形中，为直角，，点是的中点，于，且，连接交于．
求证：；
若，，求的长．
本小题分
已知二次函数的图象上恰好只有三个点到轴的距离为．
求，应满足的数量关系．
当该二次函数图象经过点时，对于实数，，其中，，，当时，的取值范围恰好是．
若，求，的值．
若存在这样的实数，，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：当时，，
，
即直线与轴的交点坐标为，
故选：．
把代入即可求出直线与轴的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用了直线与轴的交点的纵坐标为求解．
 2.【答案】 【解析】解：的两个根为、，
．
故选：．
根据一元二次方程的根与系数的关系为：即可求解．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 3.【答案】 【解析】解：样本为名学生的编织数量，此选项错误，不符合题意；
B.众数是，此选项错误，不符合题意；
C.共个数据，从小到大排列后位于第个和第个的数据分别是和，
中位数为，此选项错误，不符合题意；
D.平均数为个，此选项正确，符合题意；
故选：．
根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 5.【答案】 【解析】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小，故符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，故符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长的二次函数，故不符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是．
故选：．
根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小判断即可；
根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小判断即可；
根据矩形的面积公式判断即可．
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 6.【答案】 【解析】解：四边形是正方形．
证明：，
．
，
≌≌≌．
，．
四边形是菱形．
，，
．
．
四边形是正方形．
故选：．
通过证明三角形，，，全等，先得出四边形是菱形，再证明四边形中一个内角为，从而得出四边形是正方形．
本题主要考查了正方形的性质和判定．解决本题的关键是得到≌≌≌．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
由于，即自变量为时，函数值为，根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点在抛物线上．
【解答】
解：，
当时，，
点在抛物线．
故选D．  8.【答案】 【解析】证明：延长到点，使，连接，，，
点，分别是的边，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
即，
四边形是平行四边形，
，
，且．
正确的证明顺序是，
故选：．
证出四边形是平行四边形，得出即，则四边形是平行四边形，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理的证明；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：把填入，，三处圈内的三个数之和记为；
，，三处圈内的三个数之和记为；
其余三个圈所填的数位之和为．
显然有，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为，所以有，
，得，
把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得，
联立，，解得，，
则．
故选：．
把填入，，三处圈内的三个数之和记为；，，三处圈内的三个数之和记为；其余三个圈所填的数位之和为结合图形和已知条件得到方程组，进而求得即可．
此题考查了二元一次方程组的应用，数字的变化类，解题要特别注意三角形的顶点的数字的重复使用，能够根据各边的数字之和列方程组求解．
 10.【答案】 【解析】解：二次函数的最大值为，
抛物线开口向下，对称轴为，
A、若和不在该二次函数图象上，则由题意知，，一定在图象上，而时随增大而减小，这与，矛盾，故A不符合题意；
B、若和不在该二次函数图象上，则一定在图象上，而抛物线与轴交点一定在图象上，这样抛物线对称轴为，这与抛物线对称轴为矛盾，故B不符合题意；
C、和可能不在该二次函数图象上，故C符合题意；
D、若和不在该二次函数图象上，则一定在图象上，同理由，故D不符合题意；
故选：．
二次函数的最大值为，说明，对称轴，假设选项成立，逐项判断即可得到答案．
本题考查二次函数图象上点坐标特征，解题的关键是假设选项成立，逐项判断正误．
 11.【答案】 【解析】解：由题意得：
把代入方程中，
则，
，
，
故答案为：．
直接把代入方程，即可求出的值．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解，正确求出的值．
 12.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，
设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则，
矩形的面积；
故答案为：
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，四边形为平行四边形．
．
由折叠可知，
又，
，
，
为等腰三角形．
．
设，则，
，
在中，由三角形内角和定理可知，，
解得：．
由三角形外角定理可得，
故为等腰三角形．
．
，
故平行四边形的周长为．
故答案为：．
由，四边形为平行四边形，折叠的性质可证明为等腰三角形．所以设，则，在中，由三角形内角和定理可知，，解得，由外角定理可证明为等腰三角形．所以故平行四边形的周长为．
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明和为等腰三角形是解题关键．
 14.【答案】 【解析】解：前个数的和为，后个数的和为，个数的平均数为．
故选：．
先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数．
本题考查了平均数的求法，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：以为边作等边，连接并延长至，使，连接、，如图：

，，
是的垂直平分线，
，是中点，
，，，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
是的平分线，
是的垂直平分线，
，
，
，
设，则，，
在中，，
解得或舍去，
，
．
故答案为：．
以为边作等边，连接并延长至，使，连接、，由，，得是的垂直平分线，即有，是中点，证明≌，可得，，可得是等边三角形，根据，知是的垂直平分线，从而，设，则，，在中，，解得，用勾股定理即得．
本题考查四边形综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，本题计算量较大，有一定难度．
 16.【答案】 【解析】解：设、分别是，的中点，

若直线将梯形分为面积相等的两部分，则，

是一个定点
若要到的距离最大，则
此时点到动直线的距离的最大值就是的长
在中，，
．
设、分别是，的中点，若直线将梯形分为面积相等的两部分，则根据梯形的面积公式就可以求出，由此可以得到，并且是一个定点，若要到的距离最大，则，此时点到动直线的距离的最大值就是的长．
此题首先要确定在什么位置时到的距离最大，然后利用勾股定理和梯形的面积公式就可以求出最大值．
 17.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 18.【答案】解：如图所示：

绕点顺时针旋转得到，
≌，，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
四边形是平行四边形． 【解析】根据题目要求作图即可得；
先证，得，据此知，结合，可得．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质、平行四边形的判定及全等三角形的性质等知识点．
 19.【答案】甲  丙 【解析】解：；

甲同学的方差，
乙同学的方差，
，
评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲；

甲同学的最后得分为；
乙同学的最后得分为；
丙同学的最后得分为，
在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．
根据平均数的定义即可求解；
计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；
根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．
本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
 20.【答案】证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形． 【解析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 21.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图，线段即为所求．
 【解析】连接，，，交于点，连接，延长交于点，点即为所求；
作，，交于点，连接，延长交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的重心，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 22.【答案】解：将点，代入抛物线解析式，
，
，
，整理得，，
抛物线的对称轴为直线；
，
，
抛物线与轴交点的坐标为．
，
，
解得，
，
，即．
当时，；
当时，．
的取值范围． 【解析】将点，代入抛物线解析式，再根据得出，再求对称轴即可；
再根据，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
 23.【答案】解：设原料单价为元，则原料单价为元，
根据题意，得，
解得，
，
每盒产品的成本是：元，
答：每盒产品的成本为元；
根据题意，得，
关于的函数解析式为：；
由知，
当时，每天最大利润为元，
当时，每天的最大利润为元． 【解析】根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本原料费其他成本计算每盒产品的成本即可；
根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；
根据中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
 24.【答案】证明：如图，连接，
点是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可证：≌，
，
；

如图，
过点作于，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
根据勾股定理得，，
由知，，
，
，
，
点是的中点，，
，
根据勾股定理得，，
延长，相交于点，
，
≌，
，，
，，
，
∽，
，
，
． 【解析】由“”可证≌，≌，可得，，可得结论；
过点作于，判断出四边形是矩形，得出，，进而求出，结合的结论求出，进而求出，延长，相交于点，得出≌，求出，，再判断出∽，即可求出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
 25.【答案】解：，
抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，
函数图象有各点到轴的距离为，
抛物线顶点纵坐标为，即抛物线顶点为，
将代入得，
．
抛物线经过，
，
，即，
函数解析式为，
抛物线对称轴为直线，，，
函数最小值为，
，
当时，将代入得为最大值，
即，
解得，符合题意．
当时，将代入得为最大值，
解得或舍．
，或．
当时，，
，
，
解得．
当时，，整理得，
抛物线与轴有交点，且时，，
即，
解得，
综上所述，． 【解析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴，由图象上恰好只有三个点到轴的距离为可得顶点坐标，进而求解．
由抛物线经过可得抛物线解析式，从而可得抛物线顶点坐标，由，可得函数最小值，分类讨论，时最大值为，进而求解．
分类讨论，，用含代数式表示的取值范围，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．