中考冲刺-数学-第42课方案设计性问题

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第42课　方案设计型问题
要点梳理　　方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型：　(1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；　(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；　(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案．三种方法　　(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．　　(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理的问题．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．　　(3)动手操作型方案设计问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．
对应巩固训练 1.　某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：　　方案1：所有评委所给分的平均数；　　方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；　　方案3：所有评委所给分的中位数；　　方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．解　(1)方案1最后得分：（1/10）×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：(1/8)×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4.(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．
感悟提高　　通过计算得出各个方案的数值，逐一比较．变式测试1　某通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．　(1)若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下应如何购买；(2)若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量．解　(1)①设商场同时购进甲种型号手机x台，乙种型号手机(40－x)台，则1800x＋600(40－x)＝60000，解得x＝30，∴40－x＝10.∴商场同时购进甲种型号手机30台，乙种型号手机10台．②设商场同时购进甲种型号手机y台，丙种型号手机(40－y)台，则1800y＋1200(40－y)＝60000，解得y＝20，∴40－y＝20.∴商场同时购进甲种型号手机20台，丙种型号手机20台．
③设商场同时购进乙种型号手机z台，丙种型号手机(40－z)台，则600z＋1200(40－z)＝60000，解得z＝－20，不合题意，舍去．(2)设商场购进甲种型号手机a台，乙种型号手机6台，则丙种型号手机(34－a)台，则1800a＋6×600＋1200(34－a)＝60000，解得a＝26.∴商场同时购进甲种型号手机26台，乙种型号手机6台，丙种型号手机8台．设商场购进甲种型号手机b台，乙种型号手机7台，则丙种型号手机(33－b)台，则1800b＋7×600＋1200(33－b)＝60000，解得b＝27.∴商场同时购进甲种型号手机27台，乙种型号手机7台，丙种型号手机6台．设商场购进甲种型号手机c台，乙种型号手机8台，则丙种型号手机(32－c)台，则1800c＋8×600＋1200(32－c)＝60000，解得c＝28.∴商场同时购进甲种型号手机28台，乙种型号手机8台，丙种型号手机4台．
2.　“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．　　(1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？解　(1)设总厂原来每周制作帐篷x千项，分厂原来每周制作帐篷y千顶，则答：在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶．感悟提高 认真审题，设未知数，通过列方程(组)来解答．
变式测试2　(2011·河南) 某旅行社在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元． (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？说明理由； (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？解　(1)设两校人数之和为a.若a＞200，则a＝18000÷75＝240.若100＜a≤200，则a＝18000÷85＝ 不合题意．所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人．
(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人．
3.(2012·广安) 某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．　　 (1)求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ (2)根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？ (3)上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？解　(1)设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元．(2)设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑(396－a)台，由题意得：∵a为正数，∴a＝99，100，101，则电脑依次买：297台，296台，295台．因此该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；方案一：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块．(3)解法一：购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：方案一：295×4000＋101×15000＝2695000(元)；方案一：296×4000＋100×15000＝2684000(元)；方案一：297×4000＋99×15000＝2673000(元)．因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元．解法二：设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，则W＝4000z＋15000(396－z)＝－11000z＋5940000，∵W随z的增大而减小，∴当z＝297时，W有最小值，最小值为2673000(元)．因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．感悟提高　　生活中经常会遇到用不等式组求最佳方案的问题，如问题中涉及到“最低”、“最高”等问题，就可以利用不等(组)来处理．
变式测试3　(2012·铜仁) 为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．　(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？解　(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据题意得方程组：故购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元．(2)设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有(100—x)个，∵ x 为正整数，∴共有4种进货方案．(3)因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，因此选择购A种50件，B种50件，总利润＝50×20＋50×30＝2500(元)，故当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．
变式测试4　(2012·温州) 温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A、B、C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．　(1)当n＝200时，①根据信息填表： ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？　(2)若总运费为5800元，求n的最小值．解　(1)①根据信息填表：
解　∵x为整数，∴x＝40或41或42，∴有三种方案，分别是(i)A地40件，B地80件，C地80件；(ii)A地41件，B地77件，C地82件；(iii)A地42件，B地74件，C地84件．(2)由题意，得30x＋8(n－3x)＋50x＝5800，　　整理，得n＝725－7x.　　∵n－3x≥0，　　∴725－7x－3x≥0，∴x≤72.5，　　又∵x≥0，　　∴0≤x≤72.5且x为整数．　　∵n随x的增大而减少，　　∴当x＝72时，n有最小值为221.