2021年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷

这是一份2021年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）4的相反数是（ ）
A．±2B．﹣C．﹣4D．
2．（4分）计算（x3）2•（﹣x）2，结果为（ ）
A．﹣x8B．x7C．﹣x7D．x8
3．（4分）方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（ ）
A．x＝1B．x1＝﹣3，x2＝1C．x1＝﹣2，x2＝1D．x1＝﹣3，x2＝0
4．（4分）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
5．（4分）一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个几何体的体积是（ ）
A．6B．12C．12D．12+4
6．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝36°，则∠BCD的度数是（ ）
A．144°B．126°C．132°D．138°
7．（4分）为了做好疫情防控工作，每天学生入校，学校都要给所有学生检查体温，现抽取七（1）班46名学生周一早晨的体温记录表，简单汇总结果如下：
则这46名学生体温的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.3B．36.1，36.2C．13，36.2D．36.1，36.3
8．（4分）将一次函数y＝﹣x+1的图象向右平移2个单位后与x轴交于点A，点B的坐标是（0，﹣3），则线段AB的长为（ ）
A．5B．7C．1D．
9．（4分）已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b2≥4acB．a＞0，b2≤4acC．a＜0，b2≥4acD．a＜0，b2≤4ac
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，
在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（ ）
A．2﹣3B．C．﹣2D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，滴分20分）
11．（5分）已知某大米新品种一粒的质量约0.000019千克，现在研究员要选取100粒这样的大米进行试验，则100粒大米的质量用科学记数法表示为 千克．
12．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝12，BC＝15，连接BD，AE⊥BD，垂足为E．线段AE＝ ．
13．（5分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B、D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，k＝ ．
14．（5分）如图，△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AC上一个动点，过A作AE⊥BD交BC于E，垂足为F．
（1）当DE⊥BC时，则的值为 ；
（2）当DE⊥AC时，则的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：﹣（）﹣1+||．
16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上，请完成下列任务（在网格之内面图）：
（1）请画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C；线段AC旋转到A1C的过程中，所扫过的图形的面积是 ；
（2）以点O为位似中心，位似比为2，将△A1B1C放大得到△A2B2C2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）据报道，安徽省2018年全省GDP约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省GDP仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省GDP逐年增长，请解答下列问题：
（1）求2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率（≈1.14）；
（2）如果2021年和2022年安徽省全省GDP仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省GDP能达到约多少万亿元？
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式：﹣＝；
第2个等式：﹣＝；
第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）若AD＝2BE，求的值；
（2）若∠A＝30°，CD＝3，求⊙O的半径．
20．（10分）磬是我国古代的一种打击乐器和礼器（如图），据先秦文献《吕氏春秋•古乐篇》记载：尧命击磬“以象上帝”“以致舞百兽”，描绘出一幅古老的原始社会的乐舞生活场景．20世纪70年代在山西夏县出土了一件大石磬，上部有一穿孔，击之声音悦耳，经测定，此磬据今约4000年，属于夏代的遗存，这是迄今发现最早的磬的实物．从正面看磬是一个多边形图案（如图2），已知MN为地面，测得AB＝30厘米，BC＝20厘米，∠BCN＝60°，∠ABC＝95°，求磬的最高点A到地面MN的高度h．（参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，≈1.73，结果保留一位小数）
六、（本题满分12分）
21．（12分）感恩是中华民族的传统美德，学校在3月份提出了“感恩父母、感恩老师、感恩他人”感恩在行动教育活动．感恩行动有：A．由你为父母过一次有意义的生日；B．为班级设计一个班徽；C．主动找老师进行一次交流，谈一谈自己对于未来的憧憬；D．关注身边有需要帮助的同学，帮助有困难的同学渡过难关．为了了解学生对这4种感恩行动的选择情况，学校德育处在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生在4种感恩行动中只选择最喜欢做的一种），将数据进行整理并绘制成如图两幅统计图（未画完整）．
（1）这次调查中，一共调查了 名学生；
（2）请补全扇形统计图中的数据及条形统计图；
（3）本次九（1）班被抽样的学生共5名同学，其中3名是选A的同学，1名是选C的同学，1名是选D的同学，班委会准备组织一次主题班会，要从这5名同学中随机选出2人在班会上介绍自己的行动方案，请通过树状图或列表求两人均是选A的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某电子科技公司研发生产一种儿童智力玩具，每件成本为65元，零售商到公司一次性批发x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，求y与x的函数关系式．
（2）某零售商一次性批发180件，需要支付多少元？
（3）零售商厂一次性批发x（100≤x≤350）件，该公司的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图①，△ABC和△ACD中，AB＝AC＝CD＝2，AC⊥AB，AC⊥CD．
（1）则BD的长为 （直接写出结果）；
（2）如图②，将△ACD绕点A顺时针旋转至△AC'D'，使D'恰好在线段CB的延长线上．
①求BD'的长．
②若点E是线段C'D'的中点，求证：CE⊥C'D'．
2021年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（4分）4的相反数是（ ）
A．±2B．﹣C．﹣4D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：4的相反数是﹣4．
故选：C．
2．（4分）计算（x3）2•（﹣x）2，结果为（ ）
A．﹣x8B．x7C．﹣x7D．x8
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可．
【解答】解：（x3）2•（﹣x）2＝x6•x2＝x8．
故选：D．
3．（4分）方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（ ）
A．x＝1B．x1＝﹣3，x2＝1C．x1＝﹣2，x2＝1D．x1＝﹣3，x2＝0
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
故选：C．
4．（4分）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
5．（4分）一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个几何体的体积是（ ）
A．6B．12C．12D．12+4
【分析】首先确定该几个体的底面边长，然后计算体积即可．
【解答】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且边长为，高为3，
这个几何体的体积＝，
故选：A．
6．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝36°，则∠BCD的度数是（ ）
A．144°B．126°C．132°D．138°
【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，继而求得∠A的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝36°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°．
故选：B．
7．（4分）为了做好疫情防控工作，每天学生入校，学校都要给所有学生检查体温，现抽取七（1）班46名学生周一早晨的体温记录表，简单汇总结果如下：
则这46名学生体温的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.3B．36.1，36.2C．13，36.2D．36.1，36.3
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：由标知，数据36.1出现次数最多，
所以众数为36.1，
由于共有46个数据，其中位数是第23、24个数据的平均数，且第23、24个数据分别为36.1、36.3，
所以这组数据的中位数为＝36.2，
故选：B．
8．（4分）将一次函数y＝﹣x+1的图象向右平移2个单位后与x轴交于点A，点B的坐标是（0，﹣3），则线段AB的长为（ ）
A．5B．7C．1D．
【分析】根据平移的规律求得平移后的解析式，即可求得A的坐标，然后根据勾股定理即可求得线段AB的长．
【解答】解：将一次函数y＝﹣x+1的图象向右平移2个单位后得到y＝﹣（x﹣2）+1，即y＝﹣x+2，
令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），
∴AB＝＝5，
故选：A．
9．（4分）已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b2≥4acB．a＞0，b2≤4acC．a＜0，b2≥4acD．a＜0，b2≤4ac
【分析】首先根据题意得出对称轴大于0，然后根据a，b，c的值确定函数过点（1，0），（﹣1，b）其中b＞0，即可以画出函数大致图象，即可得到答案．
【解答】解：设y＝ax2+bx+c，
∵ab＜0，
∴二次函数对称轴x＝﹣＞0，
∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，y＝0，
∵a﹣b+c＞0，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
∴因此函数图象过点（1，0），（﹣1，b）（b＞0），对称轴大于0，
∴函数图象大致为图中两种情况：
∴图象开口向上，a＞0，与x轴有交点b2﹣4ac≥0，
故选：A．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，
在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（ ）
A．2﹣3B．C．﹣2D．
【分析】取AC的中点O，连接OE，OB，由∠DAC＝∠DCE，得出∠AEC＝90°，可得CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，即可求出BE．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝4，
如图，取AC的中点O，连接OE，OB，
∵∠DAC＝∠DCE，∠DCE+∠ACE＝90°，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AD，
可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，
可得此时OE＝OC＝OA＝2，
在Rt△OCB中，OB＝，
故BE的最短值为：OB﹣OE＝﹣2，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，滴分20分）
11．（5分）已知某大米新品种一粒的质量约0.000019千克，现在研究员要选取100粒这样的大米进行试验，则100粒大米的质量用科学记数法表示为 1.9×10﹣3 千克．
【分析】用1粒的质量乘以100得到0.0021，再根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数第一个不是0的数字2前面共有3个0，所以可以确定n＝﹣3．
【解答】解：0.000019×100＝0.0019＝1.9×10﹣3．
故答案为：1.9×10﹣3．
12．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝12，BC＝15，连接BD，AE⊥BD，垂足为E．线段AE＝ 3 ．
【分析】由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，证△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可．
【解答】解：∵AB＝AD且AE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABE＝∠DBC，
∵∠AEB＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△DBC，
∴，
∵AB＝AD＝12，BC＝15，
∴，
∴BE＝3，
∴AE＝，
故答案为：3．
13．（5分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B、D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，k＝ 18 ．
【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2），
∴设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），
∵点B与点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y＝6，x＝3，
∴点C的坐标为（3，6）．
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝3×6＝18，
故答案为18．
14．（5分）如图，△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AC上一个动点，过A作AE⊥BD交BC于E，垂足为F．
（1）当DE⊥BC时，则的值为 +1 ；
（2）当DE⊥AC时，则的值为 ．
【分析】（1）假定AB＝AC＝1，则BC＝．∠BAC＝90°，DE⊥BC时，A，B，E，D四点在同一个圆上，可得∠BAE＝∠BDE，利用同角的余角相等，可得∠BEF＝∠BDE，从而可得△ABE为等腰三角形，BE＝AE＝1，EC＝BC﹣BE＝﹣1．结论可得；
（2）当DE⊥AC时，∠BAC＝90°，可得DE∥AB，设DE＝x，通过说明△EDA～△DAB，分别计算线段BE，CE，结论可得．
【解答】解：假定AB＝AC＝1，则BC＝．
（1）当DE⊥BC时，如图：
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DEB+∠BAC＝180°．
∴A，B，E，D四点在同一个圆上．
∴∠BAE＝∠BDE．
∵DE⊥BC，
∴∠BEF+∠DEF＝90°．
∵AE⊥BD，
∴∠FDE+∠FED＝90°．
∴∠BEF＝∠BDE
∴∠BAE＝∠BEA．
∴AB＝BE＝1．
∴EC＝BC﹣BE＝﹣1．
∴＝+1．
故答案为：+1．
（2）如图：
∵DE⊥AC，∠BAC＝90°，
∴DE∥AB．
∴∠BAE＝∠AED．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°．
∵AE⊥BD，
∴∠EAD+∠ADB＝90°．
∴∠BAE＝∠ADB．
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴△ABD∽△DAE．
∴．
∵DE⊥AC，∠C＝45°，
∴DE＝DC．
设DE＝DC＝x，则AD＝1﹣x，EC＝x．
∴BE＝BC﹣EC＝﹣x．
∴．
解得：，．
∴＝．
故答案为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：﹣（）﹣1+||．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣+2﹣
＝1﹣．
16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上，请完成下列任务（在网格之内面图）：
（1）请画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C；线段AC旋转到A1C的过程中，所扫过的图形的面积是 ；
（2）以点O为位似中心，位似比为2，将△A1B1C放大得到△A2B2C2．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；直接利用扇形面积求法得出扫过的图形的面积；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求；
AC所扫过的图形的面积：S＝＝；
故答案为：；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）据报道，安徽省2018年全省GDP约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省GDP仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省GDP逐年增长，请解答下列问题：
（1）求2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率（≈1.14）；
（2）如果2021年和2022年安徽省全省GDP仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省GDP能达到约多少万亿元？
【分析】（1）设2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率为x，根据2018年及2020年的GDP，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2022年的GDP＝2020年的人均收入×（1+增长率）2，即可求出结论．
【解答】解：（1）设2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率为x，
依题意得：3（1+x）2＝3.9，
解得：x1≈0.3＝30%，x2≈﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率约为30%．
（2）根据题意知，3.9×（1+30%）2＝6.591（万亿元）．
答：预测2022年全省GDP能达到约6.591万亿元．
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式：﹣＝；
第2个等式：﹣＝；
第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ＝ （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中的式子，可以猜想出第n个等式，并加以证明．
【解答】解：（1）由题意可得，
第5个等式是＝，
故答案为：＝；
（2）猜想的第n个等式是：＝，
证明：
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝，
故＝成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）若AD＝2BE，求的值；
（2）若∠A＝30°，CD＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）利用垂径定理得到＝，则BD＝BE，所以AD＝2NE＝2BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，设BD＝x，则AD＝2x，AB＝x，利用射影定理计算出AF＝，所以BF＝x，从而得到的值；
（2）根据切线的性质得到∠ABC＝90°，再计算出∠DBC＝30°，接着计算出BD＝CD＝9，然后计算出AB，从而得到⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴＝，
∴BD＝BE，
∴AD＝2NE＝2BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
设BD＝x，则AD＝2x，
∴AB＝＝x，
∵AD2＝AF•AB，
∴AF＝＝，
∴BF＝x﹣＝x，
∴＝＝4；
（2）∵BC为切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°，
在Rt△BDC中，BD＝CD＝×3＝9，
在Rt△ABD中，AB＝2BD＝18，
∴⊙O的半径为9．
20．（10分）磬是我国古代的一种打击乐器和礼器（如图），据先秦文献《吕氏春秋•古乐篇》记载：尧命击磬“以象上帝”“以致舞百兽”，描绘出一幅古老的原始社会的乐舞生活场景．20世纪70年代在山西夏县出土了一件大石磬，上部有一穿孔，击之声音悦耳，经测定，此磬据今约4000年，属于夏代的遗存，这是迄今发现最早的磬的实物．从正面看磬是一个多边形图案（如图2），已知MN为地面，测得AB＝30厘米，BC＝20厘米，∠BCN＝60°，∠ABC＝95°，求磬的最高点A到地面MN的高度h．（参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，≈1.73，结果保留一位小数）
【分析】过A作AG⊥MN于点G，过点B作BH⊥AG于点H，作BK⊥MN于点K，解直角三角形求得BK和AH便可．
【解答】解：过A作AG⊥MN于点G，过点B作BH⊥AG于点H，作BK⊥MN于点K，
∵BC＝20厘米，∠BCN＝60°，
∴HG＝BK＝BC•sin60°＝20×＝10≈17.3（cm），∠HBC＝∠BCK＝60°，
∵∠ABC＝95°，
∴∠ABH＝95°﹣60°＝35°，
∴∠BAH＝55°，
∵AB＝30厘米，
∴AH＝AB•cs55°≈30×0.57＝17.1（cm），
∴h＝AG＝AH+HG≈17.3+17.1＝34.4（cm）．
答：磬的最高点A到地面MN的高度h为34.4cm．
六、（本题满分12分）
21．（12分）感恩是中华民族的传统美德，学校在3月份提出了“感恩父母、感恩老师、感恩他人”感恩在行动教育活动．感恩行动有：A．由你为父母过一次有意义的生日；B．为班级设计一个班徽；C．主动找老师进行一次交流，谈一谈自己对于未来的憧憬；D．关注身边有需要帮助的同学，帮助有困难的同学渡过难关．为了了解学生对这4种感恩行动的选择情况，学校德育处在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生在4种感恩行动中只选择最喜欢做的一种），将数据进行整理并绘制成如图两幅统计图（未画完整）．
（1）这次调查中，一共调查了 200 名学生；
（2）请补全扇形统计图中的数据及条形统计图；
（3）本次九（1）班被抽样的学生共5名同学，其中3名是选A的同学，1名是选C的同学，1名是选D的同学，班委会准备组织一次主题班会，要从这5名同学中随机选出2人在班会上介绍自己的行动方案，请通过树状图或列表求两人均是选A的概率．
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数；
（2）用总数减去A、B、D中的人数，即可求出C的人数，再求出B所占的百分比，补全图形即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）40×20%＝200（名），
即这次调查中，一共调查了200名学生，
故答案为：200；
（2）C组的人数为：200﹣40﹣70﹣30＝60（名），B组所占的百分比为70÷200×100%＝35%，
补全扇形统计图中的数据及条形统计图如下：
（3）画树状图如图：
共有20个等可能的结果，两人均是选A的结果有6个，
∴两人均是选A的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某电子科技公司研发生产一种儿童智力玩具，每件成本为65元，零售商到公司一次性批发x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，求y与x的函数关系式．
（2）某零售商一次性批发180件，需要支付多少元？
（3）零售商厂一次性批发x（100≤x≤350）件，该公司的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x＝200时，代入y＝﹣x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；
（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤350时求出最值，进而比较得出即可．
【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
根据题意得出：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110；
（2）当x＝180时，y＝﹣18+110＝92，
∴92×180＝16560（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装180件，需要支付16560元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣65）x＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣225）2+5062.5，
∴当x＝225时，w有最大值是：5062.5；
②当300＜x≤350时，w＝（80﹣65）x＝15x，
当x＝350时，w有最大值是：15×350＝5250，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤350）件时，当x为350时，w最大，最大值是5250元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图①，△ABC和△ACD中，AB＝AC＝CD＝2，AC⊥AB，AC⊥CD．
（1）则BD的长为 2 （直接写出结果）；
（2）如图②，将△ACD绕点A顺时针旋转至△AC'D'，使D'恰好在线段CB的延长线上．
①求BD'的长．
②若点E是线段C'D'的中点，求证：CE⊥C'D'．
【分析】（1）设BD交AC于点O．证明四边形ABCD是平行四边形，推出OD＝OB，求出OD，可得结论．
（2）①如图②中，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出HD′，可得结论．
②如图②中，过点C′作C′T⊥CA交CA的延长线于T．通过计算证明CD′＝CC′，再利用等腰三角形的三线合一的性质，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图①中，设BD交AC于点O．
∵∠DCA＝∠CAB＝90°，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝1，OD＝OB，AD＝BC，
∵OD＝＝＝，
∴BD＝2OD＝2．
故答案为：2．
（2）①解：如图②中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AH⊥BC，
∴BC＝2，CH＝HB＝，
∴AH＝BC＝，
∵AD′＝BC，
∴AD′＝2AH，
∴∠AD′H＝30°，
∴D′H＝AH＝，
∴BD′＝D′H﹣BH＝﹣．
②证明：如图②中，过点C′作C′T⊥CA交CA的延长线于T，连接CC′．
由①可知，∠AD′H＝30°，
∴∠ABC＝∠BAD′+∠AD′H＝45°，
∴∠BAD′＝15°，
∵∠C′AD′＝45°，
∴∠C′AT＝180°﹣90°﹣15°﹣45°＝30°，
∴TC′＝AC′＝1，AT＝，
∴CT＝2+，
∴CC′＝＝＝+，
∵CD′＝2+﹣＝+，
∴CD′＝CC′，
∵EC′＝ED′，
∴EC⊥C′D′．
体温（单位：）
36.0
36.1
36.3
36.5
36.6
人数
10
13
11
7
5
体温（单位：）
36.0
36.1
36.3
36.5
36.6
人数
10
13
11
7
5