2021年北京四中中考数学段考试卷（4月份）

这是一份2021年北京四中中考数学段考试卷（4月份），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ）
A．0.778×105B．7.78×104C．77.8×103D．778×102
2．（2分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣（﹣2）B．（﹣2）0C．（﹣2）2D．﹣|﹣2|
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x3÷x2＝xD．（2x2）3＝6x6
4．（2分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）
A．75°B．90°C．105°D．115°
5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BDB．AD⊥OCC．△CEF≌△BEDD．AF＝FD
6．（2分）计算+的结果为（ ）
A．﹣1B．1C．D．
7．（2分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
二、填空题（本大题有8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是 ．
10．（2分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝ ．
11．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD＝2AD，若DE＝2，则BC边的长为 ．
12．（2分）小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行，他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，完成全部骑行时间小明比小华多半小时，设他们这次骑行路线长为xkm，依题意可列方程 ．
13．（2分）如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cs70°≈0.34，cs50°≈0.64）
14．（2分）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 ．
16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣2020）0+|﹣2|﹣3tan30°．
18．（5分）解不等式组：；
19．（5分）下面是小安设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如围1，直线l及直线l上一点P，
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图2．
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小安设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA＝（ ），PA＝（ ），
∴PQ⊥l（ ）（填推理的依据）．
20．（5分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个符合条件的m的值，并求出此时方程的根．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
23．（6分）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
24．（6分）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选．
25．（5分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．
（1）直接写出a的值；
（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．
①求证：∠BMA＝∠BMN；
②求直线MN与图形G的公共点个数．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝﹣x2+2bx+c与直线l：y＝9x+14交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）请用含b的代数式表示c．
（2）点B在直线l上，点B的横坐标为﹣1，点C的坐标为（b，5），
①若抛物线M还过点B，求该抛物线的解析式；
②若抛物线M与线段BC恰有一个交点，直接写出b的取值范围．
27．（7分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作AB边的垂直平分线交AC边于点D，延长AC，作点D关于直线BC的对称点E，点F为AB边上一点，连接FE，满足FE＝FA，连接FD．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：FB＝FD；
（3）设∠A＝α，求线段EB、EF、ED之间的数量关系（用含α的代数式表示）．
28．（7分）对于平面内的点M和点N，给出如下定义：点P为平面内的一点，若点P使得△PMN是以∠M为顶角且∠M小于90°的等腰三角形，则称点P是点M关于点N的锐角等腰点．如图①，点P是点M关于点N的锐角等腰点．
在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点．
（1）已知点A（2，0），在点P1（0，2），P2（1，），P3（﹣1，），P4（，﹣）中，是点O关于点A的锐角等腰点的是 ；
（2）已知点B（3，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点O关于点B的锐角等腰点，求实数b的取值范围；
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣2，0），点F（m，n）是以D为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．直线y＝﹣2x+4与x轴和y轴分别交于点H，K，若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围．
2021年北京四中中考数学段考试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ）
A．0.778×105B．7.78×104C．77.8×103D．778×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：77800＝7.78×104，
故选：B．
2．（2分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣（﹣2）B．（﹣2）0C．（﹣2）2D．﹣|﹣2|
【分析】直接利用相反数，有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、原式＝2，2是正数，故此选项不合题意；
B、原式＝1，1是正数，故此选项不合题意；
C、原式＝4，4是正数，故此选项不符合题意；
D、原式＝﹣2，﹣2是负数，故此选项合题意；
故选：D．
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x3÷x2＝xD．（2x2）3＝6x6
【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和积的乘方运算法则等知识分别化简得出即可．
【解答】解：A、x2+x3不能合并，错误；
B、x2•x3＝x5，错误；
C、x3÷x2＝x，正确；
D、（2x2）3＝8x6，错误；
故选：C．
4．（2分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）
A．75°B．90°C．105°D．115°
【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，
∴∠FCA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．
5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BDB．AD⊥OCC．△CEF≌△BEDD．AF＝FD
【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，得出∠DBC＝∠OCB，证出OC∥BD，选项A成立；
由平行线的性质得出AD⊥OC，选项B成立；
由垂径定理得出AF＝FD，选项D成立；
△CEF和△BED中，没有相等的边，△CEF与△BED不全等，选项C不成立，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，
∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，
∴AD⊥BD，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，选项A成立；
∴AD⊥OC，选项B成立；
∴AF＝FD，选项D成立；
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；
故选：C．
6．（2分）计算+的结果为（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝﹣1．
故选：A．
7．（2分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
【分析】①由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论；
②由全等三角形得OE＝OF，得∠OEG＝∠FCG＝45°，再利用对顶角相等，证得△OGE∽△FGC便可；
③先证明S△COE＝S△DOF，∴便可；
④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，再证明OG•AC＝EF2，再证明BE2+DF2＝EF2，得OG•AC＝BE2+DF2便可．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵∠MON＝90°，
∴∠OEG＝45°＝∠FCG，
∵∠OGE＝∠FGC，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴S△COE＝S△DOF，
∴，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
又∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°＝∠OCE，
∵∠EOG＝∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴OE：OC＝OG：OE，
∴OG•OC＝OE2，
∵OC＝AC，OE＝EF，
∴OG•AC＝EF2，
∵CE＝DF，BC＝CD，
∴BE＝CF，
又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴BE2+DF2＝EF2，
∴OG•AC＝BE2+DF2，
故④错误，
故选：B．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是 a≥1 ．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
【解答】解：根据题意知a﹣1≥0，
解得a≥1，
故答案为：a≥1．
10．（2分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝ （x﹣1）（x﹣3） ．
【分析】原式变形后，提取公因式即可．
【解答】解：原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝（x﹣1）（x﹣3），
故答案为：（x﹣1）（x﹣3）
11．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD＝2AD，若DE＝2，则BC边的长为 6 ．
【分析】由DE∥BC可知AD：AB＝DE：BC，根据BD＝2AD，DE＝2，可求出BC的长．
【解答】解：如图，
∵DE∥BC，
∴，
∵BD＝2AD，
∴，
∴，
∴，
∵DE＝2，
∴BC＝6．
故答案为：6．
12．（2分）小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行，他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，完成全部骑行时间小明比小华多半小时，设他们这次骑行路线长为xkm，依题意可列方程 +＝ ．
【分析】根据“完成全部骑行时间小明比小华多半小时”列出方程即可．
【解答】解：设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为+＝，
故答案为：+＝．
13．（2分）如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.70 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cs70°≈0.34，cs50°≈0.64）
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
∵∠ABO＝70°，AB＝10m，
∴sin70°＝，
解得：AO＝9.4（m），
∵∠CDO＝50°，DC＝10m，
∴sin50°＝≈0.77，
解得：CO＝7.7（m），
则AC＝9.4﹣7.7＝1.70（m），
答：AC的长度约为1.70米．
故答案为：1.70．
14．（2分）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD＝BC，进而由AD＝AB﹣BD可求出AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．
∴AB＝＝2，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD＝BC，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝；
在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵＝tanA＝tan30°，
∴＝，
∴OD＝1，
∴S阴影＝＝．
故答案是：．
15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 x＜﹣3或x＞1 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 2 ．
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案是：2．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣2020）0+|﹣2|﹣3tan30°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：呀un是＝3﹣1+2﹣﹣3×
＝3﹣1+2﹣﹣
＝4﹣2．
18．（5分）解不等式组：；
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＜4，
由②得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
19．（5分）下面是小安设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如围1，直线l及直线l上一点P，
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图2．
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小安设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA＝（ QB ），PA＝（ PB ），
∴PQ⊥l（ 三线合一 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图2中，直线PQ即为所求作．
（2）理由：连接QA，QB．
∵QA＝QB，PA＝PB，
∴PQ⊥l（三线合一）．
故答案为：QB，PB，三线合一．
20．（5分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个符合条件的m的值，并求出此时方程的根．
【分析】（1）先根据方程有两个不相等的实数根得出△＝（m+1）2﹣4×1×m2＞0，解之可得答案；
（2）取m＝0，代入后利用因式分解法求解可得（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（m+1）2﹣4×1×m2＞0，
解得m＞﹣；
（2）取m＝0，此时方程为x2+x＝0，
则x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
解得x＝0或x＝﹣1（答案不唯一）．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
（2）过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝＝．，设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD．
∴▱ABCD为矩形．
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG＝EA．
∵AO＝BO，
∴∠CAB＝∠ABD．
∵AD＝3，tan∠CAB＝，
∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．
∴AB＝4．
∴BD＝＝＝5，sin∠CAB＝sin∠ABD＝＝．
设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，
在△BEG中，∠BGE＝90°，
∴sin∠ABD＝．
解得：x＝，
∴AE＝．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝得到k的值；
（2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定（﹣3，0），由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再结合图象可判断当n≥3+时，CD≥OB．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），
∴m＝1+3＝4，
∵反比例函数的图象经过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），
当y＝2时，2＝，解得x＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，2），
∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；
②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）
当y＝n时，n＝，解得x＝，
∴点C的坐标为（，n），
当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，
∴点D的坐标为（n﹣3，n），
当点C在点D的右侧时，
若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴当0＜n≤2时，CD≥OB；
当点C在点D的左侧时，
若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），
∴当n≥3+时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．
23．（6分）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果，得出“和为3的倍数”“和为7的倍数”的概率即可．
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种不同结果，即（2，1）（2.3）（2，5）（4，1）（4，3）（4，5）（6，1）（6，3）（6，5）；
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，
∴P（小杰胜）＝＝，P（小玉胜）＝＝，
因此游戏是公平的．
24．（6分）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A （填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断 乙学校综合素质展示的水平更高 学校综合素质展示的水平更高，理由为 与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 88.5 分的学生才可以入选．
【分析】（1）求得甲校的中位数即可得到结论；
（2）根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论；
（3）求得每所学校被取了50名学生的综合素质展示的前15名学生将被选入志愿服务团队，于是得到结论．
【解答】解：（1）甲学校学生成绩的中位数为＝81.25，
乙学校学生成绩的中位数为84，
故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A，
故答案为：A；
（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
故答案为：乙学校，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多
（3）×50＝15，
故甲学校分数至少达到88.5分的学生才可以入选，
故答案为：88.5．
25．（5分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．
（1）直接写出a的值；
（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．
①求证：∠BMA＝∠BMN；
②求直线MN与图形G的公共点个数．
【分析】（1）根据题意可得三角形ABC是直角三角形，再根据切线长定理即可求出a的值；
（2）①根据题意可得点O是三角形ABC的内心，再根据三角形内角和即可得结论；
②作OE⊥MN于点E，根据角平分线的性质可得OD＝OE，所以得OE为圆O的半径，进而可得MN为圆O的切线，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴33+42＝52，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由题意可知：
图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，
设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，
∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，
∴四边形AFOD为正方形，
∴AF＝AD＝OF＝OD＝a，
根据切线长定理可知：
BF＝BQ＝3﹣a，CD＝CQ＝4﹣a，
∴3﹣a+4﹣a＝5，
解得a＝1；
（2）①由题意可知：
点O是△ABC的内心，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵MA⊥AB，MB⊥BC，
∴∠A＝∠BNM＝90°，
∴∠BMA＝∠BMN；
②如图，作OE⊥MN于点E，
∵∠BMA＝∠BMN，
∵OD⊥AC，
∴OD＝OE，
∴OE为圆O的半径，
∴MN为圆O的切线，
∴直线MN与图形G的公共点个数为1．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝﹣x2+2bx+c与直线l：y＝9x+14交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）请用含b的代数式表示c．
（2）点B在直线l上，点B的横坐标为﹣1，点C的坐标为（b，5），
①若抛物线M还过点B，求该抛物线的解析式；
②若抛物线M与线段BC恰有一个交点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）先由一次函数解析式求得A点的坐标，再把求得的A点坐标代入二次函数解析式，便可得结果；
（2）①先由一次函数解析式求得B点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
②分三种情况：b＞﹣1，b＝﹣1，b＜﹣1．结合抛物线M与线段BC恰有一个交点，列出b的不等式组，便可求得b的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝﹣2代入直线l的解析式得y＝﹣2×9+14＝﹣4，
∴A（﹣2，﹣4）
把A（﹣2，﹣4）代入抛物线的解析式得﹣4﹣4b+c＝﹣4，
解得c＝4b；
（2）把x＝﹣1代入直线l的解析式得y＝﹣9+14＝5，
∴B（﹣1，5），
①把B（﹣1，5）代入抛物线的解析式得﹣1﹣2b+4b＝5，
解得b＝3，
∴c＝12，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+12；
②∵抛物线的解析式是y＝﹣x2+2bx+c，
∴抛物线的对称轴为：x＝＝b，
当b＞﹣1时，如图1所示，
∵抛物线M与线段BC恰有一个交点，
∴，
∴，
∵b＞﹣1，
∴1≤b≤3；
当b＝﹣1时，B与C重合，抛物线为y═﹣x2﹣2x﹣4，
其顶点坐标为（﹣1，﹣3），
此时抛物线y＝﹣x2+2bx+c与BC没有交点，不合题意，舍去；
当b＜﹣1时，如图2所示，
∵抛物线M与线段BC恰有一个交点，
∴，
∴，
∵b＜﹣1，
∴b≤﹣5；
综上，1≤b≤3或b≤﹣5．
27．（7分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作AB边的垂直平分线交AC边于点D，延长AC，作点D关于直线BC的对称点E，点F为AB边上一点，连接FE，满足FE＝FA，连接FD．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：FB＝FD；
（3）设∠A＝α，求线段EB、EF、ED之间的数量关系（用含α的代数式表示）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）连接BD，BE，证明△DAF≌△BEF（SAS），可得结论．
（3）结论：BE+ED＝2EF•csα．解直角三角形可得结论．
【解答】（1）解：如图，图形如图所示．
（2）证明：连接BD，BE．
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵CD＝CE，BC⊥DE，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠EDB＝∠A+∠DBA＝2∠A，
∴∠AEB＝2∠AEF，
∴∠AEF＝∠BEF＝∠A，
∴△DAF≌△BEF（SAS），
∴FD＝FB．
（3）解：结论：BE+ED＝2EF•csα．
理由：由（2）可知，BE＝AD，
∴BE+DE＝AD+DE＝AE，
∵FE＝FA，
∴AE＝2AF•csα，
∴BE+ED＝2EF•csα．
28．（7分）对于平面内的点M和点N，给出如下定义：点P为平面内的一点，若点P使得△PMN是以∠M为顶角且∠M小于90°的等腰三角形，则称点P是点M关于点N的锐角等腰点．如图①，点P是点M关于点N的锐角等腰点．
在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点．
（1）已知点A（2，0），在点P1（0，2），P2（1，），P3（﹣1，），P4（，﹣）中，是点O关于点A的锐角等腰点的是 P2，P4 ；
（2）已知点B（3，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点O关于点B的锐角等腰点，求实数b的取值范围；
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣2，0），点F（m，n）是以D为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．直线y＝﹣2x+4与x轴和y轴分别交于点H，K，若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）如图1中，满足条件的点在半圆上（不包括点A以及y轴上的点），点P2，点P4满足条件．
（2）如图2中，以O为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P（0，3），P′（0，﹣3）当直线y＝2x+b与半圆有交点（不包括P，B，）时，满足条件．
（3）根据题意，点E关于点F的锐角等腰点在半圆E上，点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3﹣1，半圆扫过的区域为图3﹣2中阴影部分，QC\、求出图3﹣3，图3﹣4中，t的值，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，满足条件的点在半圆上（不包括点A以及y轴上的点），点P2，点P4满足条件．
故答案为：P2，P4．
（2）如图2中，以O为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P（0，3），P′（0，﹣3）当直线y＝2x+b与半圆有交点（不包括P，B，）时，满足条件．
当直线y＝2x+b经过P（0，3）时，b＝3．
如图3中，当直线y＝2x+b与半圆相切于点G，交x轴于S，交y轴于T．
∵OG⊥TS，tan∠OST＝2，OG＝3，
∴GS＝，
∴OS＝＝＝，
∴OT＝3，即b＝﹣3，
观察图像可知，满足条件的b的值为：﹣3≤b＜3．
（3）根据题意，点E关于点F的锐角等腰点在半圆E上，点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3﹣1，半圆扫过的区域为图3﹣2中阴影部分，
如图3﹣3中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠EHG＝2，EG＝4，则GH＝2，EH＝2，
即xE＝t﹣2＝2﹣2，解得t＝4﹣2，
如图3﹣4中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠GSJ＝tan∠KHO＝2，GS＝2，则GJ＝4，SJ＝2，且SE＝2，则EJ＝2﹣2，即yJ＝2﹣2，
代入直线y＝﹣2x+b，可得xJ＝1+，则xE＝t﹣2＝1+，解得t＝3+，
观察图像可知，4﹣2≤t＜3+．
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%