2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测09《空间几何体及空间线面位置关系》小题练(含答案详解)

高考数学二轮复习课时跟踪检测09

《空间几何体及空间线面位置关系》小题练

一、选择题

1.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C­ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为(　　)

A.            B.         C.            D.

2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)

A.3             B.         C.7             D.

3.某几何体的三视图如图所示，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是(　　)

A.192＋96π    B.256＋96π     C.192＋100π   D.256＋100π

4.某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　)

A.15π            B.16π       C.17π            D.18π

5.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为(　　)

A.            B.         C.            D.

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)

A.2＋4＋2     B.2＋2＋4    C.2＋6    D.8＋4

7.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架中，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　　)

A.10 cm      B.10 cm       C.10 cm       D.30 cm

8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)

A.            B.        C.            D.

9.已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，m⊥α，n⊂β.

给出下列四个命题：

①若α∥β，则m⊥n；

②若m⊥n，则α∥β；

③若m∥n，则α⊥β；

④若α⊥β，则m∥n.

其中正确命题的个数是(　　)

A.0           B.1       C.2            D.3

10.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.　       B.          C.        D.

11.正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为(　　)

A.            B.         C.            D.

12.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=2，且四棱锥O­ABCD的体积为8，则R等于(　　)

A.4           B.2        C.            D.

二、填空题

13.已知直线a，b，平面α，且满足a⊥α，b∥α，有下列四个命题：

①对任意直线c⊂α，有c⊥a；

②存在直线c⊄α，使c⊥b且c⊥a；

③对满足a⊂β的任意平面β，有β∥α；

④存在平面β⊥α，使b⊥β.

其中正确的命题有________.(填序号)

14.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，

若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________.

15.已知三棱锥S­ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积为________.

16.在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，E为AB的中点，则三棱锥P­BCE的体积为________.

0.参考答案

1.答案为：D；

解析：由三棱锥C­ABD的正视图、俯视图得三棱锥C­ABD的侧视图为直角边长是的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥C­ABD的侧视图的面积为，故选D.

2.答案为：B；

解析：由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，

长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4，切去的三棱锥的体积为，

故该几何体的体积V=4－=.

3.答案为：C；

解析：题中的几何体是由一个直三棱柱和一个半圆柱构成的几何体，其中直三棱柱的底面是两直角边分别为8和6的直角三角形，高为8，该半圆柱的底面圆的半径为5，高为8，因此该几何体的体积为×8×6×8＋π×52×8=192＋100π，选C.

4.答案为：C；

由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1­BCD，将其放在长方体ABCD­A1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为=，球O的直径为，所以球O的表面积S=17π，故选C.

5.答案为：A；

解析：记由三视图还原后的几何体为四棱锥A­BCDE，将其放入棱长为2的正方体中，

如图，其中点D，E分别为所在棱的中点，分析知平面ABE⊥平面BCDE，点A到直线BE的距离即四棱锥的高，设为h，在△ABE中，易知AE=BE=，cos∠ABE=，

则sin∠ABE=，所以h=，故四棱锥的体积V=×2××=，故选A.

6.答案为：A；

解析：由三视图知该几何体为三棱锥，记为三棱锥P­ABC，将其放在棱长为2的正方体中，如图所示，其中AC⊥BC，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAB是边长为2的等边三角形，

故所求表面积为S△ABC＋S△PAC＋S△PBC＋S△PAB=×2×2＋×2×2＋×2×2＋×(2)2=2＋4＋2.故选A.

7.答案为：B；

解析：依题意，在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，

连接SO，则SO=AO=BO=CO=DO=10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，

在等腰三角形OAS中，OA=OS=10 cm，AS=20 cm，所以O到SA的距离d=10 cm，

同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心，

所以皮球的半径r=10 cm，选B.

8.答案为：A；

解析：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD­A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN=6××××sin 60°=.故选A.

9.答案为：C；

解析：依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m⊥β，又n⊂β，因此m⊥n，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β=n，在平面β内作直线m⊥n，则有m⊥α，因此②不正确；对于③，由m∥n，m⊥α得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m⊥α，α∩β=n，α⊥β时，直线m，n不平行，因此④不正确.综上所述，正确命题的个数为2，故选C.

10.答案为：C；

解析：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.

连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DF，由题意，得DF==，FB1==2，DB1==.

在△DFB1中，由余弦定理，得DF2=FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，

即5=4＋5－2×2××cos∠DB1F，∴cos∠DB1F=.

11.答案为：D；

解析：如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT=，

因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N=，故NT=2－－=1，

因为M为CC1的中点，故CM=1，连接TC，由NT∥CM，且CM=NT=1，

知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近点A处取一点Q′，

使得AQ′=，连接BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，

即Q′与Q重合，故AQ=，选D.

12.答案为：A；

解析：如图，设矩形ABCD的中心为E，连接OE，EC，由球的性质可得OE⊥平面ABCD，

所以VO­ABCD=·OE·S矩形ABCD=×OE×6×2=8，

所以OE=2，在矩形ABCD中可得EC=2，则R===4，故选A.

二 、填空题

13.答案为：①②④；

解析：因为a⊥α，所以a垂直于α内任一直线，所以①正确；由b∥α得α内存在一直线l与b平行，在α内作直线m⊥l，则m⊥b，m⊥a，再将m平移得到直线c，使c⊄α即可，所以②正确；由面面垂直的判定定理可得③不正确；若b⊥β，则由b∥α得α内存在一条直线l与b平行，必有l⊥β，即有α⊥β，而满足b⊥β的平面β有无数个，所以④正确.

14.答案为：40π；

解析：如图，∵SA与底面成45°角，∴△SAO为等腰直角三角形.

设OA=r，则SO=r，SA=SB=r.在△SAB中，cos∠ASB=，∴sin∠ASB=，

∴S△SAB=SA·SB·sin∠ASB=×(r)2×=5，解得r=2，

∴SA=r=4，即母线长l=4，∴S圆锥侧=πrl=π×2×4=40π.

15.答案为：；

解析：如图，设O1为△ABC的中心，连接OO1，故三棱锥S­ABC的高h=2OO1，

三棱锥S­ABC的体积V=×2OO1×S△ABC，因为OO1==1，

所以V=×2×1××32=.

16.答案为：；

解析：由题意知S底面ABCD=2×2sin 60°=2，所以S△EBC=，故VP­EBC=×2×=.