2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测04《解三角形》大题练(含答案详解)

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在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcs A=(2c＋a)cs(π－B)．
(1)求角B的大小；
(2)若b=4，△ABC的面积为eq \r(3)，求a＋c的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sineq \f(B,2)－cseq \f(B,2)=eq \f(1,4).
(1)求cs B的值；
(2)若b2－a2=eq \f(\r(31),4)ac，求eq \f(sin C,sin A)的值．
在△ABC中，AC=2eq \r(3)，BC=6，∠ACB=150°.
(1)求AB的长；
(2)延长BC至D，使∠ADC=45°，求△ACD的面积．
在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为锐角，且满足：
2sin(A＋C)＋eq \r(3)cs 2B=4sin Bcs2eq \f(B,2).
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积S=eq \f(3\r(3),4)，b=eq \r(3)，求△ABC的周长l.
在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C=120°.
(1)求a；
(2)求AB边上的高CD的长．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs eq \f(A,2)=eq \f(2\r(5),5)，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c=6，求a的值．
已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(2a－b,c)=eq \f(cs B,cs C).
(1)求角C的大小；
(2)求函数y=sin A＋sin B的值域．
如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=eq \r(7)，EA=2，∠ADC=eq \f(2π,3)，
且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
\s 0 参考答案
解：(1)∵bcs A=(2c＋a)cs(π－B)，
由正弦定理可得，sin Bcs A=(－2sin C－sin A)csB.
∴sin(A＋B)=－2sin Ccs B.
∴sin C=－2sin Ccs B，
又sin C≠0，
∴cs B=－eq \f(1,2)，∴B=eq \f(2π,3).
(2)由S△ABC=eq \f(1,2)acsin B=eq \r(3)，得ac=4.
又b2=a2＋c2＋ac=(a＋c)2－ac=16.
∴a＋c=2eq \r(5).
解：(1)将sineq \f(B,2)－cseq \f(B,2)=eq \f(1,4)两边同时平方得，
1－sin B=eq \f(1,16)，得sin B=eq \f(15,16)，故cs B=±eq \f(\r(31),16)，
又sineq \f(B,2)－cseq \f(B,2)=eq \f(1,4)>0，所以sineq \f(B,2)>cseq \f(B,2)，
所以eq \f(B,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
故cs B=－eq \f(\r(31),16).
(2)由余弦定理得b2=a2＋c2－2accs B=a2＋eq \f(\r(31),4)ac，
所以eq \f(\r(31),4)a=c－2acs B=c＋eq \f(\r(31),8)a，
所以c=eq \f(\r(31),8)a，故eq \f(sin C,sin A)=eq \f(c,a)=eq \f(\r(31),8).
解：(1)由余弦定理AB2=AC2＋BC2－2AC·BCcs∠ACB，
得AB2=12＋36－2×2eq \r(3)×6cs 150°=84，
所以AB=2eq \r(21).
(2)因为∠ACB=150°，∠ADC=45°，
所以∠CAD=150°－45°=105°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CAD)=eq \f(AC,sin∠ADC)，得CD=eq \f(2\r(3)sin 105°,sin 45°)，
又sin 105°=sin(60°＋45°)
=sin 60°·cs 45°＋cs 60°·sin 45°=eq \f(\r(2)＋\r(6),4)，
所以CD=3＋eq \r(3)，
又∠ACD=180°－∠ACB=30°，
所以S△ACD=eq \f(1,2)AC·CD·sin∠ACD=eq \f(1,2)×2eq \r(3)×(3＋eq \r(3))×eq \f(1,2)=eq \f(3,2)(eq \r(3)＋1)．
解：(1)由已知得，2sin(π－B)＋eq \r(3)cs 2B=4sin Bcs2eq \f(B,2)，
即2sin B＋eq \r(3)cs 2B=4sin Bcs2eq \f(B,2)，
所以2sin Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2cs2\f(B,2)))＋eq \r(3)cs 2B=0，
即－2sin Bcs B＋eq \r(3)cs 2B=0，
即sin 2B=eq \r(3)cs 2B，
所以tan 2B=eq \r(3).
因为0所以0<2B<π，所以2B=eq \f(π,3)，解得B=eq \f(π,6).
(2)由(1)知，B=eq \f(π,6).
△ABC的面积S=eq \f(1,2)acsin B=eq \f(1,2)acsineq \f(π,6)=eq \f(1,4)ac=eq \f(3\r(3),4)，整理得ac=3eq \r(3)，①
由b=eq \r(3)及余弦定理b2=a2＋c2－2accs B，
得(eq \r(3))2=a2＋c2－2accseq \f(π,6)=a2＋c2－eq \r(3)ac，
整理得a2＋c2－eq \r(3)ac=3，②
将①代入②得，(a＋c)2=12＋6eq \r(3)，即a＋c=3＋eq \r(3)，
故△ABC的周长l=b＋a＋c=eq \r(3)＋3＋eq \r(3)=3＋2eq \r(3).
解：(1)由题意得b=a＋2，c=a＋4，
由余弦定理cs C=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)得cs 120°=eq \f(a2＋a＋22－a＋42,2aa＋2)，
即a2－a－6=0，∴a=3或a=－2(舍去)，∴a=3.
(2)由(1)知a=3，b=5，c=7，
由三角形的面积公式得eq \f(1,2)absin∠ACB=eq \f(1,2)c×CD，
∴CD=eq \f(absin∠ACB,c)=eq \f(3×5×\f(\r(3),2),7)=eq \f(15\r(3),14)，即AB边上的高CD=eq \f(15\r(3),14).
解：(1)由eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=3，得bccs A=3，
又cs A=2cs2eq \f(A,2)－1=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2－1=eq \f(3,5)，
∴bc=5，sin A=eq \f(4,5).
由sin A=eq \f(4,5)及S△ABC=eq \f(1,2)bcsin A，得S△ABC=2.
(2)由b＋c=6，得b2＋c2=(b＋c)2－2bc=26，
∴a2=b2＋c2－2bccs A=20，
∴a=2eq \r(5).
解：(1)由eq \f(2a－b,c)=eq \f(cs B,cs C)，
利用正弦定理可得2sin Acs C－sin Bcs C=sin Ccs B，
可化为2sin Acs C=sin(C＋B)=sin A，
∵sin A≠0，∴cs C=eq \f(1,2)，
∵C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴C=eq \f(π,3).
(2)y=sin A＋sin B
=sin A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)－A))=sin A＋eq \f(\r(3),2)cs A＋eq \f(1,2)sin A=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))，
∵A＋B=eq \f(2π,3)，0∴eq \f(π,6)∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，
∴y∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(3))).
解：设∠CED=α.因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，
所以2∠BEC=∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE=π，
所以∠BEC=eq \f(π,3).
(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2＋DE2－2CD·DE·cs∠EDC，
由题设知7=CD2＋1＋CD，
即CD2＋CD－6=0，解得CD=2(CD=－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理得eq \f(EC,sin∠EDC)=eq \f(CD,sin α) ，
于是sin α=eq \f(CD·sin\f(2π,3),EC)=eq \f(2×\f(\r(3),2),\r(7))=eq \f(\r(21),7)，即sin∠CED=eq \f(\r(21),7).
(2)由题设知0<α又∠AEB=π－∠BEC－α=eq \f(2π,3)－α，
所以cs∠AEB=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))=cseq \f(2π,3)cs α＋sineq \f(2π,3)sin α
=－eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α=－eq \f(1,2)×eq \f(2\r(7),7)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(21),7)=eq \f(\r(7),14).
在Rt△EAB中，cs∠AEB=eq \f(EA,BE)=eq \f(2,BE)=eq \f(\r(7),14)，所以BE=4eq \r(7).