2020-2021学年上学期江苏省江阴市成化高中高一数学期末综合模拟试卷一

这是一份2020-2021学年上学期江苏省江阴市成化高中高一数学期末综合模拟试卷一，共14页。试卷主要包含了 eq \f 等于， 函数的图象大致为，已知函数f，下列结论正确的是，关于函数f，化简，已知等内容，欢迎下载使用。

函数的定义域为（ ）

成化高中的学生积极参加体育锻炼。学校先举办了一次田径运动会，高一（1）班有的学生参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有的学生参赛，其中有的人两次运动会都参赛，则参加这两次运动会的学生数占该班学生总数的比例是（ ）
3. eq \f(1－tan215°,2tan15°) 等于( )
A. eq \r(3) B. eq \f(\r(3),3) C. 1 D. －1
4．已知函数f（x）＝lnx+x﹣4，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1）B．（ 1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值是（ ）

6. 函数的图象大致为( )
7.已知函数f（x）＝lga（x﹣）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（m，n），则函数g（x）＝lgm（x2﹣2nx﹣5）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（5，+∞）
8．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ）
A．B．C．D．
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．若lga(a2＋1)A．eq \s\up5(\f(1,2)) B．23 C． 34 D．45
10.下列结论正确的是( )
A. −7π6是第三象限角 B. 若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2
C. 若角α的终边过点P(−3,4)，则csα=−35 D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
11. 已知，且最小正周期为，则下列说法正确的有( )
A. 图像的对称中心为 B. 函数在上有且只有两个零点
C. 的单调递增区间为
D. 将函数的图像向左平移个单位长度，可得到的图像
12.关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（ ）
A．函数f（x）在区间（1，2）上单调递增 B．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝4 D．函数f（x）有且仅有两个零点
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 关于x的不等式的解集为________.
14.化简：tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°·tan 40°=
15.已知函数,且,则的取值范围是 .
16．函数取得最大值时=_________,在区间上至少取得2次最大值，则正整数的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数的值域为集合，函数的定义域为集合 ，全集．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
18.已知
(1)化简f(α)；
(2)若，且，求cs α−sin α的值；
(3)若，且，求的值；
19. 已知函数f（x）=4x+a·2x+1+4.
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有两个大于0的实根，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值.
20．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现：
①需花费180万元用于引进一条生产流水线；
②每台生产成本万元）和产量（台）之间近似满足，x∈N*；（注每台生产成本不包括引进生产流水线的费用）
③每台产品的市场售价为10万元；
④每年产量最高可达到100台；
（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；
（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．
21.设函数对任意非零实数恒有，且对任意，有．
求及的值；
判断并证明函数的奇偶性；
求不等式的解集．
21.已知t为实数，函数，其中
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围；
（3）设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值.
22.对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“伪奇函数”．
(1)试判断f(x)=csx是否为“伪奇函数”，简要说明理由；
(2)若f(x)=lg2(sinx+m)+1是定义在区间[−π3,π3]上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；
(3)试讨论f(x)=4x−m⋅2x+2+4m2−3在R上是否为“伪奇函数”？并说明理由．
高一数学期末综合模拟试卷五 2021.1
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域为（ ）答案:A

2.成化高中的学生积极参加体育锻炼。学校先举办了一次田径运动会，高一（1）班有的学生参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有的学生参赛，其中有的人两次运动会都参赛，则参加这两次运动会的学生数占该班学生总数的比例是（ ） 答案:B
3. eq \f(1－tan215°,2tan15°) 等于( )
A. eq \r(3) B. eq \f(\r(3),3) C. 1 D. －1
【答案】 A
4．已知函数f（x）＝lnx+x﹣4，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1）B．（ 1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【解答】解：函数f（x）＝lnx+x﹣4，是增函数，又f（2）＝ln2+2﹣4＜0，
f（3）＝ln3+3﹣4＞0，
可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）＝lnx+x﹣4包含零点的区间是：（2，3）．
故选：C．
5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值是（ ）答案:D

6. 函数的图象大致为(A)
7.已知函数f（x）＝lga（x﹣）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（m，n），则函数g（x）＝lgm（x2﹣2nx﹣5）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（5，+∞）
8．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ）
A．B．C．D．
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．若lga(a2＋1)A．eq \s\up5(\f(1,2))B．23
C． 34 D．45
11.下列结论正确的是( )【答案】BC
A. −7π6是第三象限角
B. 若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2
C. 若角α的终边过点P(−3,4)，则csα=−35
D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
10. 已知，且最小正周期为，则下列说法正确的有CD
A. 图像的对称中心为
B. 函数在上有且只有两个零点
C. 的单调递增区间为
D. 将函数的图像向左平移个单位长度，可得到的图像
8.关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（ ）
A．函数f（x）在区间（1，2）上单调递增
B．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝4
D．函数f（x）有且仅有两个零点
【解答】解：函数f（x）＝|ln|2﹣x||的图象如下图所示：
由图可得：
函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，A正确；
函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，B正确；
根据图象，由x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2不一定等于4，C错误；
函数f（x）有且仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 关于x的不等式的解集为________.
14.化简：tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°·tan 40°=
15.已知函数,且,则的取值范围是 ▲ .答案:(-1,0)
16．函数取得最大值时=_________,在区间上至少取得2次最大值，则正整数的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）已知函数的值域为集合，函数的定义域为集合 ，全集．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
17. 解：由函数的值域为，
得函数的值域为 ……2分
又由，解得，即 …4分
（1）当时，，所以； …6分
（2）因为，所以
由，得，或， ……8分
解得，或
所以的取值范围为 …………………10分
18.已知
(1)化简f(α)；
(2)若，且，求cs α−sin α的值；
(3)若，且，求的值；
【答案】解：(1)f(α)=sin2α·cs α·tan α(−sin α)(−tan α)=sin α·cs α．
由f(α)=sinαcs 可知
(csα−sinα)2=cs2α−2sinαcsα+sin2α
=1−2sin αcs ．
又，
∴cs α∴csα−sin．
(3)因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，所以α－ eq \f(π,6) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3))) ，又sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))) ＝ eq \f(3,5) ，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))) ＝ eq \f(4,5) ，所以cs α＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6))) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))) cs eq \f(π,6) －sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))) ·sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(4,5) × eq \f(\r(3),2) － eq \f(3,5) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(4\r(3)－3,10) .
19. 已知函数f（x）=4x+a·2x+1+4.
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有两个大于0的实根，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值.
19. 解：（1）设t=2x＞0，则y=g（t）=t2+2at+4，
当a=1时，y=t2+2t+4=（t+1）2+3，对称轴为t=-1，开口向上.
∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（0）=4.
∴函数f（x）值域为（4，+∞）.
（2）由x＞0得t＞1.
∴方程f（x）=0有两个大于0的实根等价于方程g（t）=t2+2at+4=0有两个大于1的实根，
则需△=4a2-16≥0-2a2＞1g1=5+2a＞0解得a≥2或a≤-2a＜-1a＞-52，
∴-52＜a≤-2.
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，g（t）=（t+a）2+4-a2.
①当-a≥4，即a≤-4时，g（t）在[2，4]上单调递减，
∴g（t）min=g（4）=20+8a；
②当2＜-a＜4，-4＜a＜-2时，g（t）min=g（-a）=4-a2；
③当-a≤2即a≥-2时，g（t）在[2，4]上单调递增，
∴g（t）min=g（2）=8+4a.
20．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现：
①需花费180万元用于引进一条生产流水线；
②每台生产成本万元）和产量（台）之间近似满足，x∈N*；（注每台生产成本不包括引进生产流水线的费用）
③每台产品的市场售价为10万元；
④每年产量最高可达到100台；
（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；
（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．
21.设函数对任意非零实数恒有，且对任意，有．
求及的值；
判断并证明函数的奇偶性；
求不等式的解集．
【答案】解：对任意非零实数，恒有，
令，代入，
可得，
又令，代入，，
可得；
取，，代入，
得，
又函数的定义域为，
函数是偶函数；
函数在上为单调递减函数，证明如下：
任取，，且，则 ，
由题设有，
即函数在上为单调递减函数，
由得函数是偶函数，
，
得，或
解得：或，或空集，
解集为．
21.已知t为实数，函数，其中
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围； t>1
（3）设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值.
22.对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“伪奇函数”．
(1)试判断f(x)=csx是否为“伪奇函数”，简要说明理由；
(2)若f(x)=lg2(sinx+m)+1是定义在区间[−π3,π3]上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；
(3)试讨论f(x)=4x−m⋅2x+2+4m2−3在R上是否为“伪奇函数”？并说明理由．
【答案】解：(1)∵f(−π2)=0=f(π2),∴f(−π2)+f(π2)=0．
∴f(x)=csx是“伪奇函数”．
(2)∵f(x)为“伪奇函数”，∴f(x)+f(−x)=0，
即lg2(sinx+m)+1+lg2(−sinx+m)+1=0，
即m2−sin2x=14在[−π3,π3]有解．
∵sin x∈[−32,32],∴m2=sin2x+14∈[14,1]．
又∵m+sinx>0在[−π3,π3]恒成立，
∴m>(−sinx)max=32．
∴32(3)当为定义域R上的“伪奇函数”时，
则在R上有解，
可化为在R上有解，
令，则t≥2，，
从而在[2,+∞)有解，
即可保证f(x)为“伪奇函数”，
令，
则①当F(2)≤0时，在[2,+∞)有解，
即，
解得．
②当F(2)>0时，在[2,+∞)有解等价于Δ=16m2−4(8m2−8)≥0,2m>2,F(2)>0,
解得1+32综上，当时，为定义域R上的“伪奇函数”，否则不是．
【解析】本题以新定义为载体，考查函数的单调性，函数的值域求法以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．
(1)∵f(−π2)=0=f(π2),∴f(−π2)+f(π2)=0，可对f(x)=csx进行判断;
(2)根据新定义得f(−x)=−f(x)在[−π3,π3]上有解，可化为方程m2−sin2x=14在[−π3,π3]有解，由sin x∈[−32,32]⇒m2=sin2x+14∈[14,1]，得到m>(−sin x)max=32可得结果；
(3)根据题意f(−x)=−f(x)在R上有解，可化为在R上有解，令t=2x+2−x，则t≥2，4x+4−x=t2−2，从而t2−4mt+8m2−8=0在[2,+∞)有解，即可保证f(x)为“伪奇函数”，结合二次函数的性质求解．